獨立多細節(jié)結(jié)構(gòu)耐久性試驗壽命的統(tǒng)計標定

賀小帆 董彥民 劉彥毛 劉文珽

(北京航空航天大學 航空科學與工程學院，北京 100191)

獨立多細節(jié)結(jié)構(gòu)耐久性試驗壽命的統(tǒng)計標定

賀小帆 董彥民 劉彥毛 劉文珽

(北京航空航天大學 航空科學與工程學院，北京 100191)

在進行疲勞試驗評定結(jié)構(gòu)壽命時，為了能真實模擬實際結(jié)構(gòu)形式和傳載情況，模擬試件往往設(shè)計成多細節(jié)試件，進行不完全疲勞壽命試驗，必須由多細節(jié)試件壽命推斷單細節(jié)壽命.針對工程上常用的兩種壽命分布形式:對數(shù)正態(tài)分布和雙參數(shù)Weibull分布，以結(jié)構(gòu)串聯(lián)失效模型為基礎(chǔ)，建立了由相同獨立多細節(jié)結(jié)構(gòu)疲勞壽命分布確定單細節(jié)壽命分布的統(tǒng)計標定方法.當多細節(jié)試件壽命服從對數(shù)正態(tài)分布時，可近似認為單細節(jié)壽命也服從對數(shù)正態(tài)分布，單細節(jié)壽命分布參數(shù)與多細節(jié)試件壽命分布參數(shù)間存在確定關(guān)系，并且單細節(jié)壽命數(shù)學期望和標準差均高于多細節(jié)試件相應參數(shù);當多細節(jié)壽命服從雙參數(shù)Weibull分布時，單細節(jié)壽命也服從雙參數(shù)Weibull分布，其斜率不變，但位置參數(shù)按比例放大.最后給出了一個分析實例.

疲勞;使用壽命;多細節(jié);對數(shù)正態(tài)分布;Weibull分布;統(tǒng)計標定

疲勞試驗是驗證和評定飛機結(jié)構(gòu)耐久性的必需手段，在飛機結(jié)構(gòu)的設(shè)計和使用階段，要進行大量模擬試件的疲勞試驗以獲取疲勞特性參數(shù)，為結(jié)構(gòu)設(shè)計和壽命評定提供依據(jù).

飛機上存在大量的由獨立相似細節(jié)構(gòu)成的結(jié)構(gòu)，在進行疲勞試驗測試結(jié)構(gòu)的壽命時，由于時間和經(jīng)費限制，往往不可能進行成組的全尺寸疲勞試驗，而是模擬結(jié)構(gòu)細節(jié)進行元件級疲勞試驗，此時就存在著考慮細節(jié)數(shù)量的元件壽命和結(jié)構(gòu)壽命間的折算問題［1］，需要測試得到單個細節(jié)的疲勞壽命.但在元件級試驗中，模擬試件一方面要能良好地模擬結(jié)構(gòu)形式(如材料、連接狀態(tài)、幾何形狀、尺寸)、表面狀態(tài)和受力模式，另一方面又力求簡單，能夠?qū)崿F(xiàn)以最簡單的形式再現(xiàn)結(jié)構(gòu)關(guān)鍵部位的力學特性，并易于疲勞試驗.由于結(jié)構(gòu)形式和功能要求，模擬試件往往含有多個細節(jié).以飛機上最常見的連接件為例，為了實現(xiàn)合理的載荷傳遞和應力分布，模擬試件往往設(shè)計成對稱的多孔疊層連接試件.此時，一旦一個孔破壞，則試件破壞，但是試件壽命反映的并不是單一細節(jié)的壽命，在評定含有多個細節(jié)的結(jié)構(gòu)壽命時，以不完全疲勞試驗壽命作為統(tǒng)計量來描述單細節(jié)的壽命會喪失部分信息，得到的結(jié)果過于保守.為了避免上述問題，在試驗方面，進行了很多改進，如串聯(lián)多細節(jié)試件，在一個細節(jié)破壞后，還可以將剩余部分繼續(xù)試驗以獲得有效壽命信息，但是，這樣加大了試件設(shè)計、加工以及疲勞試驗的復雜性，工程上難以采用.

為了解決試驗壽命的有效信息問題，本文討論一種統(tǒng)計標定方法，即考慮試件細節(jié)數(shù)目對試件壽命進行推斷以獲取單細節(jié)壽命分布參數(shù).

1 統(tǒng)計標定的含義和理論基礎(chǔ)

1.1 假 設(shè)

1)細節(jié)相互獨立，細節(jié)裂紋尺寸達到工程可檢尺寸即認為細節(jié)失效，此時由于裂紋尺寸較小，不會引起其他細節(jié)的應力場變化，可以認為細節(jié)是相互獨立的;

2)［n］個細節(jié)失效，則結(jié)構(gòu)失效，并通常?。踤］=1;

3)細節(jié)壽命分布形式相同;

4)多細節(jié)壽命可用對數(shù)正態(tài)分布或雙參數(shù)Weibull分布描述.

1.2 統(tǒng)計標定的含義

多細節(jié)試件疲勞試驗無法進行到所有細節(jié)失效，一旦部分細節(jié)失效則停止試驗，屬于不完全壽命試驗，由多細節(jié)試件壽命分布和特征值推斷單細節(jié)壽命分布和特征值的過程稱為標定［2］.具體描述形式如下:設(shè)多細節(jié)壽命的概率密度函數(shù)為f(θ1)，單細節(jié)壽命的概率密度函數(shù)為 g(θ2)，其中f(x)，g(x)為分布函數(shù)，θ1和 θ2是分布參數(shù).當f(θ1)已知，確定g(x)和θ2的過程稱為統(tǒng)計標定，θ1和θ2是一種概率意義上的統(tǒng)計關(guān)系.

1.3 統(tǒng)計標定的理論基礎(chǔ)

1)失效準則.對含M個獨立細節(jié)的結(jié)構(gòu)，假定其中［n］個細節(jié)失效，則結(jié)構(gòu)失效.

以Y表示多細節(jié)結(jié)構(gòu)的壽命，F(xiàn)Y(N)=P{Y＜N}表示Y的分布函數(shù).以X表示單細節(jié)壽命，F(xiàn)X(N)=P{X＜N}表示X的分布函數(shù)，則

若令［n］=1，則多細節(jié)結(jié)構(gòu)為串聯(lián)結(jié)構(gòu)，有

2)疲勞壽命分布特性

由于材料、幾何、結(jié)構(gòu)、加工等的分散導致的結(jié)構(gòu)固有分散，疲勞壽命為隨機變量，通常采用對數(shù)正態(tài)分布或Weibull分布描述疲勞壽命的分布特性［3］.其概率密度函數(shù)為

① 對數(shù)正態(tài)分布(LN，Log-Normal).包括最小值為0和最小值不為0的對數(shù)正態(tài)分布形式，其概率密度函數(shù)為

式中，N0為最小壽命;μ=E(lg(N－N0))為數(shù)學期望;σ為標準差.

② Weibull分布.包括三參數(shù)Weibull分布和雙參數(shù)Weibull分布，其分布函數(shù)為

式中，γ為最小壽命;α為斜率;β為位置參數(shù).

它由Weibull提出，基于最弱環(huán)理論，認為結(jié)構(gòu)由若干個相同單元串聯(lián)構(gòu)成，最小單元的壽命決定了結(jié)構(gòu)的壽命，其最佳極值分布為Weibull分布［4］.目前在軍用運輸機和民用飛機結(jié)構(gòu)疲勞失效壽命分布特性中得到了廣泛應用.

由于三參數(shù)分布參數(shù)多，參數(shù)估計穩(wěn)定性差，工程上普遍采用最小壽命為0的對數(shù)正態(tài)分布和Weibull分布，以給出偏于保守的結(jié)果.

針對這兩種分布形式，給出了常用金屬結(jié)構(gòu)的對數(shù)疲勞壽命標準差和雙參數(shù)Weibull分布的斜率參數(shù)［5－11］.

2 基于Weibull分布的統(tǒng)計標定

假設(shè)相同多細節(jié)結(jié)構(gòu)壽命服從雙參數(shù)Weibull分布，?。踤］=1，多細節(jié)結(jié)構(gòu)壽命分布滿足

顯然，單細節(jié)壽命X也服從雙參數(shù)Weibull分布，且αi=α.表明單細節(jié)壽命分布斜率不變，而位置特征值是比例放大，設(shè)放大系數(shù)為 K，則K=M1/α，與細節(jié)數(shù)和分布斜率有關(guān).

該問題屬于典型的尺度效應問題，在Weibull及后續(xù)的文章中進行了大量的討論［4］.

3 基于對數(shù)正態(tài)分布的統(tǒng)計標定

3.1 壽命分布及參數(shù)特性

?。踤］=1，假定相同多細節(jié)結(jié)構(gòu)壽命服從對數(shù)正態(tài)分布 LN(μ，σ2)，則有 Y=min{Xi|i=1，2，…，M}，轉(zhuǎn)化為對數(shù)形式 Y'=lg Y=min{X'=lg Xi|i=1，2，…，M}

由于Y″為標準正態(tài)分布和X″的分布僅僅與M有關(guān)，記其數(shù)學期望和方差分別為 E(X″)和Var(X″)，用Mathcad軟件計算得到的典型值見表1，且有

3.2 統(tǒng)計標定的近似方法

式(1)比較復雜，為便于應用，提出如下假設(shè):

當多細節(jié)壽命Y服從對數(shù)正態(tài)分布時，單細節(jié)壽命X也服從對數(shù)正態(tài)分布.該假設(shè)等同于X″服從正態(tài)分布.

1)擬合優(yōu)度檢驗

表 1 E(X″)和 Var(X″)取值

①按多細節(jié)壽命分布函數(shù)進行隨機抽樣，獲得多細節(jié)壽命的樣本點(N，PY)i(i=1，2，…，K)，其中PY=FY(N);

②按式(1)確定單細節(jié)壽命樣本點(N，PX)i，其中 PX=FX(N)=1－(1－PY)1/M;

③由(N，PX)i數(shù)據(jù)對進行分布特性擬合優(yōu)度檢驗，若單細節(jié)壽命也服從對數(shù)正態(tài)分布LN(E(X″)，Var(X″))，則有

由(N，PX)i數(shù)據(jù)對構(gòu)造(up，N)i數(shù)據(jù)對，按線性回歸方法給出相關(guān)系數(shù)［12］.

取隨機樣本點數(shù)量K≥50000，相關(guān)系數(shù)均大于0.997，可以接受單細節(jié)壽命服從對數(shù)正態(tài)分布的假設(shè).

典型細節(jié)數(shù)對應的模擬結(jié)果見圖1.

圖1 分布函數(shù)對比

從圖1可以看出，在分布函數(shù)的首尾兩端差別相對比較明顯，應予以關(guān)注，典型失效概率P下對應的單細節(jié)壽命相對誤差見表2.

表2 小概率對應的相對誤差

取軍用飛機結(jié)構(gòu)常用的失效概率P=0.1%，估計值均小于真值，偏于保守.

2)壽命分布參數(shù)的關(guān)系

式(2)和表1可以作為單細節(jié)對數(shù)壽命分布的數(shù)學期望和方差.隨著細節(jié)數(shù)的增加，分布函數(shù)依次右偏，說明數(shù)學期望和方差隨細節(jié)數(shù)的增加而增大.

4 算例

美國空軍耐久性手冊背景資料給出7475-T7351鋁合金雙孔平板試件在隨機載荷譜下的疲勞試驗結(jié)果［13］，該試件兩孔距離足夠大保證兩孔應力分布無相互影響，在試件斷裂后將另一孔靜拉斷，通過斷口判讀獲得裂紋萌生壽命.將兩個孔的裂紋萌生尺寸為0.76mm(0.03 in)時對應的裂紋萌生壽命列入表3.

表3 雙細節(jié)試件壽命 飛行小時

1) 假定試件壽命服從對數(shù)正態(tài)分布

假定試件疲勞壽命N服從對數(shù)正態(tài)分布，由表3數(shù)據(jù)按下式估計分布參數(shù):

式中，n為試件數(shù)，n=7.

由表3中第4列數(shù)據(jù)估計得到雙細節(jié)試件壽命分布為 LN(4.159 12，0.060 842)，將表 3 中第1、第2列數(shù)據(jù)綜合在一起估計得到的單細節(jié)壽命分布為 LN(4.18612，0.074622)，按式(2)和表1，標定得到的單細節(jié)對數(shù)壽命期望為4.159 12+0.06084 ×0.7014=4.20195，方差為0.060842×1.557=0.075 922，即標定的單細節(jié)壽命服從LN(4.20195，0.075922)，對應的上述分布函數(shù)曲線見圖2.

由于試件樣本容量有限，估計得到的曲線與標定曲線有一定差別.但在高可靠度區(qū)，這種差別不明顯.

2)假定疲勞壽命服從雙參數(shù)Weibull分布

按下式估計分布參數(shù):

圖2 分布函數(shù)對比

估計得到的參數(shù)分別為:雙細節(jié)試件壽命服從Wei(15 372，8.657 2)、單細節(jié)壽命服從 Wei(16686，6.1492)，標定得到的單細節(jié)壽命特征值為15372 ×21/8.6572=16653，標定得到的單細節(jié)壽命服從 Wei(16653，8.6572).上述分布函數(shù)如圖3所示.

圖3 基于Weibull分布的對比圖

同樣，由于試件樣本容量的限制，估計得到的尺度參數(shù)和斜率參數(shù)與標定值均不同.為了保證分布參數(shù)的穩(wěn)健性，參考文獻［10－11］，取多細節(jié)壽命分布斜率α=4.0，按上述過程得到:試件壽命服從Wei(14 895，4.0)、估計得到的單細節(jié)壽命服從Wei(16 219，4.0)，標定得到的單細節(jié)壽命特征值為14895×21/4.0=17713，標定得到的單細節(jié)壽命服從 Wei(17 713，4.0)，上述分布函數(shù)見圖4.

同樣，由于樣本容量的限制，估計值與標定值有一定差別，但在高可靠度區(qū)，差別不明顯.

圖4 基于單參數(shù)Weibull分布的對比圖

5 結(jié)論

1)當多細節(jié)壽命服從對數(shù)正態(tài)分布時，單細節(jié)壽命也可近似用對數(shù)正態(tài)分布描述，但在分布函數(shù)首尾兩端差別比較明顯.單細節(jié)壽命分布參數(shù)與多細節(jié)壽命分布參數(shù)間存在明確關(guān)系，單細節(jié)壽命的數(shù)學期望和方差隨著細節(jié)數(shù)的增加而增大.

2)當多細節(jié)壽命服從雙參數(shù)威布爾分布時，單細節(jié)壽命也服從雙參數(shù)威布爾分布，分布參數(shù)間也存在明確關(guān)系:分布斜率不變，位置參數(shù)按比例放大.

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(編 輯:李 晶)

Statistical scaling of durability life for independent multi-detail structures

He Xiaofan Dong Yanmin Liu Yanmao Liu Wenting

(School of Aeronautic Science and Engineering，Beijing University of Aeronautics and Astronautics，Beijing 100191，China)

To assess the fatigue life for aircraft structure，the specimen used for the durability test is often designed as multi-details(MD)to simulate the structural configuration and load transfer.Once one detail fails，the fatigue testing is ended，and the fatigue life of single detail(SD)must be deduced statistically based on the incomplete life of MD specimen.Based on the series failure model of the same multi-detail structures，the statistical scaling approach was proposed to determine the life distribution of the single detail.Assuming the fatigue life of MD follows the log-normal distribution，Monte Carlo sampling and stimulating results show that the fatigue life of single detail follows the same distribution approximately;the expressions between the distribution parameters of MD and SD are deduced.The expectation and variation of MD are higher than those of SD.Assuming the fatigue life of MD follows the two-parameter Weibull distribution，the SD’s fatigue life follows the same distribution whose slope is unchanged，but location parameter is larger than that of MD.Finally，an example for analyzing MD fatigue test result from American durability test program is given.

fatigue;service life;multi-details;log-normal;Weibull distribution;statistical scaling

V 215.5

A

1001-5965(2012)06-0715-05

2011-03-15;網(wǎng)絡(luò)出版時間:2012-06-15 15:44

www.cnki.net/kcms/detail/11.2625.V.20120615.1544.030.htm l

國家自然科學基金資助項目(11002009)

賀小帆(1976 －)，男，湖北天門人，副教授，xfhe@buaa.edu.cn.