基于距離函數(shù)的3種夾具定位分析方法的比較

羅 晨 朱利民 丁 漢

(1 東南大學機械工程學院，南京211189)

(2 上海交通大學機械與動力工程學院，上海200240)

夾具作為一種重要的工藝裝備，其主要作用是確定工件位置并夾持工件，以便對工件進行加工、觀測、組裝、測量等操作.夾具定位精度直接影響最終產(chǎn)品的質量，因此夾具定位模型的建立至關重要.目前，已有大量的研究工作致力于夾具定位模型的建立.Asada 等［1］首先推導了夾具確定性定位和完全約束的條件.Chou 等［2］采用螺旋理論和線性規(guī)劃的方法設計夾具.Cai 等［3］利用敏感度指數(shù)的歐式模提出了夾具設計的方差分析方法.Wang等［4-5］通過最大化信息矩陣的行列式來確定最優(yōu)的夾具規(guī)劃.Carlson［6］推導定位元的二次敏感度方程，分析了工件局部曲率對夾具定位精度的影響.Cao 等［7］采用Newton-Raphson 方法給出了工件高精度定位的分析方法.以上所有的方法都是基于簡化的運動學模型，雖然Carlson 給出了二階泰勒展開式的非線性模型，但是Carlson 的非線性模型仍然是將定位元簡化為點，因此Carlson 的方法仍是單邊二次方法.文獻［8］提出了夾具定位分析的雙邊二次方法，該方法的分析精度優(yōu)于線性(Asada方法)和單邊二次方法(Carlson 方法).盡管有大量文獻提出各種夾具定位分析模型，但目前還沒有提出針對夾具分析統(tǒng)一的理論框架，即包含線性、單邊二次和雙邊二次的模型.

文獻［9］定義的面-面有向距離函數(shù)是由點-面有向距離函數(shù)推導得到的，因此面-面有向距離函數(shù)可看作點-面有向距離函數(shù)的拓展，而點-面有向距離函數(shù)可看作面-面有向距離函數(shù)的特例.雙邊二次模型是基于面-面有向距離函數(shù)的二階泰勒展開式得到的，若基于點-面有向距離函數(shù)的一、二階泰勒展開式即可得到線性和單邊二次方法.因此，本文在統(tǒng)一理論框架(即有向距離函數(shù))下建立線性、單邊二次和雙邊二次的夾具定位分析模型.

1 點-面、面-面有向距離函數(shù)的統(tǒng)一性

1.1 距離函數(shù)及其微分性質

如圖1所示，設曲面的模型坐標架CM中的正則曲面S(w)∈R3，在點云所在曲面的模型坐標架CW中的一點為p，對于給定的g=(t，R)，存在一個最近的匹配點q，滿足定義p 到曲面S 的有向距離為［9-10］

式中，q 為曲面S 上與p 相對應的足點(footpoint);nq為曲面S 上q 點處的單位外法矢.

圖1 點-面有向距離函數(shù)的示意圖

類似于點-面有向距離函數(shù)，定義面-面有向距離函數(shù).如圖2所示，分別定義2 個剛體為A 和B，剛體曲面光滑且分別表示為SA，SB.設p 為SA上任一點，則曲面SA到SB的有向距離函數(shù)定義為曲面SA上的點到面SB的有向距離函數(shù)的最小值，即

顯然，也可以定義曲面SB到SA的有向距離函數(shù)若p，q 均非曲面的邊界點且兩曲面是光滑的，則和是等價的.

圖2 面-面有向距離函數(shù)的示意圖

若曲面S，SB分別作一微分運動［v，ω］，則可以得到點-面、面-面有向距離函數(shù)的一階微分增量.

1)點-面有向距離函數(shù)的一階微分增量為

2)面-面有向距離函數(shù)的一階微分增量為

若對式(3)和(4)進一步微分，可以得到點-面、面-面有向距離函數(shù)的二階海色矩陣.

1)點-面有向距離函數(shù)的二階海色矩陣為

2)面-面有向距離函數(shù)的二階海色矩陣為

式中，Φ 的2 個列向量和向量nq構成正交坐標架.式(5)和(6)中成立的條件是dsp，SI +K－1和+KB－1+dsS，SI 可逆.

1.2 點-面、面-面距離函數(shù)的統(tǒng)一性

如果一張曲面(這里取SA)取為球面(見圖3(a))，且該球的半徑趨于零(見圖3(b))，則面-面有向距離函數(shù)退化為點-面有向距離函數(shù).下面考察點-面和面-面有向距離函數(shù)的微分性質的一致性.由式(3)和(4)容易看出一階梯度的相容性，下面重點考察二階海色矩陣.

圖3 面-面有向距離退化為點-面有向距離

假設曲面SA是球面，則=rI，當球半徑r→0 時，→0，因此面-面有向距離函數(shù)的二階海色矩陣，即式(6)簡化為

顯然上式與式(5)的表達式一致，表明了面-面和點-面有向距離函數(shù)的微分性質的統(tǒng)一性.點-面和面-面有向距離函數(shù)的微分性質的內在統(tǒng)一性源于面-面有向距離函數(shù)是基于點-面有向距離函數(shù)的定義.盡管在定義面-面有向距離函數(shù)時，存在2 種曲面到曲面的距離，但是對于光滑曲面，這2 種距離是等價的，因此面-面和點-面有向距離函數(shù)的微分性質具有內在的統(tǒng)一性.

由此，可以得到點-面、面-面有向距離函數(shù)的統(tǒng)一的二階泰勒展開式，即當式(7)中的ds表示為點-面有向距離函數(shù)時，▽2ds(g)為式(5); 當ds表示為面-面有向距離函數(shù)時，▽2ds(g)為式(6).

2 基于距離函數(shù)的3 種方法

若一個工件完全由6 個定位元確定位置，初始時刻工件和定位元處于名義位置(即初始距離為零)時，令d0=0 由式(7)可得方程組為

依據(jù)式(8)和逆函數(shù)定理，可以得到V 關于d 的顯式表達式為

式中

2.1 雙邊二次模型

2.2 單邊二次模型

注意，雙邊二次和單邊二次模型的顯著區(qū)別在于是否同時考慮工件和定位元局部接觸區(qū)域的曲面形狀.

2.3 線性模型

如果僅考慮誤差傳遞函數(shù)的一階項，而忽略高階項，則得到線性模型為

由此，得到基于距離函數(shù)的由夾具定位分析的線性、單邊二次和雙邊二次模型，且這3 種模型是建立在統(tǒng)一的理論框架下.

3 仿真實驗

如圖4所示，工件由3 個定位元(圓)確定位姿.定位元L3沿著z 方向移動，移動范圍為0.01～10 mm.分別采用基于距離函數(shù)的線性方法、單邊二次方法和雙邊二次方法計算工件上q1點的位置變化，定位元半徑取0.1 和10 mm 時的計算結果如圖5所示.可以看出，當定位元的曲率半徑遠小于工件的曲率半徑時，單邊二次和雙邊二次方法得到的結果十分接近，此時可以將定位元抽象為點，而當定位元的曲率半徑與工件的曲率半徑相當時，單邊二次方法存在很大的誤差，此時應該采用精度較高的雙邊二次模型.

圖4 定位元L1，L2 和L3 及關鍵點q1 的分布(單位:mm)

若固定定位元p3的位置偏差為6 mm，改變定位元的半徑大小(定位元半徑為0.01～9 mm)，則關鍵點的位置偏差如圖6所示.當定位元半徑較小時(＜0.5 mm)，線性方法、單邊二次方法和雙邊二次方法的分析結果與理論值相差很小，但是當定位元半徑較大時，線性方法、單邊二次方法不能跟蹤理論值的變化，而雙邊二次方法卻能很好地跟蹤理論值的變化.當定位半徑為9 mm 時，雙邊二次方法相對于理論值的誤差為8.95%，而線性方法、單邊二次方法相對于理論值的誤差均超過80%.因此，定位元半徑相對于工件局部曲率半徑越大，雙邊二次模型的高精度特性越顯著.

圖5 工件上關鍵點的位置偏差

圖6 關鍵點的位置偏差與定位元半徑的關系

4 結語

本文驗證了點-面、面-面有向距離函數(shù)微分性質的統(tǒng)一性，給出點-面、面-面有向距離函數(shù)定義、微分性質之間的關系圖，并基于距離函數(shù)統(tǒng)一了3種夾具定位分析方法:線性方法(基于點-面距離函數(shù)一階微分性質)、單邊二次方法(基于點-面距離函數(shù)一、二階微分性質)和雙邊二次方法(面-面距離函數(shù)一、二階微分性質).仿真結果表明，當定位元的曲率半徑相對于工件的曲率半徑越大時，雙邊二次模型的高精度特性越顯著.

盡管雙邊二次方法的精度優(yōu)于單邊二次方法，而單邊二次方法又優(yōu)于線性方法，但是雙邊二次方法最為復雜且所需曲面幾何信息最多，而線性方法最為簡單;另一方面，當定位元曲面半徑較小時，3種方法的分析精度相差很小.因此在保證定位精度的前提下，如何選擇最簡單的方法是下一步的研究工作.

References)

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［10］朱利民.基于距離函數(shù)的坐標測量數(shù)據(jù)擬合模型——理論、算法及應用［D］.武漢:華中科技大學，2002.