信息量與時間的數(shù)理通路
——信息元胞方程

郭 儀，楊華磊，付海東

(蘭州大學(xué)經(jīng)濟學(xué)院，蘭州730000)

從香農(nóng)創(chuàng)立信息論到維納對信息的發(fā)展，對于信息的研究一直處于活躍階段.有的著眼信息的擴散，進而尋找信息擴散方程［1－3］;有的著眼對信息本質(zhì)的界定，即信息是什么［4－7］，進而給出其概念的文字陳述或數(shù)理定義;有的研究信息量的測度或者信息在那個層次上其量是守恒的［8］，進而給出一個通項公式和研究面;有的從信息的角度思考社會和自然現(xiàn)象［9］，或者在研究信息以及其他相關(guān)問題時派生新的信息問題，如信息熵［10］在各領(lǐng)域中的應(yīng)用.但一個體或一群體的信息水平隨時間的增加，其如何發(fā)生改變.是在記憶中累增，還是在遺忘中間歇?其增速是單調(diào)，還是震蕩?這既是信息科學(xué)的范疇，也是認知科學(xué)研究的區(qū)域，但對這一邊緣交叉問題的探究，好像被人所忽視.其涉及著信息科學(xué)的一些基礎(chǔ)問題，當(dāng)然包括什么是信息，信息如何擴散等;也涉及認知科學(xué)中一系列法則，如遺忘和記憶.為回答上述提出的問題，即尋找一個方程(信息元胞方程)去模擬跟蹤考察對象任一時點上的信息水平，行文遵從下述布局.

先引入反映考察主體信息水平分布的信息元胞矩陣，并用矩陣的模去表征考察主體所擁有的絕對信息元胞量，即信息水平;同時給出在活動空間上考察主體在與其他主體在接觸過程中所遵從的認知法則.為單純的考慮考察對象和活動空間的作用，設(shè)定“總信息元胞量一直不變，沒有第三方和新維度信息創(chuàng)造源給考察對象以新信息元胞，沒有劃分不完備引致的信息挖掘現(xiàn)象”等一系列假設(shè).根據(jù)上述設(shè)定，得出“活動空間內(nèi)信息元胞量一直大于或者等于考察對象的信息元胞量”的命題，并且引出的“下一點上信息的增量與‘活動空間的信息總量與此刻其所擁有的信息量之差’成正比”的認知推論.再通過考察信息性質(zhì)以及信息量的多寡，依此建立符合邏輯的離散和連續(xù)兩種認知模型，進而給出考察主體任一時點上所擁有的信息元胞量函數(shù)，而此函數(shù)具有“只增不減，但增速放緩”的特性.上述的研究方法在某種程度上歸為信息擴散的逆范疇，而研究的內(nèi)容促進了認知科學(xué)和信息科學(xué)的融合.假設(shè):

1)考察主體在面對逐漸增加的信息量，其主觀上不存在自滿;

2)考察個體對已獲得的信息，不存在遺忘;考察個體對新接觸的信息是均勻隨機的記憶，同時記憶具有瞬時特性(考察主體對信息元胞獲得所需要的時間，只局限兩次接觸之間的累計和，而信息元胞的傳遞，即接觸本身在此假設(shè)不花費時間).

1 信息元胞矩陣

為尋找考察主體在任一時刻上其擁有的信息水平，先界定一些本文將要用到的概念.考察主體可以近似看作攜帶一定信息的人或者一個群體;而信息在量上的最小單元記住基本信息元胞，考察主體所攜帶的所有不同形式的信息元胞的總和記住考察主體的信息水平;信息元胞矩陣是用來表征考察主體所攜帶的信息元胞以及元胞分布;考察主體的活動空間可以近似看作其的最大交往圈;而其交往圈之外的人群可近似看作第三方因子;劃分的不完備引致的信息挖掘，即劃分過程中由于主觀和客觀條件的限制使得信息子集之間存在交集.

若采取橫向標準把考察對象與其活動空間上的所有信息元胞化分為不存在交集的類，即信息空間是n維的，其用來衡量信息的寬度.若采取縱向標準再對所有信息進行劃分，即把每個維度下的信息都分為若干個獨立的信息分量，其用來衡量信息的深度，取橫向維度下的縱向維數(shù)最大值記為L.若對于縱向維度采取特殊聚類，則總可以實現(xiàn)縱向和橫向的一致性，即縱向的最大維數(shù)和橫向的維數(shù)相同，進而生成一n維的信息空間.總之，在任一時點上，考察系統(tǒng)內(nèi)的任一個體k所攜帶的信息元胞量可用一矩陣表示，稱此矩陣為信息元胞矩陣

縱向維數(shù)的最大值L=n，矩陣中任一元素qij代表考察個體k在第i信息維度上的第j分量上所攜帶的信息元胞量.一般若考察主體k攜帶此位點上的信息元胞，則qij取1;若k不攜帶此位點上的信息元胞，則qij就取0;一般考察主體k通過自帶或接觸其他主體k攜帶某種信息元胞.并把考察主體所攜帶的總信息元胞量定義為信息元胞矩陣的測度，也即考察主體任一時點上的信息水平

為簡化問題分析方便，在此不妨設(shè)定信息空間的維度和活動空間上的總主體數(shù)均為n，在進一步的研究中，將逐漸討論信息空間的維數(shù)與主體數(shù)不一致的情況.而行文只是對信息元胞方程在嚴格假設(shè)條件下進行的初步探討，為進一步的研究工作提供參考，故對不一致下信息元胞方程的探究，將放在后續(xù)研究工作中.故設(shè)初始考察主體攜帶的信息元胞與其他主體攜帶的信息元胞在量上相同，但形式完全差異，在接觸的過程中這種絕對差異性將保證信息交換的存在;又設(shè)考察對象內(nèi)部不存在信息創(chuàng)造的機制和對活動空間以外空間傳遞來的新維度信息元胞是封閉的，即其信息元胞的增加只來自活動空間上.這保證了可以單純的考慮考察對象與活動空間的作用，撇開任何第三方因子，就看考察對象“通過接觸此空間上個體”獲得的信息元胞量與時間的關(guān)系;再設(shè)初始信息元胞完全填滿信息矩陣，活動空間內(nèi)的信息元胞不存在表征為“遺忘事件”進而減少信息元胞的因子，這保證了活動空間內(nèi)總信息元胞隨時間不發(fā)生改變，包括量和形式上;此條件也使得每個個體初始剛好攜帶單位絕對差異的信息量.總之，活動空間上的總信息量不變，而每個個體初始的信息元胞矩陣是對維單位陣的任意交換兩行生成的矩陣，此類矩陣的特性保證上述設(shè)定的信息特性和上述假設(shè).

2 傳遞中的認知法則

為尋找考察個體在活動空間上信息水平與時間的關(guān)系，設(shè)定考察對象獲得信息的方式是隨機瞬時均勻的，這間接的反映考察個體的記憶質(zhì)量和學(xué)習(xí)品質(zhì).均勻和隨機說明考察對象的學(xué)習(xí)方式和記憶品質(zhì)是統(tǒng)計意義上的平均值;瞬時說明接受信息不需要時間，在發(fā)生接觸的瞬間兩主體完成信息傳遞，通過獲取信息而耗費的時間只體現(xiàn)在相鄰兩次接觸之間的時間間隔.考察主體k與一主體l第一次接觸后主體k獲得的信息元胞數(shù)量X服從均勻分布，因初始每個個體攜帶的信息元胞數(shù)量為n，并且傳遞哪類信息元胞是隨機的，故通過此次接觸后考察主體獲得的信息元胞數(shù)量的期望值

根據(jù)上述一系列設(shè)定，可以推出活動空間內(nèi)總信息元胞量一直大于或者等于考察對象的信息元胞量命題，再根據(jù)此命題，進而可推出此時所遵從的認知法則:“考察對象下一點上的信息增量與‘活動空間上的信息總量與此刻考察主體所擁有的信息總量之差’成正比”，而由這個命題給出的信息水平的解，將具有“考察主體的信息元胞量逐漸增加，但單位時間內(nèi)獲得的信息元胞量趨于減少”性質(zhì).

前者源于在對已獲得信息沒有遺忘的認知假設(shè)下，考察主體獲得的信息只會增加;后者可以有以下陳述加以說明，當(dāng)主體k與主體l發(fā)生第2次接觸時，因第1次接觸后k已從l上平均獲得n/2單位絕對差異的信息元胞，根據(jù)上述信息元胞傳遞的隨機和均勻分布假設(shè)，此次將有n/4單位信息元胞傳遞.隨時間變化，傳遞的信息元胞量將按照上述法則依次類推.

若把每單位時間所接觸的個體數(shù)看做一個群體，則在統(tǒng)計意義上，此群體向后每次向考察主體所傳遞的信息元胞量，將趨于減少.圖1將簡單陳述在單位時間內(nèi)如果接觸的個體數(shù)一定，且單位時間內(nèi)每個體被接觸的可能性相同情況下，為什么在統(tǒng)計意義和認知法則上單位時間內(nèi)所獲得信息元胞量會逐漸減少.

圖1 單位時間內(nèi)所獲信息元胞

根據(jù)設(shè)定信息元胞總量和形式都不變，從第一單位時間接觸開始，選取一考察個體，同時選取其獲得信息元胞的初始的4個單位時間，觀察此個體的行為路徑，其所接觸的個體在圖2中標示.圖2中的黑點代表此單位時間內(nèi)考察主體運動的起點，也是相鄰上單位時間內(nèi)最后接觸的個體.箭頭代表行為路徑，柵欄表示每個主體所處的位置;沒有碰撞前的主體都用圓形表示，碰撞1次用方形表示，碰撞2次用菱形表示，碰撞3次用梯形表示;一般碰撞的次數(shù)越多，下次碰撞從其上獲得信息量越少.

圖2 單位時間內(nèi)所獲信息元胞

這種單位時間內(nèi)獲得信息元胞量遞減認知法則，可通過在沒洞的臺球案上打臺球進行類比，初始假設(shè)每個臺球攜帶相同的信息量，但其形式完全不同.只要有碰撞就會有信息擴散，每一次打出母球后接觸的臺球個數(shù)，在統(tǒng)計意義上是相同的，且第k次接觸同樣一球從其上獲得的信息量小于或者等于第k－1次接觸它所獲得的信息量.第1次打出母球后其吸收的信息假若為一個量，第2次母球打出后又存在一吸收的信息量，第2次吸收量在平均上小于或者等于第一次獲得的，并且向后每一次接觸后獲得信息元胞量在統(tǒng)計意義上都小于或者等于前一次.這因為后來母球接觸的臺球有可能被上一次接觸了，一旦接觸后再次被接觸就獲得的信息量將減少，這由認知和統(tǒng)計法則決定.

3 信息元胞方程

根據(jù)以上設(shè)定，單位時間內(nèi)考察主體獲得的新信息元胞量隨著時間逐漸減少，源于圖2所示的認知法則.單位時間所獲得信息元胞量取決于其單位時間內(nèi)所接觸主體數(shù)以及從每個主體上平均所獲得信息元胞量，故減少的方式可表征為如下2種:一是單位時間內(nèi)平均接觸的主體數(shù)不變，但從每個接觸個體上獲得的絕對信息元胞數(shù)量逐漸減少;二是單位時間接觸人數(shù)逐漸變少，但從每個接觸個體上獲得絕對信息元胞量不變.總之，隨著時間變化，未來單位時域內(nèi)考察個體獲得絕對信息元胞數(shù)量減少.又因文章僅考察某時點上的狀態(tài)結(jié)果，且上述2種方式在狀態(tài)結(jié)果上是等價的，故在此先考慮后一種的信息元胞方程，即單位時間內(nèi)接觸的個體逐漸減少，但從每個主體上獲得絕對信息元胞不變的情況，隨后通過后者再去反演前者.

3.1 離散型的信息元胞方程

因存在基本的信息元胞，故信息擴散的真實情況應(yīng)是離散的.根據(jù)上述設(shè)定和推理，單位時間內(nèi)，考察主體所獲得的信息元胞量逐漸減少，則其最終可歸結(jié)為，在每接觸一個體所獲得的絕對信息元胞一定情況下，單位時間內(nèi)接觸的人數(shù)逐漸減少的命題.又根據(jù)統(tǒng)計和認知法則，單位時間內(nèi)新增加的接觸次數(shù)正比于總信息元胞量與此刻考察主體所擁有的元胞量之差的λ次冪(實際上是下一點上信息的增量與“活動空間的信息總量與此刻其所擁有的信息量之差”成正比，但每單位時間每發(fā)生一次接觸所獲得的信息量不變，則實際上是“下一單位時點內(nèi)信息的增量”就轉(zhuǎn)化為“單位時間內(nèi)新增加接觸次數(shù)”).

其中:Nk(t)是考察主體k在活動空間上截止到t時刻其所發(fā)生的總接觸次數(shù)，Nk(t+1)是再經(jīng)過一單位時刻后考察主體所發(fā)生的總接觸次數(shù)，‖A‖是活動空間上的總信息元胞量，‖Ak(t)‖是主體k在t時刻所擁有的信息元胞量.

初始所攜帶的信息元胞量是個常量，并把每發(fā)生一次接觸所獲得的信息元胞用一個矩陣表示，而此矩陣的測度就是此次接觸所獲得的絕對信息元胞量.而此刻考察主體所擁有的信息元胞量等于初始所擁有的和后來通過接觸所獲得信息元胞之和.

其中:Akj(t)為考察個體k第j次接觸所獲得的信息元胞矩陣，‖Ak(0)‖是初始攜帶的信息元胞量，Nk(t)是截止到t時已發(fā)生的接觸次數(shù)，‖Ak(t)‖為截止到t時刻所擁有的信息元胞量，也稱信息元胞函數(shù)或信息水平.

因不同的考察主體對新信息元胞的敏感好奇程度不同，故其在面對與總信息元胞量同樣的差距的情況下，下一單位時間內(nèi)所發(fā)生接觸的次數(shù)也將不同;即對新信息具有不同的敏感程度的考察個體，將引致其信息元胞總量的增長速度的不同;若較敏感，則其信息元胞數(shù)量增長速度較快.選取一個反應(yīng)不同考察主體表征對信息敏感性的學(xué)習(xí)品質(zhì)特征參數(shù)σk＞0，則式(6)可整理為

同時為求解方便，不妨令指數(shù)λ=1，又因每發(fā)生一次接觸所獲得n/2的信息元胞量相同，即每個信息矩陣的測度都為初始接觸所獲得單位信息元胞，則上述公式中的第一公式可整理為一個含有參數(shù)的且關(guān)于“接觸次數(shù)”的遞推公式

在某個時點上，考察主體總攜帶的信息元胞量等于初始攜帶信息元胞量與后來通過接觸所獲得的信息元胞量之和，而通過接觸獲得的信息元胞的求解最終歸結(jié)為對累計發(fā)生接觸次數(shù)的計算，因累計接觸次數(shù)已知，故信息元胞函數(shù)

根據(jù)上述一系列推理和設(shè)定，又由于活動空間內(nèi)信息元胞量一直大于或者等于考察對象的信息元胞量，故有下述不等式成立

因活動空間上信息元胞總量是個常數(shù)，而考察對象任一時點上的信息元胞量已求出，把式(3)和式(9)分別代入式(10)，又因不等式在任一的時刻上恒成立，通過整理，則反映考察主體對新信息靈敏度的參數(shù)范圍

注:如果信息空間的維度和考察主體不一致，則式(11)中2/n的分母應(yīng)包括信息空間的維度和考察主體的總數(shù)兩項，而對這些的探討放在將來的后續(xù)工作中.

因設(shè)定信息空間的維數(shù)與主體數(shù)一致，即信息空間的維數(shù)越大則主體數(shù)也就越多.從式(11)推理可以得出，信息空間的維數(shù)越大，則代表某個主體學(xué)習(xí)品質(zhì)特征的參數(shù)的上限值就越小，這在某種程度上是符合認知法則的.因活動空間上的總信息元胞量不變，并且考察主體在時間的無窮遠處才獲取活動空間上的所有信息元胞.故“在低維的信息空間中，每單位時間內(nèi)或者每次接觸考察主體獲得的信息元胞量與此條件下的總信息元胞量的比值”大于“在信息元胞總量較多的情況下，每單位時間內(nèi)或者每次接觸獲得的信息元胞量與此條件下的總信息元胞量的比值”.

根據(jù)上述的探究和初始設(shè)定，最終把認知法則用一種數(shù)學(xué)語言表達出來，為直觀形象表述這一認知法則(由于客觀技術(shù)條件的限制，還未能進真人實驗?zāi)M，驗證上文對認知法則的探究和建立信息元胞方程是否反映真實的認知機制，故行文還僅是一次試探性的先驗的理論性探討)，對方程中的參數(shù)進行適當(dāng)?shù)脑O(shè)定，繪出考察主體信息元胞函數(shù)對時間的演化圖.看具有不同信息靈敏度的考察主體的信息元胞函數(shù)如何改變以及其圖形具備什么樣的統(tǒng)計特性.

令初始主體數(shù)n=100，根據(jù)上述分析，故反映考察主體學(xué)習(xí)品質(zhì)的參數(shù)σk落在0與0.02之間時.在小于0.02的區(qū)域內(nèi)令σk=0.018、0.01、0.002以及0值，則信息元胞函數(shù)圖依次如圖 3所示.

圖3 離散的信息元胞函數(shù)

從圖3中可以看出:1)隨時間演化，考察主體所擁有的信息元胞量具有只增不減特性，即曲線單調(diào)增加;2)同時認知法則引致的每單位時間內(nèi)獲得的信息元胞量趨于減少也在上圖得以反映，即圖形上凸;3)不同的學(xué)習(xí)品質(zhì)參數(shù)σk收斂到活動空間的總信息元胞量，其中σk越大，則收斂的速度越快.并且上述圖也說明考察主體具有對已獲得的信息元胞不存在遺忘特性.如果考察主體對新獲得的信息完全排斥，即反映學(xué)習(xí)品質(zhì)的參數(shù)值σk=0，則其信息元胞量一直保持在初始水平n上.

3.2 連續(xù)型的信息元胞方程

在其他假設(shè)條件和分析過程依然保持不變情況下，如果初始的個體足夠的多，也就是絕對信息元胞足夠的大，上述離散的方程就可改成連續(xù)的，故反映信息元胞量的模型為

參數(shù)σk同樣反映考察系統(tǒng)學(xué)習(xí)品質(zhì)，同時其依然0在與n/2之間;根據(jù)設(shè)定，每單位時間接觸的人數(shù)單調(diào)增加;同時接觸速度呈現(xiàn)下降趨勢，客觀的撇開主觀上的自滿性、存在遺忘以及劃分引致信息挖掘的記憶特性.

因每接觸一個體獲得的平均信息元胞量不變，故單位時間內(nèi)接觸的人數(shù)逐漸減少，即隨著考察個體信息元胞數(shù)量的增加，其獲得新信息元胞的難度加大.根據(jù)這些特性，上述模型又可整理為

同樣令上述指數(shù)λ取1，根據(jù)上述同樣推理:“假定每次獲得信息元胞數(shù)量相同，即‖Akj‖≡n/ 2”，則在時間(0，t］內(nèi)考察主體與其他主體發(fā)生接觸的次數(shù)

因初始考察主體含有n單位信息元胞，即‖Ak(0)‖，又因任一時點處累計所發(fā)生的接觸次數(shù)由上述公式給出，故考察主體信息元胞函數(shù)

因信息元胞函數(shù)是連續(xù)的，故在初始的主體數(shù)較大情況下才近似成立.在此不妨令n=1 000，反映學(xué)習(xí)品質(zhì)的參數(shù)σk依次取與上述相同的0.018、0.01、0.002以及0值，則信息元胞函數(shù)圖如圖4.

圖4 連續(xù)的信息元胞函數(shù)圖

通過圖4可看出，圖4與離散的信息元胞函數(shù)圖形頗為相似.因在同樣的設(shè)定和假設(shè)下，信息元胞量具有只增不減特性，上述方程的解就表征為此式.還可以看出在t=0時刻，考察主體有n單位信息量;隨著t逐漸變大，考察主體所擁有的信息元胞量將逐漸穩(wěn)定在特定的單位.若對新獲得信息完全排斥，即參數(shù)σ=0，則考察主體所擁有的信息元胞量一直保持在初始水平.

3.3 信息元胞方程的延伸

根據(jù)初始的分析，隨著時間的演化，單位時間內(nèi)所獲得信息元胞量在統(tǒng)計意義上會逐漸下降，下降的方式分為兩種.但上述的分析和求解過程主要著眼第一種:每次接觸所獲得絕對信息元胞量不變，但發(fā)生接觸的次數(shù)逐漸減少;另一種:單位時間內(nèi)接觸的次數(shù)不變，但每次接觸所獲得信息量逐漸遞減，正如圖1所示，又因兩種在結(jié)果狀態(tài)上是等價的，故對上述分析結(jié)果只需變形一下，即可生成另一種所需要參量.

如果單位時間內(nèi)發(fā)生接觸次數(shù)記住正整數(shù)，其為一常數(shù);在任一時刻上每接觸一次所獲得的信息元胞量記為ρk(t)，則信息元胞函數(shù)可另寫為

在初始信息量元胞量較大的情況下考慮上述方程，故信息元胞函數(shù)可寫為上述連續(xù)的形式式(16)，把式(16)帶入式(17)，并對式(17)的兩邊求關(guān)于時間的一階導(dǎo)數(shù)，則任一時刻t上每接觸一次所獲得的信息元胞量

因信息元胞函數(shù)是連續(xù)，同樣令初始主體數(shù)n =1 000，每單位時間發(fā)生接觸次數(shù)z=50，反映學(xué)習(xí)品質(zhì)的參數(shù)σk取與上述相同的0.018、0.01、0.002以及0值，則每接觸一次所獲信息元胞量ρk(t)圖如圖5.

圖5 連續(xù)的信息元胞密度函數(shù)

通過上述可看出:隨時間的變化，接觸一次所獲信息元胞量趨于減少，且收斂于0.反映學(xué)習(xí)品質(zhì)的參數(shù)σk的參數(shù)越大，其起始點越大，且收斂的速度越快，即對信息較敏感的考察個體先接近總信息元胞量，這基本符合設(shè)定，即隨時間的變化，由于約束每單位時間內(nèi)所獲得的信息元胞量趨于減少;又因考察主體單位時間內(nèi)發(fā)生接觸次數(shù)一定，故每次接觸所獲元胞量趨于減少.當(dāng)參數(shù)σk=0，說明雖然發(fā)生接觸，但考察主體排斥外在信息元胞，故每次接觸不會有新的信息元胞被吸納進考察個體.

4 結(jié)語

隨著科學(xué)的發(fā)展，人們越來越發(fā)現(xiàn)信息科學(xué)中所涌現(xiàn)的現(xiàn)象與行為認知科學(xué)有較大的相似.這不是唯象的相似，而有深層次法則上的一致性，即存在一條從信息到認知的數(shù)理通路.通過考察個體的信息水平的認知機制，從信息元胞矩陣出發(fā)，設(shè)定認知假設(shè)，采用測度和微分的數(shù)學(xué)方法，最終給出信息水平的更新方程，而此函數(shù)具有“只增不減，但增速放緩”的特性.這為進一步的研究信息和認知科學(xué)奠定部分基礎(chǔ)，充實了交叉和邊緣學(xué)科的內(nèi)容，拉近認知科學(xué)和信息科學(xué)的距離，進一步豐富了認知中測度的發(fā)展，使得信息科學(xué)和認知科學(xué)在更廣義問題上對話.上述工作可歸結(jié)為應(yīng)用數(shù)學(xué)或者系統(tǒng)信息科學(xué)范疇，同時也是在嚴格假設(shè)下展開的一次試探性工作，其可以看作進一步研究的參照，但還有諸多不足.

若考慮主觀上個體的自滿特性，即隨著其信息元胞距總信息元胞量越來越近，則自滿將引致其信息元胞增加的速度越來越慢，模型就不能僅僅考慮客觀上速度放緩的認知法則;若放開對已獲得的信息元胞不存在遺忘的限定，則方程中信息元胞量后須加一個隨時間變化的遺忘因子;若信息空間的維度與活動空間上的主體數(shù)目不同，在接受信息的過程中不符合均勻隨機瞬時的認知假定，模型同樣得以改進.但上述這些只是對原有模型的添項，如果考慮第三方、劃分引致的信息挖掘以及考察內(nèi)部存在新維度的信息創(chuàng)造源，上述模型須作大的修正，但僅單純考慮活動空間與考察對象的關(guān)系，故無需考慮這些;本文也沒有進行真人試驗去驗證信息元胞方程在模擬個體信息水平上的效力，將進一步研究.

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