NA樣本下Burr Type XII分布形狀參數(shù)的經(jīng)驗(yàn)Bayes檢驗(yàn)

周 慧，陽連武

（宜春學(xué)院 數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)學(xué)院,江西 宜春336000）

0 引言

自Robbins提出經(jīng)驗(yàn)Bayes(E B)方法以來,經(jīng)驗(yàn)Bayes (EB)假設(shè)檢驗(yàn)問題是Bayes統(tǒng)計(jì)推斷的重要內(nèi)容之一,受到許多學(xué)者的重視.在可靠性理論、滲透理論和某些多元統(tǒng)計(jì)分析問題中,隨機(jī)樣本往往不是i.i.d.的,而是具有一定相關(guān)性,如負(fù)相協(xié)(NA)和正相協(xié)(PA)樣本就是常見的兩種。最近幾年關(guān)于相協(xié)樣本的經(jīng)驗(yàn)Bayes估計(jì)和檢驗(yàn)引起了一些學(xué)者的興趣。文[1]討論了NA樣本下刻度指數(shù)族參數(shù)的E B檢驗(yàn)問題；文[2]討論了NA樣本下單邊截?cái)嘈头植甲鍏?shù)的E B檢驗(yàn)問題；文[3]討論了NA樣本下連續(xù)型單參數(shù)指數(shù)族參數(shù)的E B檢驗(yàn)問題；文[4]討論了NA樣本下伽瑪分布族參數(shù)的E B雙邊檢驗(yàn)問題；文[5]在NA樣本和線性損失函數(shù)下討論了一類分布族參數(shù)的經(jīng)驗(yàn)Bayes檢驗(yàn)問題;文[6]討論了PA樣本下線性指數(shù)分布族參數(shù)的E B檢驗(yàn)問題。

Burr XII分布由Burr1942年引入,自提出以來受到廣泛的關(guān)注和研究，其被廣泛應(yīng)用于機(jī)械工程、航天航空領(lǐng)域、質(zhì)量控制和保險(xiǎn)精算學(xué)等諸多領(lǐng)域。其應(yīng)用和統(tǒng)計(jì)推斷問題引起很多學(xué)者的興趣。文[7]利用最大似然方法用Burr Type XII分布擬合了一個(gè)醫(yī)學(xué)研究中的壽命數(shù)據(jù)；文[8]發(fā)現(xiàn)利用Burr Type XII模型比其他模型能更好的你和鈾勘察數(shù)據(jù)；文[9]在定數(shù)截尾樣本情形下導(dǎo)出了Burr Type XII分布的最大似然估計(jì),并且討論了最大似然估計(jì)存在的條件和解唯一的條件；文[10]在平方損失函數(shù)以及LINEX損失下研究了Burr Type XII分布的Bayes估計(jì)和極大似然估計(jì);文[11]基于失效截尾樣本給出了兩參數(shù)Burr分布形狀參數(shù)的區(qū)間估計(jì)；文[12]在線性損失和加權(quán)平方損失函數(shù)下討論了兩參數(shù)Burr Type XII分布的單側(cè)和雙側(cè)經(jīng)驗(yàn)Bayes檢驗(yàn)問題。

設(shè)隨機(jī)變量X服從兩參數(shù)Burr Type XII分布,相應(yīng)的分布函數(shù)為：

概率密度函數(shù)為：

其中，α＞0，是已知形狀參數(shù)；θ＞0，為未知形狀參數(shù)。

樣本空間為Ω={x| x }＞0,參數(shù)空間為：

定義1隨機(jī)變量X1,X2,...,Xn稱為NA的,如果對(duì)于集合{1,2,...,n}的任何兩個(gè)不交的非空子集A1與A2都有Cov(f1(Xi,i∈A1),f2(Xi,i∈A2))≤0,其中 f1和 f2是任何兩個(gè)使得協(xié)方差存在且對(duì)每個(gè)變?cè)墙担ɑ蛲瑫r(shí)非升）的函數(shù).稱隨機(jī)變量序列{Xj,j∈N}是NA的,如果對(duì)任何自然數(shù)n≥2,X1,X2,...,Xn都是NA的。

下面我們將基于NA樣本,在加權(quán)線性損失函數(shù)下討論Burr Type XII分布未知形狀參數(shù)的E B檢驗(yàn)問題。

本文所討論的單側(cè)檢驗(yàn)問題為：

其中，θ0為給定的常數(shù),對(duì)假設(shè)檢驗(yàn)問題(3),設(shè)損失函數(shù),這里是行動(dòng)空間,d0表示接受H0,d1表示拒絕H0。本文采用上述的“加權(quán)”線性損失函數(shù)的好處是，它具有不變性,并使Bayes表達(dá)式更加簡(jiǎn)潔,EB檢驗(yàn)函數(shù)易于構(gòu)造。

假設(shè)參數(shù)θ的先驗(yàn)分布為G(θ),G(θ)未知,設(shè)隨機(jī)化判決函數(shù)為:

則δ(x)的風(fēng)險(xiǎn)函數(shù)為：

此處

令隨機(jī)變量X的邊緣分布為:

令

所以由（5）式得：

由（4）式可知Bayes檢驗(yàn)函數(shù)為：

其Bayes風(fēng)險(xiǎn)為：

注意下列事實(shí)：若先驗(yàn)分布G(θ)是已知,且δ(x)等于δG(x)時(shí),RG是可以精確達(dá)到的。不幸的是此處G(θ)是未知的,所以δG(x)也未知,因而Bayes檢驗(yàn)函數(shù)δG(x)無實(shí)用價(jià)值,于是需要引入EB方法,這就需要構(gòu)造其風(fēng)險(xiǎn)可任意接近RG的EB判決函數(shù)。

2 經(jīng)驗(yàn)Bayes檢驗(yàn)函數(shù)的構(gòu)造

本文在下列框架下構(gòu)造經(jīng)驗(yàn)Bayes檢驗(yàn)函數(shù):設(shè)X1,X2,...,Xn,Xn+1為同分布弱平穩(wěn)的NA隨機(jī)變量序列；其共同的概率邊緣密度函數(shù)為 fG(x)；X1,X2,...,Xn為歷史樣本,Xn+1為當(dāng)前樣本。本文中假定：

(1)fG(x)∈Cs,α,x∈R1,其中Cs,α表示R1中的一族概率密度函數(shù),其s階導(dǎo)數(shù)存在、連續(xù)且絕對(duì)值不超過α,s≥2為正整數(shù)。

(2)令s≥2為任意確定的自然數(shù),Kr(x)(r=0,1,... s-1)是Borel可測(cè)的有界函數(shù),在區(qū)間(0,1)之外為零,且滿足下列條件：

定義fG(x)的核密度估計(jì)為：

(3)本文對(duì)NA樣本序列的協(xié)方差結(jié)構(gòu)做如下假定：

由(7)、(8)式可知：

因此PG(x)的估計(jì)量定義為：

所以β(x)的估計(jì)量為：

所以經(jīng)驗(yàn)Bayes檢驗(yàn)函數(shù)可定義為：

以下令En表示對(duì)隨機(jī)變量X1,X2,...,Xn的聯(lián)合分布求均值,則δn(x)的全面風(fēng)險(xiǎn)為：

若 R(δn(x),G(θ))-RG=Ο(n-q),q＞0,則稱檢驗(yàn)函數(shù){δn(x)}的收斂速度為Ο(n-q)。

由定義可見,EB檢驗(yàn)函數(shù)優(yōu)良性的評(píng)價(jià)取決于其風(fēng)險(xiǎn)逼近Bayes風(fēng)險(xiǎn)的程度。

令c,c1,c2,...表示不同的常數(shù),即使在同一表達(dá)式中它們也可取不同的值。

本文中令c,c1,c2,...表示不同的常數(shù),即使在同一表達(dá)式中它們也可取不同的值。

引理1[11]令RG和R(δn(x),G(θ))分別由（10）和（17）式定義,則：

引理2[4]設(shè) fn(x)由(12)式定義,其中X1,X2,...為同分布弱平穩(wěn)的NA隨機(jī)樣本序列,假定條件(A1)-(A3)成立,對(duì)?x∈Ω：

（1）若 fG(x)關(guān)于 x連續(xù),則當(dāng) lim

n→∞bn=0,且時(shí)有：

（2）若fG(x)∈Cs,α,當(dāng)取bn=時(shí),對(duì)于0＜λ＜1有：

引理3設(shè)PG(x)和Pn(x)分別由（1.7）和(2.3)式給出，其中X1,X2,...為同分布弱平穩(wěn)的NA隨機(jī)樣本序列,對(duì)于

證明：由(13)和(14)知,Pn(x)為PG(x)的無偏估計(jì)，則由Jensen不等式,有：

其中：

由于 I(Xi＞x)為關(guān)于 Xi的非降函數(shù),并且X1,X2,...,Xn為NA隨機(jī)變量序列,從而

于是

將其帶入到（22）知引理得證。

3 經(jīng)驗(yàn)Bayes檢驗(yàn)函數(shù)的漸近最優(yōu)性

定理1設(shè)δn(x)由（16）式定義,其中X1,X2,...為同分布弱平穩(wěn)的NA隨機(jī)樣本序列,在條件（A1）-（A3）成立時(shí),若

（1）{bn}為正數(shù)序列,且

（3）fG(x)為x的連續(xù)函數(shù)；

由（7）式和Fubini定理得:

故由引理1及控制收斂定理可知:

由(9)和(14)式及Markov不等式和Jensen不等式可得:

又由引理2和引理3可知,對(duì)?x∈Ω,有:

結(jié)合（23）和（24）,定理得證。

定理2設(shè)δn(x)由（16）式定義,其中X1,X2,...為同分布弱平穩(wěn)的NA隨機(jī)樣本序列,假定條件(A1)-(A3)成立,又若 fG(x)∈Cs,α,對(duì)于0＜λ＜1,有:

則當(dāng)bn=時(shí)有R(δn(x),G(θ))-RG=

其中s≥2為正整數(shù)。

證明：由引理1及Markov不等式得：

由引理2引理3及條件(B1)得：

[1]韋來生.刻度指數(shù)族參數(shù)的經(jīng)驗(yàn)Bayes檢驗(yàn)問題:NA樣本情形[J].應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)報(bào),2000,(23).

[2]許勇,師義民.單邊截?cái)嘈头植甲鍏?shù)的經(jīng)驗(yàn)Bayes檢驗(yàn)問題:NA樣本情形[J].應(yīng)用數(shù)學(xué),2001,14(4).

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