差異化雙寡頭博弈均衡的經(jīng)濟(jì)效率分析

江小國(guó)

（安徽工業(yè)大學(xué)經(jīng)濟(jì)學(xué)院，安徽 馬鞍山243032）

0 引言

在完全競(jìng)爭(zhēng)市場(chǎng)中，是假設(shè)所有企業(yè)都生產(chǎn)具有完全替代性的產(chǎn)品，即完全同質(zhì)產(chǎn)品，且每個(gè)企業(yè)只能是市場(chǎng)價(jià)格的完全接受者；即使在寡頭壟斷市場(chǎng)上，同質(zhì)產(chǎn)品之間的價(jià)格競(jìng)爭(zhēng)也會(huì)導(dǎo)致完全競(jìng)爭(zhēng)的結(jié)果，即價(jià)格降到邊際成本水平，造成所謂的“伯特蘭悖論”。不過(guò)，完全競(jìng)爭(zhēng)市場(chǎng)、完全壟斷市場(chǎng)、產(chǎn)品完全可替代性、產(chǎn)品完全不可替代性等都只是理論上的極端狀態(tài)。在現(xiàn)實(shí)中，常見(jiàn)的是差異化產(chǎn)品競(jìng)爭(zhēng)，即各廠商生產(chǎn)的同類(lèi)產(chǎn)品具有不完全替代性；也就是說(shuō)，現(xiàn)實(shí)市場(chǎng)中壟斷因素與競(jìng)爭(zhēng)因素通常同時(shí)存在。在差異化寡頭壟斷市場(chǎng)中，廠商的行為決策是一個(gè)博弈過(guò)程，廠商選擇不同的博弈變量就會(huì)有不同的博弈均衡結(jié)果，進(jìn)而對(duì)經(jīng)濟(jì)效率產(chǎn)生不同的影響。本文試圖通過(guò)利潤(rùn)最大化模型的建立與求解，分析差異化雙寡頭在產(chǎn)量博弈與價(jià)格博弈均衡狀態(tài)下的經(jīng)濟(jì)效率的大小。

1 差異化雙寡頭需求模型

在生產(chǎn)無(wú)差異產(chǎn)品的行業(yè)中，某一企業(yè)的需求曲線只自己與競(jìng)爭(zhēng)對(duì)手的供給總量有關(guān)；而在生產(chǎn)差異化產(chǎn)品的行業(yè)中，由于產(chǎn)品之間存在差異，每個(gè)企業(yè)面臨的需求曲線則與每個(gè)競(jìng)爭(zhēng)對(duì)手的供給分別有關(guān)。假設(shè)一個(gè)行業(yè)內(nèi)只有兩家企業(yè)即雙寡頭，分別為企業(yè)1和企業(yè)2。如果兩家企業(yè)生產(chǎn)的產(chǎn)品無(wú)差異，則每個(gè)企業(yè)面臨的價(jià)格為：

其中，a、b＞0（常數(shù)），Y為總產(chǎn)量，y1為企業(yè)1的產(chǎn)量，y2為企業(yè)2的產(chǎn)量。從以上價(jià)格函數(shù)中，我們知道，任一企業(yè)產(chǎn)量的變動(dòng)對(duì)價(jià)格的影響都有著同樣的效果，因?yàn)閮善髽I(yè)產(chǎn)量的系數(shù)均為b。

相反情況，如果企業(yè)1與企業(yè)2的產(chǎn)品有差異，是不完全替代品，則企業(yè)1面臨的反需求函數(shù)為：

由于消費(fèi)者對(duì)兩家企業(yè)產(chǎn)品的偏好有差異，如果企業(yè)1和企業(yè)2增加同樣的產(chǎn)量，那么企業(yè)1產(chǎn)量的增加導(dǎo)致企業(yè)1產(chǎn)品價(jià)格的下降幅度，要大于企業(yè)2產(chǎn)量增加導(dǎo)致企業(yè)1產(chǎn)品價(jià)格的下降幅度。所以，我們有理由設(shè)定：b1＞b2＞0；反之，可以推導(dǎo)出企業(yè)2面臨的反需求函數(shù)如下：

通過(guò)聯(lián)立企業(yè)1和企業(yè)2的反需求函數(shù)，可得到兩企業(yè)的直接需求函數(shù)，分別為：

其中：

2 差異化雙寡頭產(chǎn)量博弈的均衡分析

2.1 模型建立

我們以?xún)善髽I(yè)的產(chǎn)量作為雙方博弈的變量，尋求均衡狀態(tài)。為了便于模型構(gòu)建，作如下假設(shè)：（1）差異化雙寡頭的成本結(jié)構(gòu)均簡(jiǎn)化為邊際成本等于零；（2）兩企業(yè)在市場(chǎng)上只相遇一次，在經(jīng)過(guò)一次博弈之后，兩企業(yè)都退出市場(chǎng)或者這之后的情況對(duì)這一次決策不產(chǎn)生影響；（3）每家企業(yè)選擇產(chǎn)量時(shí)，假定對(duì)方產(chǎn)量不變。

那么，結(jié)合企業(yè)1的反需求函數(shù)，企業(yè)1的利潤(rùn)π1可表示為：

將企業(yè)1利潤(rùn)π1對(duì)y1求一階導(dǎo)數(shù)并令其等于零，得：

從而得到企業(yè)1的最優(yōu)即利潤(rùn)最大化的產(chǎn)量反應(yīng)函數(shù)：

企業(yè)1的最優(yōu)產(chǎn)量反應(yīng)函數(shù)表示，在企業(yè)2產(chǎn)量既定的條件下，企業(yè)1的最優(yōu)產(chǎn)量決策。另外，可以看出，在產(chǎn)品存在差異的情況下，企業(yè)1的最優(yōu)產(chǎn)量反應(yīng)函數(shù)是向下傾斜的一條直線，即企業(yè)1的最優(yōu)產(chǎn)量與企業(yè)2的產(chǎn)量呈反方向關(guān)系。

同理，企業(yè)2的利潤(rùn)函數(shù)可表示為：

將企業(yè)2利潤(rùn)π2對(duì)y2求一階導(dǎo)數(shù)并令其等于零，得：

從而得到企業(yè)2的最優(yōu)產(chǎn)量反應(yīng)函數(shù)：

把兩企業(yè)的最優(yōu)產(chǎn)量反應(yīng)函數(shù)描繪在同一圖形上，能直觀地發(fā)現(xiàn)它們產(chǎn)量博弈的均衡狀態(tài)，如圖1所示，N點(diǎn)為均衡狀態(tài)。

2.2 模型求解

通過(guò)企業(yè)1與企業(yè)2的最優(yōu)產(chǎn)量反應(yīng)函數(shù)，可以確定兩企業(yè)產(chǎn)量博弈的均衡解。聯(lián)立兩企業(yè)最優(yōu)產(chǎn)量反應(yīng)函數(shù)并求解，得出兩家企業(yè)的均衡產(chǎn)量如下：

那么，市場(chǎng)總供給為：

將兩企業(yè)均衡產(chǎn)量代入它們的反需求函數(shù)，可得到兩企業(yè)的均衡市場(chǎng)價(jià)格為：

此時(shí)，兩家企業(yè)獲得的利潤(rùn)為：

從均衡結(jié)果可以看出，隨著b2不斷減小即差異化不斷增大時(shí)，兩家企業(yè)的市場(chǎng)價(jià)格會(huì)不斷提高，利潤(rùn)水平也會(huì)不斷增加。這個(gè)模型可以解釋企業(yè)為什么常常會(huì)花大量資金做廣告。因?yàn)閺V告是形成產(chǎn)品差異化的一個(gè)重要措施，企業(yè)通過(guò)做廣告使得消費(fèi)者相信它們的品牌與其他同類(lèi)產(chǎn)品之間存在差異，從而獲得更大的市場(chǎng)勢(shì)力，和更高的利潤(rùn)。

3 差異化雙寡頭價(jià)格博弈的均衡分析

3.1 模型建立

下面以?xún)善髽I(yè)的價(jià)格作為雙方博弈的變量，尋求均衡狀態(tài)。假設(shè)每家企業(yè)選擇價(jià)格時(shí)，對(duì)方價(jià)格不變；其他假設(shè)如同上文提出的產(chǎn)量博弈的假設(shè)（1）與假設(shè)（2）。

結(jié)合企業(yè)1的直接需求函數(shù)，企業(yè)1的利潤(rùn)可表示為：

此時(shí)價(jià)格是企業(yè)選擇的變量，企業(yè)進(jìn)行價(jià)格決策使得自己利潤(rùn)最大化。對(duì)企業(yè)1利潤(rùn)π1求p1的一階導(dǎo)數(shù)并令其等于零，得：

對(duì)上式化簡(jiǎn)，可得到企業(yè)1的最優(yōu)價(jià)格反應(yīng)函數(shù)：

將直接需求函數(shù)中的參數(shù)a、b、g代入上式，企業(yè)1的最優(yōu)價(jià)格反應(yīng)函數(shù)變換為：

企業(yè)1的最優(yōu)價(jià)格反應(yīng)函數(shù)表示，給定企業(yè)2的價(jià)格下，企業(yè)1的最優(yōu)價(jià)格決策。企業(yè)1的最優(yōu)價(jià)格反應(yīng)函數(shù)是向上傾斜的一條直線，意味著，如果一個(gè)企業(yè)提高價(jià)格，另一家企業(yè)的最優(yōu)價(jià)格反應(yīng)是也提高價(jià)格。

同理，企業(yè)2的利潤(rùn)π2可表示為：

將企業(yè)2的利潤(rùn)π2對(duì)p2求一階導(dǎo)數(shù)并令其等于零，得：

化簡(jiǎn)上式，可得出企業(yè)2的最優(yōu)價(jià)格反應(yīng)函數(shù)：

將參數(shù)a、b、g代入上式，企業(yè)2的最優(yōu)價(jià)格反應(yīng)函數(shù)變換為：

我們把兩企業(yè)的最優(yōu)價(jià)格反應(yīng)函數(shù)描繪在同一圖形上，能直觀地發(fā)現(xiàn)它們價(jià)格博弈的均衡狀態(tài)，如圖2所示，M點(diǎn)為均衡狀態(tài)。

3.2 模型求解

通過(guò)企業(yè)1與企業(yè)2的最優(yōu)價(jià)格反應(yīng)函數(shù)，可以確定兩企業(yè)價(jià)格博弈的均衡解。聯(lián)立兩企業(yè)最優(yōu)價(jià)格反應(yīng)函數(shù)并求解，得出兩家企業(yè)的均衡價(jià)格如下：

此時(shí)，每家企業(yè)的產(chǎn)量為：

那么，市場(chǎng)總供給為：

兩家企業(yè)價(jià)格博弈均衡時(shí)的利潤(rùn)為：

從以上結(jié)論可以看出，隨著b2不斷變小，兩企業(yè)價(jià)格不斷上升，利潤(rùn)水平也不斷增大，直至b2=0時(shí)，即兩企業(yè)產(chǎn)品完全不可替代時(shí)，利潤(rùn)達(dá)到最大。這如同產(chǎn)量博弈，也說(shuō)明產(chǎn)品差異會(huì)增加企業(yè)的市場(chǎng)壟斷勢(shì)力，從而獲得更高的利潤(rùn)。

4 兩種博弈均衡的經(jīng)濟(jì)效率比較

本文所提的經(jīng)濟(jì)效率是指利用經(jīng)濟(jì)資源的有效性。高經(jīng)濟(jì)效率表示對(duì)資源的充分利用或能以最有效的生產(chǎn)方式組織生產(chǎn)；低經(jīng)濟(jì)效率表示對(duì)資源的利用不充分或沒(méi)有以最有效的生產(chǎn)方式組織生產(chǎn)。我們通過(guò)比較差異化雙寡頭兩種博弈下的均衡價(jià)格與均衡產(chǎn)量來(lái)判斷它們經(jīng)濟(jì)效率大小?；谖鞣浇?jīng)濟(jì)學(xué)的基本思想，本文給出判斷標(biāo)準(zhǔn)：高價(jià)格低產(chǎn)出為低經(jīng)濟(jì)效率，低價(jià)格高產(chǎn)出為高經(jīng)濟(jì)效率。由于企業(yè)1與企業(yè)2在兩種均衡下都具有相同價(jià)格與產(chǎn)量，為此我們以企業(yè)1為例，比較兩種均衡的經(jīng)濟(jì)效率大小關(guān)系。

企業(yè)1在產(chǎn)量博弈與價(jià)格博弈達(dá)到均衡時(shí)獲得的均衡價(jià)格之差為：

由于b1＞b2,＞1，所以PN1＞PM1，也就是說(shuō)產(chǎn)量博弈的均衡價(jià)格大于價(jià)格博弈的均衡價(jià)格。

企業(yè)1在產(chǎn)量博弈與價(jià)格博弈達(dá)到均衡時(shí)獲得的均衡產(chǎn)量之差為：

由以上分析可知，產(chǎn)量博弈的均衡狀態(tài)為高價(jià)格低產(chǎn)出；而價(jià)格博弈的均衡狀態(tài)為低價(jià)格高產(chǎn)出。因此差異化雙寡頭價(jià)格博弈均衡狀態(tài)下的經(jīng)濟(jì)效率大于產(chǎn)量博弈均衡狀態(tài)下的經(jīng)濟(jì)效率。

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