Rayleigh分布在逐步型Ⅱ受限產(chǎn)品過程能力分析中的應用

王超

（安陽工學院 經(jīng)濟管理學院，河南安陽455000）

0 引言

過程能力分析是一種有效測量過程績效及潛在能力的方法。工業(yè)生產(chǎn)領域，過程能力指數(shù)（PCIs）被用于評估產(chǎn)品質(zhì)量是否達到需要標準。廣泛使用的該類指數(shù)包含Cp，Cpk，Cpm和Cpmk等。這四類指標適用于具有雙邊規(guī)格型產(chǎn)品。除了雙邊規(guī)格型產(chǎn)品過程能力指標外，Montgomery（1985）和Kane（1986）提出適用于單邊規(guī)格特性產(chǎn)品的過程能力指標，如CL，CPL和CU，CPU，其中CL和CPL為望大型（Larger-the-better）特征產(chǎn)品過程測度指標，而CU，CPU為望小型（Smaller-the-better）特征產(chǎn)品過程測度指標。工業(yè)生產(chǎn)中，電子產(chǎn)品壽命由于符合越大越好的的望大型產(chǎn)品特征，故CL常被用于評估此類產(chǎn)品的產(chǎn)品質(zhì)量。一般而言，該指標越大表明產(chǎn)品質(zhì)量越好。

1 過程能力指標和不合格率

1.1 Rayleigh分布總體下過程能力指標

Rayleigh分布是常用的工業(yè)產(chǎn)品壽命分析中，設某產(chǎn)品作業(yè)或工作時間X服從Rayleigh分布，其累積分布函數(shù)和概率密度函數(shù)分別為：

其期望和方差分別為:

Kane（1986）根據(jù)望大型品質(zhì)特性提出過程能力指標CL，其定義如下：

上式中，μ表示過程均值，σ表示過程標準差，L表示過程設定下限，將式（3）帶入式（4）得：

1.2 過程能力指標與不合格率之間的關系

不合格率（non-conformance rate）的界定為作業(yè)時間低于企業(yè)設定的容忍下限（L）的概率，如果使用p表示不合格率，則在Rayleigh分布情形下，有：

表1 過程能力指標CL與不合格率數(shù)值對應關系

1.3 過程能力指標CL的極大似然估計

設第一個產(chǎn)品的失效時間有被觀察到，記為x(1)，然后移除r1個隨機樣本，0≤r1≤n-1；觀察到第二個樣本觀察值x(2)時，則移除r2個隨機樣本，0≤r2≤n-r1-2；觀察到第i個樣本觀察值x(i)時，則移除ri個隨機樣本，0≤ri≤n-r1-r2-…-ri-1-i，i=1,2,…,m-1，在設限計劃中（Censoring Scheme）中的m,r1,r2,…,rm都是事先確定的，rm=n-r1-r2-…-rm-1-m。在這樣的逐步型Ⅱ設限下，根據(jù)Cohen（1976）知，-X=(X(1),X(2),…,X(m))的似然函數(shù)為：

取對數(shù)為：

其中 c=n(n-r1-1)(n-r2-2)…(n-r1-r2-…-rm-1-m+1)，于是參數(shù)θ的極大似然估計量為：

若令Yi=X2(i)2θ，令:

可得到Z1,Z2,…,Zm為標準指數(shù)分布。根據(jù)Thomas和Wilson（1972）知道:

所以：

故：

2 過程能力指標CL的區(qū)間估計

所以有：

的雙側置信區(qū)間為：

3 過程能力指標CL的統(tǒng)計檢驗

正如前所分析的那樣，一般而言，過程能力指標具有越大越好的性質(zhì)。所以，在只有樣本資料可以取得的情形下，我們作如下假設：

H0∶CL≤c（過程能力指標不符合要求）

H1∶CL＞c（過程能力指標符合要求）

這里我們使用CL的極大似然估計量進行檢驗，其拒絕區(qū)域可表示為。給定顯著性水平α，臨界值c0可通過如下方式獲得：

于是臨界值：

4 檢驗勢的Monte Carlo模擬

統(tǒng)計檢驗的勢為正確拒絕錯誤原假設的概率。針對上述檢驗設定：H0∶CL≤c，H1∶CL＞c，在給定顯著性水平α的情形下，其拒絕區(qū)域為，在點

CL=c1時，檢驗的勢P(c1)為：

該檢驗的勢函數(shù)P(c1)的Monte Carlo模擬步驟

步驟1：

（a）給定c,c1,L,α和n、m，其中c1＞c；（b）θ的值可通過CL=a-bθ-1/2=c1計算求得；（c）產(chǎn)生U(0,1)均勻分布隨機數(shù)U1,U2,…,Um；（d）通過轉換Zi=-ln(Ui)轉換為標準指數(shù)分布，再經(jīng)過式（10）中轉換Y1=Z1/n，+Ym-1可得到m個型Ⅱ逐步設限的服從標準指數(shù)分布的有序樣本(Y1,Y2,…,Ym)，而后，通過轉換可生成服從Rayleigh分布的m個型Ⅱ逐步設限的有序樣本(X1,X2,…,Xm);（e）按照公式（11）計算W統(tǒng)計量，而后通過公式計算；（f）定義計數(shù)變量Count如 果，Count=1，否 則 Count=0，其 中

步驟2：

（a）將步驟1重復1000次；（b）勢函數(shù)P(c1)的估計量為

步驟3：

（a）步驟2重復100次，得到100個勢函數(shù)P(c1)的估計值，記為：值

其中P(c1)通過式（18）求得。

模擬時，本文考慮5種不同的設限計劃（見表2）

表2 不同設限計劃假定

同時，這里我們假定c=0.1，c1=0.2-0.9，L=1.0，α=0.01和0.05。該檢驗的勢模擬結果由表3給出。由此我們可以發(fā)現(xiàn)（1）固定c1情形下，隨著n的增大，模擬勢的平均值逐漸提高；（2）固定n情形下，隨著c1的增大，模擬勢的平均值逐漸提高。從表:4我們可以發(fā)現(xiàn)：（1）所有模擬勢平均值 與其實際值P(c1)是非常接近；（2）均方誤差（SMSE）取值非常小，其變化范圍基本上在0-2.97×10-4之間。

表3 勢函數(shù)估計值的平均值

5 結論

工業(yè)生產(chǎn)領域中，過程能力分析常用于質(zhì)量控制，有關過程能力指數(shù)的多數(shù)理論及應用文獻，多以正態(tài)分布為基礎。但多數(shù)分析已經(jīng)表明，很多現(xiàn)象并不服從正態(tài)分布。針對電子產(chǎn)品的壽命問題，Rayleigh分布為可供選擇的分布之一。本文針對逐步型Ⅱ數(shù)據(jù)資料，討論了Rayleigh分布情形下過程能力指標的統(tǒng)計推斷問題。對產(chǎn)品的生產(chǎn)者而言，該項新的檢驗程序可用于產(chǎn)品的質(zhì)量控制，通過檢驗產(chǎn)品質(zhì)量是否達到設定需求，來對其生產(chǎn)過程進行有效控制。

表4 樣本均方誤差（SMSE） (單位：10-4)

[1]D.C.Montgomery.Introduction to Statistical Quality Control[M].New York：John Wiley&Sons Inc,1985.

[2]Kane,V.E.Process Capability Indices[J].Journal of Quality Technol?ogy,1986,18(1).

[3]A.Clifford Cohen.Progressively Censored Sampling in the Three Pa? rameter Log-Normal Distribution[J].Technometrics,1976,(18).

[4]David R.Thomas，Wanda M.Wilson.Linear Order Statistic Estima?tion for the Two-Parameter Weibull and Extreme-Value Distributions from Type II Progressively Censored Samples[J].Technometrics,1972, (14).

[5]Thomas A.Severini.Elements of Distribution Theory[M].Londom: Cambridge University Press,2005.