結(jié)構(gòu)－聲輻射功率靈敏性分析與應(yīng)用研究

（上海交通大學船舶海洋與建筑工程學院 上海 200240）

0 引 言

在中低頻段，有限元法和邊界元法廣泛應(yīng)用于結(jié)構(gòu)－聲輻射問題．結(jié)構(gòu)－聲輻射靈敏度是結(jié)構(gòu)聲學指標如聲壓、聲強及聲輻射功率等參數(shù)隨結(jié)構(gòu)設(shè)計參數(shù)的變化率．靈敏度信息可為結(jié)構(gòu)－聲輻射優(yōu)化提供參考、有效改善結(jié)構(gòu)聲學特性．Kim等［1］用有限元法分析了轎車內(nèi)聲壓靈敏性問題．Wang等［2］根據(jù)聲壓靈敏度信息進行箱形結(jié)構(gòu)外部聲壓的優(yōu)化．Cheng等［3］對聲輻射功率的頻率靈敏度開展了研究．Marburg等［4－5］通過改變結(jié)構(gòu)模態(tài)來優(yōu)化殼體聲輻射功率，并用于汽車底板的聲設(shè)計．Li等［6］用遺傳算法進行結(jié)構(gòu)的質(zhì)量分布優(yōu)化，以減少圓柱殼結(jié)構(gòu)聲輻射．陳美霞等［7］采用有限元和邊界元方法分析平板在空氣和水中的振動和聲輻射，對比流體特性對聲輻射特性的影響．丁少春等［8］運用功率流法對艦艇進行聲輻射分析，通過數(shù)值對比隔振裝置性能參數(shù)對艦艇聲輻射功率的影響，提出控制艦艇噪聲的基本原則．孫淦云等［9］開展了具有耦合系統(tǒng)的密閉空腔的動力響應(yīng)分析和靈敏度計算，計算固有頻率和聲壓級響應(yīng)對結(jié)構(gòu)尺寸的靈敏度．張軍等［10］結(jié)合有限元法和邊界元法計算聲學靈敏度，研究靈敏度參數(shù)隨外激勵頻率、設(shè)計變量的變化規(guī)律．本文在分析聲輻射功率對結(jié)構(gòu)設(shè)計參數(shù)的靈敏度基礎(chǔ)上，結(jié)合泰勒展開式，開展結(jié)構(gòu)－聲輻射優(yōu)化研究．最后，運用有限元法－邊界元法對雙層加肋圓柱殼結(jié)構(gòu)進行結(jié)構(gòu)－聲輻射優(yōu)化分析．

1 結(jié)構(gòu)動力響應(yīng)

在結(jié)構(gòu)動力響應(yīng)分析中，設(shè)流場中連續(xù)結(jié)構(gòu)體受到外力F（x，t）作用，流體對結(jié)構(gòu)的影響寫成附連水質(zhì)量形式，在結(jié)構(gòu)域ΩS內(nèi)，結(jié)構(gòu)動力響應(yīng)微分方程為

式中：U為節(jié)點位移向量；M 為質(zhì)量矩陣；K為結(jié)構(gòu)剛度矩陣；C為結(jié)構(gòu)黏性阻尼矩陣．質(zhì)量矩陣M可寫成M＝Ms＋Mf，其中：Ms為結(jié)構(gòu)質(zhì)量矩陣；Mf為附連水質(zhì)量矩陣．

設(shè)外激 勵 力 為：F（x，t）＝f（ω）eiωt．式 中：f（ω）為外力幅值；ω為圓頻率．節(jié)點位移向量寫成：U（x，t）＝u（ω）eiωt．式中：u（ω）為節(jié)點位移列向量．代入式（1），可得算子方程：［A（ω）］［u（ω）］＝f（ω）．式中：［A（ω）＝－ω2M＋iωC＋K．結(jié)構(gòu)表面節(jié)點速度向量v（ω）∶vn（ω）＝iωNA－1（ω）f（ω）．式中：N為與結(jié)構(gòu)的表面形狀有關(guān)的法向矢量矩陣．法向速度矢量在聲邊界元法分析中作為邊界條件．

2 聲輻射功率靈敏度方程

2.1 結(jié)構(gòu)聲輻射功率方程

描述結(jié)構(gòu)聲輻射能量流在假定的積分面上的屬性可用輻射聲功率W 來表示．如不考慮聲能量在流體中傳播時的損失、忽略結(jié)構(gòu)對聲能量的吸收，在外聲場中聲能量與結(jié)構(gòu)表面聲輻射能量相等．對于連續(xù)振動結(jié)構(gòu)體，在聲輻射表面處的聲輻射功率為

式中：S為是結(jié)構(gòu)－流體交界表面；pf結(jié)構(gòu)表面處聲壓值為結(jié)構(gòu)表面法向共軛速度；Re為取實部．將結(jié)構(gòu)－流體交界表面離散成M 個單元和N個節(jié)點，結(jié)構(gòu)輻射聲功率為M個單元的聲輻射之和，即：．式中：Sj為第j個單元積分面；vnj為第j單元的法向速度，其值由該單元上的節(jié)點法向速度決定．

2.2 聲輻射功率靈敏度性分析

靈敏度反映目標函數(shù)與設(shè)計參數(shù)之間的關(guān)系，靈敏度的大小決定了設(shè)計參數(shù)優(yōu)化方向．根據(jù)設(shè)計參數(shù)的聲輻射靈敏度，可定量地獲得結(jié)構(gòu)參數(shù)的擾動對聲輻射水平改變的程度．

聲輻射靈敏度為輻射聲功率的局部微分，微分變量可以是節(jié)點法向速度、結(jié)構(gòu)設(shè)計變量、頻率等參數(shù)．其靈敏度最終取決于結(jié)構(gòu)的阻抗矩陣、激勵頻率的大小、振動速度、結(jié)構(gòu)形函數(shù)等因素．聲輻射功率是一個標量，可直接進行微分，將式（2）中對聲功率某個設(shè)計參數(shù)進行微分，即可求出聲功率對結(jié)構(gòu)參數(shù)的靈敏度

式中：節(jié)點對設(shè)計參數(shù)靈敏度可通過對方程vn（ω）＝iωNA－1（ω）f（ω）微分得到，振動速度的靈敏度取決于振動速度、激勵頻率以及結(jié)構(gòu)的質(zhì)量、剛度、阻尼矩陣．

2.3 聲輻射功率優(yōu)化方程

結(jié)構(gòu)－聲輻射優(yōu)化是在設(shè)計空間內(nèi)搜索一組設(shè)計變量，使結(jié)構(gòu)的聲輻射最?。畬⒙曒椛涔β侍娲晧憾x為優(yōu)化目標有一定的特點：將矢量參數(shù)的求解變成標量參數(shù)的求解；不需要求指定場點處的聲壓等．結(jié)構(gòu)－聲輻射優(yōu)化問題可寫成

3 結(jié)構(gòu)－聲輻射功率函數(shù)泰勒展開式

設(shè)連續(xù)結(jié)構(gòu)體在流場中的聲輻射功率f（xi）是某個定義設(shè)計變量參數(shù)xi的函數(shù)，它們之間的關(guān)系可用泰勒展開式來表達

式中：f′（xi0）為聲輻射功率函數(shù)對第i個設(shè)計變量在初始設(shè)計點xi0處的一階導(dǎo)數(shù)，其實質(zhì)是聲輻射功率函數(shù)對該設(shè)計變量在設(shè)計點xi0處的靈敏度值．由式（5）可知，在求得函數(shù)在初值處各階導(dǎo)數(shù)后，結(jié)合設(shè)計變量的變化量可計算出結(jié)聲輻射功率函數(shù)f（xi）的近似值．

在數(shù)值計算中，采用差分法來計算函數(shù)的各階導(dǎo)數(shù)．差分法的基本原理是使設(shè)計變量在初始設(shè)計域附近有一個微小的攝動量Δxi，通過分析其相應(yīng)的輸出響應(yīng)值，由差分格式計算目標函數(shù)f（xi）關(guān)于設(shè)計變量xi的近似導(dǎo)數(shù)．中心差分法具有二階精度，用中心差分法求得聲功率靈敏度后，將其代入式（5），可得到具有二階精度的聲輻射功率的近似公式

式中：在初值函數(shù)值f（xj0）和其導(dǎo)數(shù)f′（xj0）為已知條件下，改變參數(shù)（xi－xi0）大小即可求得到在初始設(shè)計點領(lǐng)域內(nèi)的結(jié)構(gòu)－聲輻射功率值，實現(xiàn)減少結(jié)構(gòu)－聲輻射功率之目的．同樣，式（7）也適用于場點聲壓的優(yōu)化分析．

式（6）中，需假設(shè)設(shè)計變量的變化量（xixi0）較小，設(shè)計變量的變化對結(jié)構(gòu)總體剛度影響較小、對聲輻射模態(tài)的影響也較?。谠O(shè)計變量的初始值領(lǐng)域內(nèi)，聲輻射功率與設(shè)計變量的變化量近似滿足線性關(guān)系．當（xi－xi0）值較大時，式（6）中的線性關(guān)系將不再滿足，對此需通過逐步迭代，在每次迭代后求取該函數(shù)靈敏度，并將其代替xj0）進行計算．

4 數(shù)值算例

以一個處于水中雙層加肋圓柱殼結(jié)構(gòu)受到諧外力作用下的聲輻射計算為例，來驗證運用靈敏度信息進行結(jié)構(gòu)－聲輻射優(yōu)化的可行性和有效性．

4.1 模型描述

加肋圓柱殼結(jié)構(gòu)見圖1．

圖1 雙層加肋圓柱殼

加肋圓柱殼結(jié)構(gòu)參數(shù)：外殼半徑：1．6m；外殼板厚：0．008m；內(nèi)殼半徑：1．2m；內(nèi)殼板厚：0．012m；實 肋 板 間 距：1．8m；實 肋 板 厚：0．008m；肋骨間距：0．6m；艙壁厚：0．008m；肋骨：角鋼．

結(jié)構(gòu)材料為鋼，其力學特性為：密度ρ＝7 800 kg／m3；彈性模量E＝210GPa；泊松比μ＝0．3．設(shè)只有外殼的外表面與水接觸，水密度ρ＝1 000 kg／m3，水中聲速c＝1 490m／s．聲功率參考值：W0＝1×10－12W，聲壓參考值：p0＝1×10－6Pa．

外激勵力中心頻率為56Hz，作用于內(nèi)殼上．一個力作用于P1點，大小為 ＜0，0，200．0＞ N．另一個力作用于P2點，大小為 ＜0，0，－200．0＞N．

4.2 結(jié)構(gòu)－聲功率靈敏度分析

圓柱殼結(jié)構(gòu)被離散成1 538個節(jié)點和1 624個單元．用有限元法進行結(jié)構(gòu)動力響應(yīng)分析，將節(jié)點法向速度作為邊界條件，用邊界元法計算結(jié)構(gòu)在流場中的聲輻射功率，并得到聲功率靈敏度．

將圓柱殼結(jié)構(gòu)的外殼與內(nèi)殼各分成12個部分，并按X方向編號，將結(jié)構(gòu)板厚定義為設(shè)計變量．在結(jié)構(gòu)－聲功率及其靈敏度數(shù)值計算中，頻率從0～200Hz，計算步長為1Hz．圖2所示為聲輻射功率分別對設(shè)計變量inner01和outer06的靈敏度．其中，inner01是內(nèi)殼結(jié)構(gòu)，outer06為外殼結(jié)構(gòu)．在56Hz處，聲輻射功率靈敏度對設(shè)計變量inner01有最大值，對設(shè)計變量outer06有最小值．

由結(jié)構(gòu)－聲功率靈敏度值，結(jié)合泰勒展開式，通過減少設(shè)計變量inner01值可降低所定義的頻率處的結(jié)構(gòu)最大聲輻射功率；同樣，通過增加設(shè)計變量outer06也能減少最大聲輻射功率．

圖2 聲輻射功率靈敏度

4.3 聲功率靈敏度的應(yīng)用

結(jié)合式（6），應(yīng)用靈敏度信息進行結(jié)構(gòu)－聲輻射優(yōu)化，是在滿足約束條件下減少最大的聲輻射值，其中一個約束條件是優(yōu)化后的結(jié)構(gòu)質(zhì)量不超過初始設(shè)計結(jié)構(gòu)質(zhì)量．如圖2所示，將設(shè)計變量inner01的厚度減少0．001 5m，同時對設(shè)計變量outer06的厚度增加0．001m（該值的確定是考慮到與inner01值相協(xié)調(diào)以保證結(jié)構(gòu)總重量不增加）．通過這樣的設(shè)計更改后，計算出修改后的結(jié)構(gòu)的聲輻射功率和指定場點處的聲壓．

圖3為結(jié)構(gòu)修改前后的結(jié)構(gòu)－聲輻射功率級，其最大聲功率級減低了約4dB．圖4為結(jié)構(gòu)修改前后在場點處（0，0，20）的聲壓級，最大聲壓級減低了約2dB．

圖3 聲功率優(yōu)化

圖4 聲壓優(yōu)化

由圖3～圖4可知，通過應(yīng)用靈敏度信息進行結(jié)構(gòu)尺寸修改，結(jié)構(gòu)的聲學特性有了一定的改善，故有效地運用靈敏度信息可在一定程度上實現(xiàn)優(yōu)化的目的．

4.4 聲輻射功率優(yōu)化

運用聲輻射功率靈敏度信息，將設(shè)計變量進行修改可一定程度上實現(xiàn)減低結(jié)構(gòu)聲輻射功率目的．同樣，運用靈敏度信息，對多個設(shè)計變量進行參數(shù)修改，以實現(xiàn)結(jié)構(gòu)－聲輻射的優(yōu)化．在優(yōu)化過程中，優(yōu)化約束滿足式（5）要求．

表1所列為結(jié)構(gòu)的部分設(shè)計變量在優(yōu)化前后的變化．圖5所示為在優(yōu)化前后的結(jié)構(gòu)聲輻射功率級，其最大輻射功率級減少了約9dB．圖6所示為在場點（0，0，20）處優(yōu)化前后的聲壓級，其最大聲壓級減少了約4dB．

表1 結(jié)構(gòu)設(shè)計變量 m

圖5 聲功率優(yōu)化

圖6 聲壓優(yōu)化

由圖5～6可知，通過應(yīng)用多個設(shè)計參數(shù)的修改進行結(jié)構(gòu)優(yōu)化，其聲學性能有了很大的改善，有效地運用靈敏度信息可在一定程度上實現(xiàn)優(yōu)化的目的．對于復(fù)雜結(jié)構(gòu)，要實現(xiàn)多個變量、多目標函數(shù)優(yōu)化，需綜合運用靈敏度信息與合適的優(yōu)化平臺及和搜索策略才能實現(xiàn)．

5 結(jié)束語

文章分析了圓柱殼結(jié)構(gòu)的聲輻射功率靈敏度，并將其應(yīng)用于聲輻射優(yōu)化，其聲輻射功率最大峰值有了明顯減低，同樣在聲場點的聲壓明顯減少．結(jié)果表明，用功率靈敏度結(jié)合泰勒公式進行聲輻射優(yōu)化具有一定可行性，是結(jié)構(gòu)－聲輻射優(yōu)化設(shè)計的一個重要發(fā)展方向．

［1］KIM N H，DONG J，CHOI K K，et al．Design sensitivity analysis for sequential structural－acoustic problems［J］．Journal of Sound and Vibration，2003，263（3）：569－591．

［2］WANG S Y，LEE J．Acoustic design sensitivity analysis and optimization for reduced exterior noise［J］．AIAA Journal，2001，39（4）：574－581．

［3］CHENG H，CHEN J，ZHANG Y B，et al．A multidomain boundary element formulation for acoustic frequency sensitivity analysis［J］．Engineering Analysis with Boundary Elements，2009，33（6）：815－821．

［4］MARBURG S．A general concept for design modification of shell meshes in structural－acoustic optimization－Part I：Formulation of the concept［J］．Finite Elements in Analysis and Design，2002，38（8）：725－735．

［5］MARBURG S，HARDTKE H J．A general concept for design modification of shell meshes in structuralacoustic optimization－Part II：Application to a floor panel in sedan interior noise problems［J］．Finite Elements in Analysis and Design，2002，38（8）：737－754．

［6］LI D S，CHENG L，GOSSELIN C M．Optimal design of PZT actuators in active structural acoustic control of a cylindrical shell with a floor partition［J］．Journal of Sound and Vibration，2004，269 （3－5）：569－588．

［7］陳美霞，杜 磊，陳樂佳，等．基于邊界元法的平板結(jié)構(gòu)聲振性能數(shù)值計算［J］．武漢理工大學學報：交通科學與工程版，2009，33（6）：1048－1051．

［8］丁少春，朱石堅，俞 翔，等．運用功率流方法對艦艇水下聲輻射特性的研究［J］．武漢理工大學學報：交通科學與工程版，2008，32（2）：263－266．

［9］孫淦云，王躍方．密閉腔體聲－結(jié)構(gòu)耦合系統(tǒng)的動力靈敏度分析［J］．計算力學學報，2005，22（5）：550－554．

［10］張 軍，兆文忠，張維英．結(jié)構(gòu)聲輻射有限元／邊界元法聲學－結(jié)構(gòu)靈敏度研究［J］．振動工程學報．2005，18（3）：366－370．