非獨立情況下二維隨機變量特征函數(shù)性質(zhì)的推廣與應(yīng)用

吳雄韜，胡伯霞

（衡陽師范學(xué)院 數(shù)學(xué)與計算科學(xué)系，湖南 衡陽 421002）

0 引 言

特征函數(shù)是處理概率問題的有用工具，對隨機變量序列的收斂問題起到很重要的作用，可以把隨機變量序列的收斂問題轉(zhuǎn)化為一般函數(shù)的序列的收斂問題來進行處理。獨立情況下特征函數(shù)有很多的性質(zhì)，如文獻［1］－［2］，特別是特征函數(shù)與隨機變量的k階矩之間的性質(zhì)對于轉(zhuǎn)化矩的計算有重要的現(xiàn)實意義，同時也有很多學(xué)者對獨立情況下多維隨機變量的特征函數(shù)的性質(zhì)進行了研究如文獻［3］－［5］而對于非獨立情況，相應(yīng)的結(jié)論幾乎沒有，本文在非獨立情況下推廣了特征函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)與二階矩及協(xié)方差之間的一些聯(lián)系，并利用二維正態(tài)分布的特征函數(shù)對推廣的性質(zhì)進行了具體應(yīng)用和檢驗。

設(shè)（X1，X2）是一個二維隨機變量，為了討論需要引入如下記號：

1 非獨立情況下二維隨機變量特征函數(shù)的性質(zhì)

性質(zhì)1.1 設(shè)（X1，X2）是一個二維隨機變量，若X1＋X2的特征函數(shù)φ（t）具有n階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，且X1與X2的n階混合原點矩存在，則有φ（k）（0）＝B×ik（k＝1，2，…，n）。

性質(zhì)2 設(shè)φX1（t），φX2（t），φX1＋X2（t）分別是X1，X2，X＋X2的特征函數(shù)，且都二階可導(dǎo)，φ＊（x）為X1X2的特征函數(shù)，則有2φ＊（t）＝φ″X1（t）＋φ″X2（t）－φ″X1＋X2（t）.

證明： 設(shè)（X1，X2）為二維連續(xù)型隨機變量，其聯(lián)合密度函數(shù)為f（x1，x2），離散情況可以類似處理，由于φX1（t），φX2（t），φX1＋X2（t）二階可導(dǎo)，則有

2 非獨立情況下二維隨機變量特征函數(shù)的性質(zhì)

性質(zhì)1.2正確性得到驗證。

［1］孫榮恒.應(yīng)用概率論［M］.北京：科學(xué)出版社，2006.

［2］金冶明，李永樂.概率論與數(shù)理統(tǒng)計［M］.長沙：國防科技大學(xué)出版社，1997.

［3］邱德華，文林.特征函數(shù)的性質(zhì)［J］.大學(xué)數(shù)學(xué)，2008，24（6）：187－192.

［4］徐玉華.關(guān)于概率論中特征函數(shù)性質(zhì)的幾點討論［J］.荊州師范學(xué)院學(xué)報，2003，26（2）：17－19.

［5］程偉.Banach空間中廣義特征函數(shù)的性質(zhì)及其應(yīng)用［J］.天津商學(xué)院學(xué)報，2006，26（6）：48－50.