利用單傳聲器分解和測量管道內(nèi)高次模式聲波

馮善勇，莫方朔，趙躍英，盛勝我

（同濟(jì)大學(xué)聲學(xué)研究所，上海200092）

當(dāng)聲波在管道內(nèi)傳播時(shí)，除了對應(yīng)零次模式的平面波之外，通常還存在高次模式的聲波.研究模式分解技術(shù)以及精確測量高次波的強(qiáng)度，對于分析管道中聲波的產(chǎn)生和傳播是非常重要的.模式分解技術(shù)目前主要是以解析的方式將管道中的聲場按各階模式展開，然后通過管道中的多點(diǎn)測量加以求解，從而得到各次模式的強(qiáng)度.1972年，Moore［1］最早提出了一種在圓形管道中的高次模式分解方法，聲源采用周期性信號，利用兩個(gè)傳聲器獲得信號.但此方法只考慮了圓周向模式，而未考慮徑向模式，且無法分離每個(gè)模式的入射和反射分量.1981年，Kerschen等［2］提出了在圓形管道中應(yīng)用于周期信號和隨機(jī)信號的模式分解法.但此方法同樣不能分離反射波分量，并且只考慮了圓周向的模式分解.1987年，Salikuddin等［3－4］提出了使用瞬態(tài)信號進(jìn)行測量的模式分解法.在這一系列工作的基礎(chǔ)上，1989年，Abom［5］基于測量一對傳聲器之間的傳遞函數(shù)，提出了可以適用于任何類型聲源信號的模式分解法，并能測量入射和反射部分能量.1998年，Akoum等［6］同樣基于雙傳聲器傳遞函數(shù)法，對圓形管道中的高次傳播模式進(jìn)行分解.試驗(yàn)中使用的聲源信號為白噪聲，通過旋轉(zhuǎn)聲源和改變兩個(gè)傳聲器的徑向位置形成多種不同的測量條件，分別測得兩傳聲器之間的傳遞函數(shù)，進(jìn)而由這多個(gè)傳遞函數(shù)對管道中的模式進(jìn)行分解.2006年，Sitel等［7］利用四個(gè)傳聲器組成的接收系統(tǒng)對圓形管道中的高次模式進(jìn)行分解.Schultz等［8］利用傳聲器陣列得到了管道內(nèi)傳播的高次模式聲波.與以前的工作相比，此方法不需要測量兩個(gè)傳聲器之間的傳遞函數(shù)，而是通過大量傳聲器同時(shí)測量的數(shù)據(jù)直接進(jìn)行模式分解.介紹了包含八個(gè)傳聲器的陣列，分解出在方形管道中存在的前4次傳播模式.2009年，Lau等［9］為了測量T字形方管中高次模式的傳播特性，安置了16個(gè)傳聲器，分解管道中存在的前4次傳播模式.但是，由于這種方法所分解的高次模式數(shù)量受到傳聲器數(shù)量的限制，傳聲器增多時(shí)，會(huì)對管道中的原始聲場產(chǎn)生干擾，同時(shí)存在傳聲器匹配等問題.

本文提出通過單傳聲器代替?zhèn)髀暺麝嚵袑艿栏叽文Ｊ铰暡ㄟM(jìn)行測量的方法.采用單傳聲器在管道內(nèi)沿軸向均勻傳動(dòng)獲得聲壓信號，運(yùn)用模式分解的方法，得到管道中各個(gè)傳播模式聲波的強(qiáng)度.這種方法克服了傳聲器陣列測量時(shí)對聲場的干擾，也避免了傳聲器之間的匹配問題.同時(shí)，對管道內(nèi)所能分解的高次模式數(shù)量，在原則上并沒有限制.

1 管道內(nèi)高次模式聲波的分解

如圖1所示，在直角坐標(biāo)x，y，z中，設(shè)z軸為沿管軸的聲傳播方向，x軸和y軸與管道橫截面內(nèi)的管壁方向平行.由于壁面邊界條件對聲傳播的約束，管道內(nèi)的聲場是沿z軸正方向和反方向傳播的所有模式聲波的疊加.

圖1 聲波在管道內(nèi)傳播示意圖Fig.1 Schematic diagram of sound propagation in ducts

管內(nèi)任意點(diǎn)的聲壓P（x，y，z）可寫為

式中：a為管道的邊長.軸向的波數(shù)kz相應(yīng)為

式中：k＝ω／c0為波數(shù)，ω為角頻率，c0為聲傳播速度.

如果聲壓P（x，y，z）的值能夠通過實(shí)測得到，則管內(nèi)傳播的正向波與反向波的振幅Amn，Bmn都可以由式（1）求得.假設(shè)管道中存在的所有穩(wěn)態(tài)傳播模式數(shù)為N，則式（1）中包含2 N個(gè)未知系數(shù).因此，最少需要2 N個(gè)傳聲器測點(diǎn)才能得到各模式的幅值.設(shè)測點(diǎn)數(shù)為M，且M≥2 N，應(yīng)用所有測點(diǎn)的聲壓值，可以形成一方程組

式中：P1，P2，…，PM對應(yīng)各測點(diǎn)的聲壓.為了得到所有模式，傳聲器測點(diǎn)應(yīng)離散地分布在橫截面和軸向上.方程組（4）可以用矩陣的形式簡潔地表達(dá)為

式中：P表示所測點(diǎn)處的復(fù)數(shù)聲壓，為M×1的向量；L是由式（4）給出的M×2 N的系數(shù)矩陣，包括橫截面函數(shù)和復(fù)指數(shù)的傳播函數(shù)；G表示各個(gè)模式的復(fù)數(shù)振幅，為2 N×1的向量，它可以進(jìn)一步表示為

由上述可知，若要對管道中包含N個(gè)傳播模式的聲場進(jìn)行分解，至少需要在管道中放置2 N個(gè)傳聲器進(jìn)行同時(shí)測量，才能將各個(gè)模式的幅值求解出來.對于測點(diǎn)數(shù)M大于2 N的超定方程情況，可以通過最小二乘法進(jìn)行求解［10］.

2 單傳聲器分解與測量高次模式聲波

目前分解管道內(nèi)高次聲波傳播模式的方法一般都是通過安裝在管道內(nèi)的多個(gè)傳聲器同時(shí)測量.但是，這種方法不但需要復(fù)雜的傳聲器陣列裝置，而且還存在兩個(gè)主要缺陷.首先，傳聲器的數(shù)量隨著待分解模式數(shù)的增加而增加，而大量的傳聲器會(huì)對管道中的原始聲場產(chǎn)生嚴(yán)重干擾.其次，傳聲器之間存在匹配的問題，增加了試驗(yàn)的復(fù)雜程度，也影響了試驗(yàn)的精度.

利用目前的數(shù)字聲源信號可完全重復(fù)的特點(diǎn)，本文提出了沿管道軸向均勻傳動(dòng)的單傳聲器測量系統(tǒng).在管道的一端發(fā)射聲信號，精確地控制單個(gè)無指向性傳聲器在管道中均勻傳動(dòng)，使其在一系列測量位置上獲取穩(wěn)定的聲壓信號.由于數(shù)字聲源信號的完全可重復(fù)性，這一組聲壓信號等效于由一個(gè)線形傳聲器陣列所獲得.

發(fā)聲系統(tǒng)采用揚(yáng)聲器激發(fā)，由計(jì)算機(jī)生成的數(shù)字化信號驅(qū)動(dòng).記信號的重復(fù)周期為T，每個(gè)周期由一段有效的激勵(lì)信號和一段靜音組成，激勵(lì)信號可采用純音或者掃頻信號.根據(jù)實(shí)際聲場情況，適當(dāng)選擇激勵(lì)信號和靜音的長度，以保證在不同周期內(nèi)管道中的聲場完全相同，而且相鄰周期內(nèi)不會(huì)相互混迭.

接收系統(tǒng)采用單個(gè)無指向性傳聲器，由步進(jìn)電機(jī)控制其在管道內(nèi)沿軸向均勻傳動(dòng).步進(jìn)的周期也為T，其中包含傳聲器在兩個(gè)相鄰測點(diǎn)間勻速移動(dòng)的時(shí)間，以及傳聲器在單個(gè)測點(diǎn)上滯留的時(shí)間.

將聲源系統(tǒng)和接收系統(tǒng)進(jìn)行同步控制，以保證傳聲器在每個(gè)測點(diǎn)位置滯留的時(shí)間內(nèi)，聲源剛好激發(fā)有效的聲信號.假設(shè)在整個(gè)測量過程中，傳聲器測得的聲信號為p（t），將其進(jìn)行連續(xù)性分段處理

式中：q＝1，2，…，M，且0＜t≤T，即可以得到M個(gè)持續(xù)時(shí)間為T的聲壓信號pq（t），所得的結(jié)果等效于沿管道均勻分布的M個(gè)傳聲器組成的線形陣列實(shí)時(shí)測量所接收的信號.通過數(shù)據(jù)處理后，可得到各測點(diǎn)處與空間相關(guān)的復(fù)數(shù)聲壓Pq.在圖1所示的情況下，傳聲器沿z軸方向直線步進(jìn)，設(shè)步進(jìn)間隔為d，代入式（1）中，則有

式中：d0為第一個(gè)測點(diǎn)在z軸上的坐標(biāo)值.

進(jìn)而應(yīng)用式（1）～（6）中所述的模式分解法，只要滿足M≥2 N，就可求得管道中存在的各傳播模式的振幅.

實(shí)現(xiàn)單個(gè)傳聲器分解與測量高次模式聲波的基礎(chǔ)主要有兩點(diǎn)：一是數(shù)字聲源信號可完全重復(fù)；二是配合控制傳聲器精確地傳動(dòng).當(dāng)傳聲器滯留在每個(gè)步進(jìn)位置上時(shí)，保證管道中的聲場完全一致，從而達(dá)到以單傳聲器一次測量代替多傳聲器同時(shí)測量的效果.

3 試驗(yàn)結(jié)果

3.1 裝置

為了驗(yàn)證本文所提出的單傳聲器高次模式分解測量系統(tǒng)的有效性，建造一個(gè)如圖2所示的測量裝置.

圖2 測試系統(tǒng)示意圖Fig.2 Schematic diagram of measurement system

裝置為一個(gè)剛性壁面的直立式方形管道，管道橫截面的口徑為600mm×600mm，總長10m.聲源放置在管道頂端，管道底端放置聲學(xué)材料，聲源面和材料面之間的有效測量距離為7m.傳聲器安置在管道橫截面的中點(diǎn)，由精密步進(jìn)電機(jī)驅(qū)動(dòng)控制其沿軸向緩慢均勻移動(dòng)，傳聲器測點(diǎn)步進(jìn)移動(dòng)的距離d為4cm.

表1列出了方管中各簡正波模式所對應(yīng)的簡正頻率，以及該簡正波在管道橫截面中點(diǎn)的聲壓分布情況.由于方管的對稱性，類似（0，1）和（1，0）模式頻率相等的情況，視為同一種模式.

表1 600mm×600mm方管高次模式相應(yīng)的截止頻率Tab.1 Cut－off frequencies for the higher－order modes of 600mm square waveguide

由表1可知，方形管道對應(yīng)的平面波截止頻率為283Hz，在此頻率以上會(huì)出現(xiàn)各階高次模式聲波.

試驗(yàn)中沿管道可得到160個(gè)測點(diǎn)的數(shù)據(jù)，原則上能獲得80個(gè)模式的入射和反射波的復(fù)聲壓.在進(jìn)一步的研究中，通過減小傳聲器步進(jìn)的距離，可以獲得更多的測點(diǎn)數(shù)據(jù)，進(jìn)而增加可以分解的模式數(shù)量.

3.2 方法的檢驗(yàn)

為了檢驗(yàn)以上測量分解方法的有效性，對于截止頻率以下的情況，采用上述方法獲得的材料吸聲系數(shù)與傳統(tǒng)的駐波管法進(jìn)行比較.試驗(yàn)在所建造的方管中進(jìn)行，管道底端放置待測的聲學(xué)材料.

試驗(yàn)使用的聲源為對數(shù)掃頻信號，利用上述模式分解的方法獲得50～270Hz頻率范圍內(nèi)平面波模式的入射和反射方向能量，進(jìn)而計(jì)算出吸聲系數(shù).將其與傳統(tǒng)駐波管法測量材料的吸聲系數(shù)相比較.駐波管法測量采用純音，測量了63，80，100，125，160，200，250Hz的吸聲系數(shù).圖3中給出了兩種方法測量結(jié)果的比較.需要注意的是，由于是在截止頻率以下，模式分解法測得的結(jié)果中包含（0，0）次平面波能量和其他各高次衰減模式的能量.

圖3 傳統(tǒng)駐波管法和單傳聲器模式分解法測量材料吸聲系數(shù)比較Fig.3 Comparison of materials absorption coefficients by standard standing wave tube method and single－microphone modal decomposition method

由圖可見，通過兩種方法得到的材料吸聲系數(shù)吻合良好，說明以上模式分解的測量方法是可行的.

3.3 管道內(nèi)高次模式聲波

當(dāng)測量頻率大于管道截止頻率時(shí)，利用本文提出的單傳聲器模式分解法進(jìn)行實(shí)際的測量，獲得管道中入射和反射方向的各個(gè)高次模式能量分布情況.試驗(yàn)使用的聲源為計(jì)算機(jī)生成的數(shù)字純音信號，傳聲器測點(diǎn)布置在管道橫截面的中心點(diǎn)，沿軸向步進(jìn)移動(dòng)，管道底端布置聲學(xué)材料.

試驗(yàn)在頻率為500，1 000，2 000Hz這三種情況下進(jìn)行，測試結(jié)果如圖4所示.圖中顯示了分別對應(yīng)于入射波和反射波的各階模式的能量值，并以入射方向的（0，0）模式的能量為基礎(chǔ)進(jìn)行了歸一化處理.

圖4 500，1 000，2 000Hz時(shí)管道內(nèi)高次模式能量分布圖Fig.4 Modal energy distributions at 500，1 000，2 000Hz in the waveguide

從表1中可知，在頻率為500Hz時(shí)，管道內(nèi)應(yīng)包含3個(gè)穩(wěn)定的高次模式，其中（0，0）模式在管道中心測點(diǎn)處聲壓為波腹，（0，1）和（1，1）模式在管道中心測點(diǎn)處聲壓為波節(jié).在頻率為1 000Hz時(shí)，管道內(nèi)應(yīng)包含8個(gè)穩(wěn)定的高次模式，其中3個(gè)模式在管道中心測點(diǎn)處聲壓為波腹，其余均為波節(jié).在頻率為2 000Hz時(shí)，管道內(nèi)應(yīng)包含24個(gè)穩(wěn)定的高次模式，其中8個(gè)模式在管道中心測點(diǎn)處聲壓為波腹，其余均為波節(jié).由于測點(diǎn)沿管道中心軸線分布，對于軸線處為波節(jié)的高次模式，試驗(yàn)無法測得其聲壓值.因此，在圖4中只能顯示出聲壓為波腹的高次模式.進(jìn)一步，可以采用改變傳聲器在管道截面上的位置，使測點(diǎn)位置避開波節(jié)位置，或者改變測試材料的布置方式，從而測得管道內(nèi)所有模式聲波的能量.

4 結(jié)語

本文提出的單傳聲器模式分解系統(tǒng)及方法可以有效地測量出管道中高次模式的聲波.該方法只需使用單個(gè)傳聲器進(jìn)行測量，避免了多傳聲器測量時(shí)的匹配以及對聲場的干擾問題.而且，測量高次模式的數(shù)量原則上不受限制，當(dāng)測點(diǎn)數(shù)量足夠多時(shí)，通過最小二乘法處理，能夠得到聲場的精確結(jié)果.該方法的檢驗(yàn)試驗(yàn)表明，當(dāng)測量頻率小于管道的平面波截止頻率時(shí)，系統(tǒng)的測量結(jié)果與傳統(tǒng)的駐波管測量結(jié)果相同，從而證實(shí)了這種方法的可行性.

如果測量的目的只是為了進(jìn)一步研究管道底部放置材料的聲學(xué)性能，則試驗(yàn)可以使用掃頻信號進(jìn)行，從而只要通過一次試驗(yàn)就能得到全頻帶的測試結(jié)果.由于目前的測量中測點(diǎn)沿管道中軸直線分布，因此，只適用于偶對稱聲場的測量.另外，由于傳聲器放置在管道正中心，因此對于相應(yīng)波節(jié)的模式則無法測得.此時(shí)，可以采用改變傳聲器在管道截面上的位置，或者改變測試材料的布置方式，測得管道內(nèi)所有模式聲波的能量.

綜上所述，利用單傳聲器在管道內(nèi)均勻傳動(dòng)獲得的聲壓信號，可以分解與測量管道內(nèi)的高次模式聲波，從而大幅度地拓展管道內(nèi)測試材料聲學(xué)特性的頻率范圍.除了測試材料表面的吸聲性能之外，還能夠得到諸如材料聲阻抗、材料表面散射系數(shù)等測試結(jié)果.有關(guān)這方面的內(nèi)容，將另文闡述.

［1］ Moore C J.In－duct investigation of subsonic fan“rotor alone”noise［J］.The Journal of the Acoustical Society of America，1972，51（5）：1471.

［2］ Kerschen E J，Johnston J P.A modal separation measurement technique for broadband noise propagating inside circular ducts［J］.Journal of Sound and Vibration，1981，76（4）：499.

［3］ Salikuddin M.Sound radiation from single and annular stream nozzles，with modal decomposition of in－duct acoustic power［J］.Journal of Sound and Vibration，1987，113（3）：473.

［4］ Salikuddin M，Ramakrishnan R.Acoustic power measurement for single and annular stream duct－nozzle systems utilizing a modal decomposition scheme［J］.Journal of Sound and Vibration，1987，113（3）：441.

［5］ Abom M.Modal decomposition in ducts based on transfer function measurements between microphone pairs［J］.Journal of Sound and Vibration，1989，135（1）：95.

［6］ Akoum M，Ville J M.Measurement of the reflection matrix of a discontinuity in a duct［J］.The Journal of the Acoustical Society of America，1998，103（5）：2463.

［7］ Sitel A，Ville J M，F(xiàn)oucart F.Multiload procedure to measure the acoustic scattering matrix of a duct discontinuity for higher order mode propagation conditions［J］.The Journal of the Acoustical Society of America，2006，120（5）：2478.

［8］ Schultz T，Cattafesta L N，Sheplak M.Modal decomposition method for acoustic impedance testing in square ducts［J］.The Journal of the Acoustical Society of America，2006，120（6）：3750.

［9］ Lau S K，Leung K H.Transmission characteristics of a teejunction in a rectangular duct at higher－order modes［J］.The Journal of the Acoustical Society of America，2009，126（6）：3028.

［10］ Moore C J.Measurement of radial and circumferential modes in annular and circular fan ducts［J］.Journal of Sound and Vibration，1979，62（2）：235.