管 土軸向動(dòng)力相互作用等效彈簧系數(shù)取值

孫千偉，劉 威，李 杰

（同濟(jì)大學(xué)土木工程學(xué)院，上海200092）

在對(duì)埋地管線進(jìn)行地震反應(yīng)分析時(shí)，如何反映管－土之間相互作用是一個(gè)關(guān)鍵問(wèn)題.對(duì)于彈性地基梁模型，通常采用等效彈簧來(lái)反映管－土之間相互作用，這就使得彈簧系數(shù)的選取成為了問(wèn)題的關(guān)鍵.一般情況下，管－土相互作用的等效彈簧系數(shù)可通過(guò)以下三個(gè)途徑獲得：解析法、有限元法和試驗(yàn)實(shí)測(cè)值［1］.由于有限元法建模的復(fù)雜性及試驗(yàn)實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)的非普適性，因此很難廣泛應(yīng)用于工程實(shí)際.而對(duì)于解析法而言，雖然在表達(dá)式推導(dǎo)過(guò)程中引入了一些假設(shè)和對(duì)問(wèn)題進(jìn)行了一定的理想化處理，但其通?？梢苑从吵鰡?wèn)題的本源和關(guān)鍵，具有明確的物理意義，具有普適性.

至今，確定管－土相互作用等效彈簧系數(shù)的解析法主要有：Mindlin解法［2－3］、邊界元法［4］及基于無(wú)限空間彈性體柱坐標(biāo)系下的波動(dòng)方程解法［1，5］等.20世紀(jì)70年代，Parmelee等［2］及Hindy等［3］利用半無(wú)限彈性空間的靜力Mindlin解來(lái)獲得在某一集中力作用下管周土體任意一點(diǎn)處的反應(yīng)位移，從而確定管－土之間等效彈簧系數(shù)，但該方法得到的系數(shù)均為靜力解.1987年，王海波等［4］采用邊界單元法求解半無(wú)限空間中的管－土動(dòng)力相互作用問(wèn)題，給出了相應(yīng)的等效彈簧系數(shù)，但該方法過(guò)于復(fù)雜.符圣聰［5］參考地下樁基中的薄層理論，從無(wú)限彈性空間圓柱坐標(biāo)動(dòng)力方程出發(fā)，推導(dǎo)了管－土動(dòng)力相互作用的等效彈簧系數(shù)，但該系數(shù)是基于無(wú)限彈性空間條件推導(dǎo)的，未考慮場(chǎng)地表面對(duì)波動(dòng)效應(yīng)的影響.2000年，Matsubara等［1］從圓柱坐標(biāo)系下的彈性波動(dòng)方程出發(fā)，利用鏡像的方式獲得了半無(wú)限空間管－土軸向動(dòng)力相互作用的等效彈簧系數(shù)的頻域表達(dá)式，該表達(dá)式反映了等效彈簧系數(shù)更全面的信息，如其與頻率、管道半徑及埋深的關(guān)系等.但遺憾的是，文中并沒(méi)有指出可以利用SH波的波動(dòng)方程來(lái)反映管－土軸向動(dòng)力相互作用，也沒(méi)有對(duì)模型進(jìn)行驗(yàn)證.

基于上述背景，本文首先從一維柱面SH波波動(dòng)方程出發(fā)，重新闡釋了文獻(xiàn)［1］中推導(dǎo)的管－土軸向動(dòng)力相互作用等效彈簧系數(shù)的解析表達(dá)式，并對(duì)主要影響參數(shù)進(jìn)行分析；然后，從非一致激勵(lì)作用下管－土動(dòng)力相互作用振動(dòng)臺(tái)試驗(yàn)研究結(jié)果［6］出發(fā)，分析了小震（0.1g）作用下管－土接觸面處剪切力與管－土相對(duì)滑移的關(guān)系，給出了試驗(yàn)條件下的管－土軸向動(dòng)力相互作用等效彈簧系數(shù)，并將其與解析結(jié)果進(jìn)行對(duì)比，進(jìn)而驗(yàn)證了理論模型的合理性，并根據(jù)工程需要，給出了推薦值.

1 管-- 土軸向動(dòng)力相互作用等效彈簧系數(shù)解析表達(dá)式

對(duì)于埋地管線而言，在均勻無(wú)限空間場(chǎng)地條件下，可將管周土體受到均勻諧和激勵(lì)下的反應(yīng)簡(jiǎn)化為彈性介質(zhì)中的一維柱面波動(dòng)問(wèn)題.考察波動(dòng)方程［7］，發(fā)現(xiàn)管－土軸向動(dòng)力相互作用可以由SH波的波動(dòng)作用來(lái)反映，如圖1所示.

圖1 一維柱面SH波波動(dòng)問(wèn)題Fig.1 One－dimensional SH wave motion theory in cylindrical coordinates

對(duì)應(yīng)的動(dòng)力平衡方程為

式中：r，z為柱面坐標(biāo)系下徑向及軸向坐標(biāo)，τrz＝τzr為r—z平面內(nèi)的剪應(yīng)力，uz為柱面坐標(biāo)下軸向位移，ρ為質(zhì)量密度，t為時(shí)間.

應(yīng)力—位移關(guān)系為

式中：G為管周土體剪切模量.

將式（2）代入式（1），得到柱面SH波的波動(dòng)方程

對(duì)式（3）進(jìn)行Fourier變換，得到頻域方程

式中：Uz（r，ω）是uz（r，t）的頻域位移，ω為圓頻率.

根據(jù)文獻(xiàn)［1］的研究思路，首先，對(duì)式（4）進(jìn)行求解并引入接觸面處應(yīng)力平衡條件，來(lái)獲得其在無(wú)限空間場(chǎng)地條件下的解答；然后，對(duì)埋地管線在無(wú)限空間場(chǎng)地獲取鏡像，進(jìn)而得到半無(wú)限空間場(chǎng)地反應(yīng)的頻域解答；最后，根據(jù)管－土接觸面處合力的平衡條件，得到管－土軸向動(dòng)力相互作用的等效彈簧系數(shù)表達(dá)式［1］

式中：kA為軸向等效彈簧系數(shù)；δ（a0，γ）是a0和γ的函數(shù)，記為

式中：a0＝ωb／VS，為量綱一頻率，b為管線半徑；γ＝d／b；J0，J1為0，1階Bessel函數(shù)；N0，N1為0，1階Neumann函數(shù)；I1（a0，γ），I2（a0，γ）分別表示為

從上式可以看出，kA是G，a0和γ的函數(shù)，較全面地反映出了土體的動(dòng)力特性.

2 影響參數(shù)分析

為了考察不同參數(shù)對(duì)彈簧系數(shù)取值的影響程度，對(duì)管線半徑b、管線埋深d、剪切波速VS取不同值時(shí)δ的取值進(jìn)行研究.

2.1 管線半徑

假設(shè)d＝1m，VS＝100m·s－1，b分別取0.1，0.3，0.5，1.0m，δ—ω關(guān)系如圖2所示.當(dāng)ω＜41rad·s－1（f＜6.5Hz，f為頻率）時(shí)，隨著b增大，δ有增大的趨勢(shì)，但增幅較緩，總體上處于0.5～1.0之間；當(dāng)ω＝41rad·s－1（f＝6.5Hz）時(shí)，b大小對(duì)δ幾乎沒(méi)有影響，δ約等于1.1；當(dāng)ω＞41rad·s－1（f＞6.5Hz）時(shí)，隨著頻率的增加，b對(duì)δ的影響逐漸加大，并呈現(xiàn)出隨著b增大δ減小的趨勢(shì).這說(shuō)明對(duì)于高頻階段，b大小對(duì)δ影響顯著，是影響彈簧系數(shù)取值的主要原因之一，但在低頻階段影響不大.

圖2 不同b值對(duì)應(yīng)的δ—ω關(guān)系Fig.2 The relationship betweenδandωof different b

2.2 管線埋深

假設(shè)b＝0.3m，VS＝100m·s－1，d分別取0.5，1.0，2.0，5.0m及∞，δ—ω關(guān)系如圖3所示.從圖中可以看出，隨著d加大，δ呈現(xiàn)出逐漸增大的趨勢(shì)，并在一定頻率范圍內(nèi)出現(xiàn)震蕩現(xiàn)象，但當(dāng)d增大到一定程度后（接近于∞時(shí)），δ漸漸趨于穩(wěn)定.

圖3 不同d值對(duì)應(yīng)的δ—ω關(guān)系Fig.3 The relationship betweenδandωof different d

2.3 剪切波速

假設(shè)d＝1m，b＝0.3m，VS分別取50，75，100，150，200，500m·s－1，δ—ω關(guān)系如圖4所示.從圖中可以看出，VS取不同值時(shí)，δ在某一頻率點(diǎn)上存在明顯的變化.在該分界點(diǎn)前，δ基本穩(wěn)定在1左右；在分界點(diǎn)后，δ隨頻率的增加出現(xiàn)明顯的振蕩現(xiàn)象，且有隨VS增加而漸緩的趨勢(shì).當(dāng)VS＝50，75，100m·s－1時(shí)，對(duì)應(yīng)的分界點(diǎn)分別在ω＝57，83，110rad·s－1.這說(shuō)明隨著剪切波速的變化，影響δ取值的頻率變化范圍相應(yīng)地發(fā)生變化.較小的剪切波速對(duì)應(yīng)的頻率影響范圍較大；較大的剪切波速僅對(duì)較高頻率階段的δ有較大影響，對(duì)低頻階段幾乎沒(méi)有影響.

圖4 不同VS值對(duì)應(yīng)的δ—ω關(guān)系Fig.4 The relationship betweenδandωof different VS

從上面的分析可知，對(duì)于低頻階段，d對(duì)δ取值較為敏感，其他因素影響不明顯；而對(duì)于高頻階段，上述的三種因素均對(duì)δ取值產(chǎn)生較大影響，不具有明顯的規(guī)律性.為了統(tǒng)一表示這三種影響因素的影響程度，可用量綱一頻率a0及管線埋深與管半徑之比γ來(lái)反映，如圖5所示［1］.

圖5 不同γ取值下δ—a0的關(guān)系Fig.5 The relationship betweenδand a0of differentγ

圖5給出了γ取不同值時(shí)，a0在0～1.0內(nèi)的δ—a0關(guān)系.從圖中可以看出，在a0取0～1.0時(shí)，δ限定在0.18～4.80范圍之內(nèi)，并且隨著γ增大逐漸趨于穩(wěn)定，當(dāng)γ→∞時(shí)，δ值在1.0～3.0之間，對(duì)應(yīng)的彈簧系數(shù)取值范圍為1.0G～3.0G，其上限值3.0G即是通常采用的日本化工抗震設(shè)備準(zhǔn)則的推薦值.

3 管 --土軸向動(dòng)力相互作用等效彈簧系數(shù)試驗(yàn)值

為了驗(yàn)證管－土軸向動(dòng)力相互作用等效彈簧系數(shù)取值的合理性，以埋地管線振動(dòng)臺(tái)試驗(yàn)結(jié)果為依據(jù)進(jìn)行對(duì)比分析.2008年，孟海［6］對(duì)埋地管線進(jìn)行了非一致激勵(lì)作用下振動(dòng)臺(tái)模型試驗(yàn)，研究了埋地管線管－土動(dòng)力相互作用.現(xiàn)從試驗(yàn)結(jié)果出發(fā)，給出試驗(yàn)條件下管－土軸向動(dòng)力相互作用的等效彈簧系數(shù).

3.1 試驗(yàn)概況

本試驗(yàn)為非一致激勵(lì)作用下埋地管線振動(dòng)臺(tái)試驗(yàn)，如圖6所示.試驗(yàn)首先設(shè)計(jì)了兩個(gè)層狀剪切箱A，B，將管線埋于其中，并在管體及其周?chē)馏w布置若干傳感器，然后將剪切箱分別置于兩個(gè)振動(dòng)臺(tái)上，通過(guò)對(duì)振動(dòng)臺(tái)沿管線軸向輸入不同的激勵(lì)，測(cè)試埋地管線及周?chē)馏w的反應(yīng).有關(guān)試驗(yàn)的詳細(xì)情況參見(jiàn)文獻(xiàn)［6］.圖中AD6，AD8，BD6為測(cè)量管－土軸向相對(duì)位移的位移計(jì)，同時(shí)，在管道內(nèi)外測(cè)點(diǎn)臨近位置布置了應(yīng)變片用以測(cè)量管體應(yīng)變.

圖6 埋地管線非一致激勵(lì)振動(dòng)臺(tái)模型試驗(yàn)立面圖（單位：mm）Fig.6 The evelation of shaking table test of buried pipeline under non－uniform excitation

3.2 試驗(yàn)結(jié)果分析

試驗(yàn)采用不同加速度峰值的輸入激勵(lì)對(duì)管－土動(dòng)力相互作用進(jìn)行了研究.從試驗(yàn)數(shù)據(jù)及現(xiàn)象看，當(dāng)?shù)卣饎?dòng)加速度峰值較小時(shí)（0.1g），管－土之間的相對(duì)位移量很小，可以認(rèn)為接觸面處剪切力τ與相對(duì)位移u存在線性關(guān)系［6］.現(xiàn)提取輸入加速度峰值為0.1g時(shí)的管－土相對(duì)位移（見(jiàn)圖7）及管體應(yīng)變?chǔ)牛ㄒ?jiàn)圖8）進(jìn)行分析，研究管－土之間的動(dòng)力相互作用，并給出其等效彈簧系數(shù)值.

假設(shè)兩測(cè)點(diǎn)區(qū)域內(nèi)管－土接觸面處的剪切力分布均勻，并沿管周表面環(huán)向相等，管體應(yīng)力亦沿管周表面環(huán)向相等，現(xiàn)取測(cè)點(diǎn)AD6與測(cè)點(diǎn)AD8之間的管段作為研究對(duì)象，如圖9所示.該管段的平衡方程可表示為

式中：Δσ表示兩測(cè)點(diǎn)間的管軸向應(yīng)力之差；τ為管－土接觸面處均勻分布剪切力；D為管道外徑；A≈πDs，為管道橫截面面積，其中s為管道壁厚；L為兩測(cè)點(diǎn)間距離.

圖9 兩測(cè)點(diǎn)間管段受力圖Fig.9 Force diagram of pipe segment between two measure points

將管道應(yīng)力—應(yīng)變關(guān)系代入式（9），可以建立管－土接觸面剪切力與兩測(cè)點(diǎn)應(yīng)變差之間的關(guān)系為

式中：E為管材彈性模量，這里為鋼管，其值為2.06×1011Pa；Δε為兩測(cè)點(diǎn)間應(yīng)變差.

取該管段管－土相對(duì)位移的平均值

其中，uAD6，uAD8分別表示測(cè)點(diǎn)AD6和AD8的相對(duì)位移值.假設(shè)管－土相對(duì)位移沿管周表面相等，則管周土體受到的剪切合力與管－土相對(duì)位移在彈性階段的關(guān)系可表示為

則管－土相互作用等效彈簧系數(shù)k可表示為

相應(yīng)地，單位管段長(zhǎng)度的彈簧系數(shù)為

圖10 管－土接觸面處剪切力與相對(duì)位移平均值關(guān)系Fig.10 Relationship of shear stress and slippage on pipe－soil interaction surface

對(duì)上式中單位管段長(zhǎng)度的剪切合力πDτ及相對(duì)位移平均值u進(jìn)行Fourier變換，可以得到對(duì)應(yīng)的幅值譜T（f）（見(jiàn)圖11）及（f）（見(jiàn)圖12）.

這樣，可以得到管－土軸向動(dòng)力相互作用等效彈簧系數(shù)的頻域表達(dá)式

由上式可知，只要給定頻率值即可計(jì)算出管－土軸向相互作用等效彈簧系數(shù)的頻域值.

4 解析解與試驗(yàn)結(jié)果對(duì)比

對(duì)于解析解，由式（5）及式（6）可知，要計(jì)算等效彈簧系數(shù)，需要確定一些基本參數(shù)，這些參數(shù)包括：G，VS，土體卓越頻率fp，b及d.

（1）G［6］模型試驗(yàn)采用的土體為粉質(zhì)黏土，在試驗(yàn)前，利用動(dòng)力三軸試驗(yàn)方法測(cè)定了土體動(dòng)力參數(shù).對(duì)于干密度ρd＝1.5g·cm－3、固結(jié)主應(yīng)力比Kc＝1.2、圍壓σ3c＝50kPa的土體，測(cè)得其動(dòng)剪切模量為Gdmax＝4.6MPa.

（2）VS［8］每次振動(dòng)臺(tái)試驗(yàn)前，都對(duì)模型土體進(jìn)行了剪切波測(cè)試，測(cè)得剪切波速的平均值VS＝55～60m·s－1，這里取VS＝57.5m·s－1.

（3）fp

［8］根據(jù)試驗(yàn)資料，試驗(yàn)時(shí)首先利用低幅白噪聲對(duì)模型土體進(jìn)行掃描，激發(fā)其各階振型，并由之計(jì)算出各階頻率，這里取一階卓越頻率fp＝6Hz.

（4）d和b 本模型試驗(yàn)采用的是鋼管，2b＝219mm，d＝970mm.

通過(guò)上面的已知數(shù)據(jù)，可以計(jì)算量綱一頻率a0＝2πfpb／VS＝0.072，γ＝8.86.將a0和γ代入式（6），可得δ＝1.23，對(duì)應(yīng)的單位管線長(zhǎng)度上的軸向等效彈簧系數(shù)kA＝δ（a0，γ）G＝5.66×106N·m－2.

對(duì)于振動(dòng)臺(tái)試驗(yàn)結(jié)果，將fp代入式（15），并結(jié)合圖11，12所示Fourier幅值譜，可以計(jì)算等效彈簧系數(shù)kA＝5.27×106N·m－2.兩者相對(duì)誤差約為7.4%，說(shuō)明在本試驗(yàn)條件下，兩者結(jié)果吻合較好，驗(yàn)證了解析方法的合理性.

5 結(jié)論

本文利用解析法和振動(dòng)臺(tái)試驗(yàn)結(jié)果研究了管－土軸向動(dòng)力相互作用等效彈簧系數(shù)取值問(wèn)題，得到了等效彈簧系數(shù)的頻域值.對(duì)于本試驗(yàn)條件，計(jì)算得到單位管段長(zhǎng)度的軸向等效彈簧系數(shù)kA＝5.27× 106N·m－2，同等參數(shù)條件下采用解析法得到的彈簧系數(shù)kA＝5.66×106N·m－2，相對(duì)誤差約為7.4%.雖然與真實(shí)值相比，無(wú)論是試驗(yàn)結(jié)果還是解析結(jié)果都不可避免地存在一定的偏差，但兩者的吻合說(shuō)明了解析表達(dá)式在一定程度上能夠反映影響土彈簧系數(shù)取值的主要因素（如G，f，d，b，VS），從而驗(yàn)證了文獻(xiàn)［1］給出的土彈簧系數(shù)解析表達(dá)式的合理性.對(duì)于工程實(shí)際情況，VS遠(yuǎn)大于b與f之積（a0＜0.1），從δ—a0關(guān)系圖中可以看出這時(shí)δ限定在0.6～2.0之間，且隨著γ增加逐漸增大，因此，若管－土之間未發(fā)生相對(duì)大位移，其軸向動(dòng)力相互作用的等效彈簧系數(shù)可在0.6G～2.0G之間取值.

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