基于微平面模型的混凝土本構(gòu)矩陣

賈明曉，解 偉，溫中華

（華北水利水電學(xué)院，河南 鄭州 450011）

目前微平面模型得以實際應(yīng)用的主要是M2模型［9－11］，M2 模型于 1988 年由 Zdenek P Baant等提出［3］．M3及以后的微平面模型提出了應(yīng)力邊界的概念，能夠擬合更多的材料受力特征，但增加了模型的復(fù)雜程度，存在著模型參數(shù)過多且難以確定等困難．在M1和M2模型中，微平面上的應(yīng)力－應(yīng)變關(guān)系曲線是通過分析微平面的受力特征定性給出的．為了更精確地定義微平面上的本構(gòu)關(guān)系，筆者結(jié)合M1和M2模型給出了微平面上的應(yīng)力－應(yīng)變剛度矩陣，并提出了基于逐步擬合法的混凝土微平面本構(gòu)模型．

1 微平面本構(gòu)模型

連續(xù)體中的任一點具有各種不同方向的切面，這種代表某一方向的平面稱為微平面．微平面本構(gòu)模型是通過微平面上的本構(gòu)關(guān)系、動態(tài)約束和虛功原理將宏觀的應(yīng)力－應(yīng)變關(guān)系建立起來的．

以M1模型為例，將微平面上的本構(gòu)關(guān)系定義為：任意方向微平面的法向應(yīng)力sn是該微平面的法向應(yīng)變en的函數(shù)，即sn=F（ en）．

動態(tài)約束假定應(yīng)變滿足投影關(guān)系，即微平面上的應(yīng)變可以表示為en=ninjeij，其中ni，nj表示相應(yīng)坐標軸與微平面法向量夾角的方向余弦．

根據(jù)虛功原理，可以得到動態(tài)約束下的宏觀應(yīng)力張量為

2 微平面剛度矩陣

在給出微平面剛度矩陣的具體計算方法之前，首先對其進行定性分析．宏觀的應(yīng)力－應(yīng)變必須滿足以下增量關(guān)系

剛度矩陣可以用各個微平面的剛度矩陣之和表示，

式中：ωj為第j個微平面的權(quán)重，共有n個微平面;Sj為第j個微平面的應(yīng)力－應(yīng)變轉(zhuǎn)換矩陣．微平面上的局部坐標和微應(yīng)變分別如圖1和圖2所示．

將微平面上的本構(gòu)關(guān)系定義為：任意方向微平面的法向應(yīng)力是該微平面的法向應(yīng)變的函數(shù);剪切應(yīng)力是該微平面剪切應(yīng)變的函數(shù)．可用矩陣形式表示為

則微平面的剛度矩陣可以寫成如下形式

這里函數(shù)fn（·）和fs（·）的形式與宏觀荷載狀態(tài)無關(guān)，它們的自變量反映微平面所對應(yīng)的變形狀態(tài)．在，一樣，因此微剛度矩陣將出現(xiàn)變化，宏觀上表現(xiàn)為切線剛度的變化．

3 逐步擬合法

下面根據(jù)一組宏觀的單軸試驗數(shù)據(jù)，逐步擬合出fn（·）和fs（·）的函數(shù)值，以及它們自變量的變化范圍．

3．1 定性分析

式（6）—（11）表明橫觀各向同性材料的宏觀本構(gòu)矩陣有5個獨立的常數(shù)．

3．2 逐步擬合

對于給定的單軸試驗數(shù)據(jù)，將宏觀應(yīng)力、應(yīng)變路徑分成若干加載步i，得到一組立方體試件單軸試驗的宏觀應(yīng)力、應(yīng)變狀態(tài)為σi和εi，

3．2．1 初始加載步（i=1）

1）計算初始微平面剛度．初始加載步的應(yīng)力、應(yīng)變增量關(guān)系為

宏觀初始切線剛度矩陣為

由前面定性分析結(jié)果可知式（17）中 Dn，0和Ds，0均為式（6）的矩陣形式．將式（17）代入到式（14），可得到2個獨立的方程：

由式（18）即可算出初始微剛度 fn，0和 fs，0．

2）計算初始彈性應(yīng)變分量的取值范圍．對于第j個微平面，可計算出局部法向應(yīng)變?yōu)?/p>

3．2．2 逐次計算微平面的非線性切線剛度系數(shù)

到此為止，已經(jīng)根據(jù)一組宏觀的單軸試驗數(shù)據(jù)，確定了函數(shù)fn（·）和fs（·）的自變量的變化范圍，并逐步擬合出了函數(shù)fn（·）和fs（·）與一系列自變量對應(yīng)的函數(shù)值，再由式（3）和式（2）即可分別求出微平面的切線剛度矩陣和宏觀本構(gòu)矩陣．

3．3 算 例

將混凝土受壓應(yīng)力－應(yīng)變?nèi)€用無量綱坐標x=ε/εp，y=σ/fc表示，采用 Hongnestad 提出的全曲線方程

作為一組宏觀的單軸試驗數(shù)據(jù)擬合微平面切線剛度，然后利用文中提出的模型計算混凝土單軸受壓時的應(yīng)力－應(yīng)變關(guān)系，擬合結(jié)果如圖3所示．

圖3 單軸受壓應(yīng)力－應(yīng)變?nèi)€擬合結(jié)果

從圖3可以看出，采用文中提出的模型對Hongnestad全曲線的擬合結(jié)果較好．計算曲線與理論曲線在上升段到峰值點基本吻合，到達峰值點后在軟化段的前期也基本擬合．到軟化段的后期計算結(jié)果與理論值出現(xiàn)偏差，不過這一階段對于工程應(yīng)用來說影響不大．

4 結(jié)語

1）既繼承了M1和M2模型概念簡單的特點，又能夠基于試驗數(shù)據(jù)給出微平面上應(yīng)力－應(yīng)變關(guān)系函數(shù)的量化形式．

2）給出了基于微平面的應(yīng)力－應(yīng)變剛度矩陣，為將該模型用于有限元計算提供了基礎(chǔ)．

3）該模型基于單軸試驗數(shù)據(jù)的擬合結(jié)果可用于計算材料的多軸本構(gòu)關(guān)系．

4）此本構(gòu)模型給出了切線剛度矩陣，可用來進行隱式分析．

［9］ Ignacio Carol，Pere C Prat，Zdenek P Baant．New explicit microplane model for concrete：theoretical aspects and numerical implementation［J］．International Journal of Solids and Structures，1992，29（9）：1173 －1191．

［10］ Cofer W F，Kohut S W．A general nonlocal microplane concrete material model for dynamic finite element analysis［J］．Computers ＆ Structures，1994，53（1）：189 －199．

［11］ Pivonka P，Obolt J，Lackner R，et al．Comparative studies of 3D-constitutive models for concrete：application to mixed-mode fracture［J］．International Journal for Numerical Methods in Engineering，2004，60（2）：549 －570．