基于分?jǐn)?shù)階傅里葉變換的線性調(diào)頻脈沖時(shí)延估計(jì)特性分析

鄧兵，王旭，陶然，劉賢忠

(1.海軍航空工程學(xué)院 電子信息工程系，山東 煙臺(tái)264001;2.北京理工大學(xué) 電子工程系，北京100081)

時(shí)延估計(jì)是信號(hào)處理領(lǐng)域中參數(shù)估計(jì)的一項(xiàng)重要內(nèi)容，時(shí)延估計(jì)的性能直接影響著定位系統(tǒng)的性能，因而成為雷達(dá)、聲納等的研究熱點(diǎn)之一［1-2］。目前，關(guān)于時(shí)延估計(jì)的方法主要有:相關(guān)時(shí)延估計(jì)［3-4］、基于Hilbert 變換的時(shí)延估計(jì)［5-6］、子空間分解時(shí)延估計(jì)［8-9］、高階統(tǒng)計(jì)量時(shí)延估計(jì)［9-11］等。隨著分?jǐn)?shù)階傅里葉變換(FRFT)理論的不斷發(fā)展，作為傅里葉變換的廣義形式，F(xiàn)RFT 以其獨(dú)具的優(yōu)勢(shì)而得到了越來(lái)越多的應(yīng)用［12］。2009年，Tao 等［13］提出了一種基于FRFT 的線性調(diào)頻(LFM)脈沖時(shí)延估計(jì)方法，并從輸出噪聲和估計(jì)有效性?xún)蓚€(gè)方面進(jìn)行了分析。眾所周知，針對(duì)寬帶LFM 脈沖的時(shí)延估計(jì)問(wèn)題最為經(jīng)典的方法就是脈沖壓縮(也就是匹配濾波時(shí)延估計(jì)或相關(guān)時(shí)延估計(jì))，并被廣泛應(yīng)用于高分辨力雷達(dá)的數(shù)據(jù)處理中。相比于脈沖壓縮，文獻(xiàn)［14］的方法運(yùn)算復(fù)雜度更低(約減少1/2)，且更便于與時(shí)頻濾波、波束形成［15］等FRFT 的其他應(yīng)用相組合，因此，也就具有更大的應(yīng)用前景，如陣列合成孔徑雷達(dá)［16］。不同的是，脈沖壓縮特性體現(xiàn)在時(shí)域，而基于FRFT 的LFM 脈沖時(shí)延估計(jì)［13］的特性是表現(xiàn)在分?jǐn)?shù)階傅里葉域?？紤]到時(shí)域和頻域都是分?jǐn)?shù)階傅里葉域的特例，因此，本文以脈沖壓縮的時(shí)域特性為參照，來(lái)分析基于FRFT 的LFM 脈沖時(shí)延估計(jì)的分?jǐn)?shù)階傅里葉域特性，并具體對(duì)比兩者在數(shù)字信號(hào)處理上的差異，為該方法的進(jìn)一步應(yīng)用奠定基礎(chǔ)。

1 預(yù)備知識(shí)

時(shí)延估計(jì)基本問(wèn)題就是根據(jù)接收信號(hào)來(lái)快速準(zhǔn)確地估計(jì)出其相對(duì)于發(fā)射信號(hào)的時(shí)間延遲，從而來(lái)得出目標(biāo)距離。脈沖壓縮技術(shù)則是為了解決簡(jiǎn)單脈沖信號(hào)的距離分辨力和作用距離相互矛盾的問(wèn)題而提出的，其通過(guò)對(duì)大時(shí)寬帶寬積信號(hào)進(jìn)行脈壓來(lái)同時(shí)獲得長(zhǎng)脈沖的大能量和短脈沖的高分辨。常用的大時(shí)寬帶寬積信號(hào)有LFM 信號(hào)、二相編碼信號(hào)等。其中，針對(duì)LFM 信號(hào)的脈沖壓縮不僅應(yīng)用于常規(guī)脈沖壓縮雷達(dá)，也應(yīng)用在合成孔徑雷達(dá)。LFM 脈沖壓縮的有關(guān)特性如下［1］:1)最大輸出信噪比:2E/N0;2)脈寬壓縮比:時(shí)寬帶寬積D;3)壓縮前后脈沖振幅比:D1/2.其中:E 為脈沖信號(hào)能量;N0為白噪聲單邊功率譜密度;D =TB 為脈沖信號(hào)的時(shí)寬帶寬乘積，T 為脈沖持續(xù)時(shí)間，B 為脈沖信號(hào)帶寬。

FRFT 是傅里葉變換的廣義形式，它在統(tǒng)一的時(shí)頻域上進(jìn)行信號(hào)處理，作為一種線性變換，不受交叉項(xiàng)困擾，且具有與FFT 相當(dāng)?shù)目焖偎惴?。近年?lái)出現(xiàn)了許多基于FRFT 的信號(hào)處理方法，并已在信號(hào)分析與重構(gòu)、信號(hào)檢測(cè)與參數(shù)估計(jì)、變換域?yàn)V波、語(yǔ)音分析、圖像處理、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)、模式識(shí)別、陣列信號(hào)處理和雷達(dá)、通信、聲納中得到了廣泛的應(yīng)用。FRFT 定義式如下:

式中:α 為FRFT 階數(shù);Fα為FRFT 算子。

設(shè)接收信號(hào)為~s(t)=s(t-τ)，則有

因此，可以依據(jù)接收信號(hào)~s(t)的FRFT 譜峰值位置相對(duì)于參考信號(hào)s(t)的FRFT 譜峰值位置的位移情況來(lái)計(jì)算時(shí)延τ.相應(yīng)的時(shí)延估計(jì)子為

2 分?jǐn)?shù)階傅里葉域特性分析

既然FRFT 以2π 為周期，不妨將α 取值區(qū)間設(shè)為［-π，π］.根據(jù)FRFT 相關(guān)理論［12］可知實(shí)現(xiàn)LFM信號(hào)能量聚集的最優(yōu)FRFT 階次為cot αm= -2πμ，那么可進(jìn)一步限定αm∈(-π/2，π/2).因此有:

2.1 峰值輸出信噪比

既然α 階FRFT 等效為角度α 的時(shí)頻面旋轉(zhuǎn)，因此，白噪聲在任意階次的分?jǐn)?shù)階傅里葉域內(nèi)能量分布仍然是均勻的。設(shè)白噪聲的α 階分?jǐn)?shù)階傅里葉功率譜密度為Nα，則有白噪聲能量為:NαUαT，其中Uα為白噪聲的α 階分?jǐn)?shù)階傅里葉功率譜寬。根據(jù)帕賽瓦爾準(zhǔn)則，顯然有:

式中:Nαπ/2為白噪聲的頻域單邊功率譜密度N0，這是因?yàn)楫?dāng)α=π/2 時(shí)FRFT 就等效為傳統(tǒng)傅里葉變換。既然Uαπ/2|sin αm| =Uαm［17］，代入(9)式得到:

根據(jù)帕塞瓦爾準(zhǔn)則可以知道FRFT 結(jié)果的模平方給出的是能量譜，也就是說(shuō)，基于FRFT 的時(shí)延估計(jì)峰值表征的是LFM 脈沖在αm階分?jǐn)?shù)階傅里葉域的能量聚集程度。因此，等效的αm階分?jǐn)?shù)階傅里葉域峰值輸出信噪比為

代入(11)式，得到:

式中:E 為L(zhǎng)FM 脈沖的能量。對(duì)比LFM 脈沖壓縮的最大瞬時(shí)輸出信噪比，兩者相差常數(shù)1/2π，這是因?yàn)楸疚耐茖?dǎo)所用的FRFT 定義式采用的是角頻率的原因。

2.2 脈寬壓縮比

根據(jù)(2)式、(8)式，可知αm階分?jǐn)?shù)階傅里葉域壓縮后脈寬就是|Sαm(u)|的LFM 脈沖主瓣寬度。從(7)式可得

那么根據(jù)(8)式所示的時(shí)延估計(jì)子換算成多目標(biāo)時(shí)延分辨力為

式中:B = |μT|為脈沖調(diào)頻帶寬?？梢园l(fā)現(xiàn)這與LFM 脈沖壓縮的時(shí)延分辨力一致，因此，兩者的脈寬壓縮比均為T(mén)/B-1=D，即，時(shí)寬帶寬積。

2.3 峰值振幅比

根據(jù)(14)式，可以得到壓縮前后脈沖峰值振幅比為

當(dāng)αm→0 時(shí)，有|sin αm|→0，且有sin αm≈αm，cos αm≈1.既然cot αm= -2πμ，因此，從(17)式可知壓縮前后脈沖峰值振幅比與脈沖寬度T 和調(diào)頻率絕對(duì)值|μ|成正比。

當(dāng)|μ|足夠大時(shí)，有

從(19)式可見(jiàn):當(dāng)|μ|足夠大時(shí)，峰值振幅比約等于D1/2.

3 數(shù)字信號(hào)處理的性能比較

從前面的分析可以知道:基于FRFT 的LFM 脈沖時(shí)延估計(jì)與LFM 脈沖壓縮的理論特性一致。不過(guò)，兩者都可以采用數(shù)字信號(hào)處理的方式實(shí)現(xiàn)，那么在數(shù)字實(shí)現(xiàn)上兩者是否存在性能差異呢?

設(shè)采樣頻率為fs，根據(jù)奈奎斯特采樣定理有fs≥2B(不妨設(shè)fs=ηB，η≥2)，則采樣周期LFM 脈沖壓縮是在時(shí)域完成，則其數(shù)字實(shí)現(xiàn)的時(shí)延估計(jì)是以ts為步長(zhǎng)來(lái)確定的。即，時(shí)延估計(jì)值來(lái)自于離散數(shù)值集{ts，2ts，…，Nts}，其中N =R/ts，R 為脈沖重復(fù)周期(一般情況下總可以選擇R 為ts的整數(shù)倍)。這也就意味著無(wú)噪條件下LFM脈沖數(shù)字壓縮的時(shí)延估計(jì)精度不會(huì)低于既然LFM 脈沖壓縮后的脈寬為那么在滿足奈奎斯特采樣定理前提下LFM 脈沖壓縮的數(shù)字實(shí)現(xiàn)方式對(duì)目標(biāo)檢測(cè)和時(shí)延估計(jì)影響可忽略。

基于FRFT 的LFM 脈沖時(shí)延估計(jì)是在分?jǐn)?shù)階傅里葉域內(nèi)完成，那么根據(jù)(8)式所示的時(shí)延估計(jì)子可以知道時(shí)延估計(jì)值來(lái)自于離散數(shù)值集{us，2us，…，Nus}secαm，其中us為αm階分?jǐn)?shù)階傅里葉域離散步長(zhǎng)。由分?jǐn)?shù)階傅里葉域采樣理論［17］可知:

將cot αm= -2πμ 代入(20)式，可得:

式中γ=R/T ＞1.顯然，有

也就意味著，數(shù)字實(shí)現(xiàn)方式同樣對(duì)基于FRFT 的LFM 脈沖時(shí)延估計(jì)沒(méi)有影響。(注:上述推導(dǎo)是對(duì)整個(gè)脈沖重復(fù)周期的N 點(diǎn)數(shù)據(jù)作一次FRFT 的結(jié)果，如果采用的是分為H 段流水處理的方式，那么理論上只需要保證γ/H ＞1 即可，實(shí)際上為了保證足夠的精度，最好保證γ/H≥5).

實(shí)際應(yīng)用中一般有γ ＞η，也就是說(shuō)，同樣的數(shù)據(jù)率采用基于FRFT 的LFM 脈沖時(shí)延估計(jì)精度會(huì)優(yōu)于LFM 脈沖壓縮。而且，從上述分析也可以發(fā)現(xiàn):在數(shù)字實(shí)現(xiàn)上，LFM 脈沖壓縮通過(guò)提升采樣頻率來(lái)減小時(shí)延估計(jì)的離散步長(zhǎng)ts，而基于FRFT 的LFM 脈沖時(shí)延估計(jì)是通過(guò)延長(zhǎng)脈沖重復(fù)周期(或分段時(shí)長(zhǎng))來(lái)減小時(shí)延估計(jì)的離散步長(zhǎng)ussecαm.

4 仿真

仿真所用數(shù)據(jù)如下:脈寬T =10 μs，調(diào)頻帶寬B=10 MHz，那么時(shí)延分辨力為1/B=0.1 μs，即距離分辨力約為15 m.觀測(cè)距離區(qū)間取為［10 km，15 km］，設(shè)置有6 個(gè)目標(biāo)，假定各目標(biāo)強(qiáng)度相同，位置分別為10 500、11 000、12 000、12 010、13 000、13 020 m.仿真結(jié)果如圖1和圖2所示，可以看出:目標(biāo)3 與目標(biāo)4 的間距小于分辨力而不能區(qū)分，目標(biāo)5 與目標(biāo)6的間距大于分辨力而能夠區(qū)分。

5 結(jié)論

本文以LFM 脈沖壓縮的時(shí)域特性為參照，對(duì)比分析了基于FRFT 的LFM 脈沖時(shí)延估計(jì)特性，得到如下結(jié)論:

1)基于FRFT 的LFM 脈沖時(shí)延估計(jì)的峰值輸出信噪比為與脈沖壓縮最大輸出信噪比相差系數(shù)1/2π.

2)αm階分?jǐn)?shù)階傅里葉域壓縮后脈寬是相應(yīng)的多目標(biāo)時(shí)延分辨力為1/B，脈寬壓縮比同樣為時(shí)寬帶寬積。

圖2 局部放大對(duì)比圖Fig.2 Zoom of Fig.1

4)如果采用數(shù)字信號(hào)處理來(lái)實(shí)現(xiàn)，兩者的時(shí)延估計(jì)離散步長(zhǎng)不一樣。LFM 脈沖壓縮依據(jù)采樣頻率的提升來(lái)減小離散步長(zhǎng)，而基于FRFT 的LFM 脈沖時(shí)延估計(jì)則通過(guò)延長(zhǎng)脈沖重復(fù)周期(或分段時(shí)長(zhǎng))來(lái)減小離散步長(zhǎng)，因此，后者的精度往往更高，所需數(shù)據(jù)率可以更低。

References)

［1］ 丁鷺飛，耿富錄，陳建春，等.雷達(dá)原理［M］.第4 版.北京:電子工業(yè)出版社，2009.DING Lu-fei，GENG Fu-lu，CHEN Jian-chun，et al.Radar theory［M］.4th ed.Beijing:Publishing House of Electronics Industry，2009.(in Chinese)

［2］ 向敬成.信號(hào)檢測(cè)與估計(jì)［M］.北京:電子工業(yè)出版社，1994.XIANG Jing-cheng.Signal detection and estimation［M］.Beijing:Publishing House of Electronics Industry，1994.(in Chinese)

［3］ Quazi A H.An overview on the time delay estimate in active and passive systems for target localization［J］.IEEE Trans Acoustics，Speech and Signal Processing，1981，29(3):527 -533.

［4］ Knapp C，Carter G.The generalized correlation method for estimation of time delay［J］.IEEE Trans Acoustics，Speech and Signal Processing，1976，24(4):320 -327.

［5］ Cabot R C.A note on the application of the Hilbert transform to time delay estimation［J］.IEEE Trans Acoustics，Speech and Signal Processing，1981，29(3):607 -609.

［6］ Hussain Z M，Boashash B.Hilbert transformer and time delay:Statistical comparison in the presence of Gaussian noise［J］.IEEE Trans Signal Processing，2002，50(3):501 -508.

［7］ Cedric L B，Vincent B，Wang Y D.Modified ESPRIT(M-ESPRIT)algorithm for time delay estimation in both any noise and any radar pulse context by a GPR radar［J］.Signal Processing，2009，90(1):173 -179.

［8］ Ge F X，Shen D X，Peng Y N，et al.Super-resolution time delay estimation in multipath environments［J］.IEEE Trans Circuits and Systems-I，2007，54(9):1977 -1986.

［9］ Govindan R B，Raethjen J，Kopper F，et al.Estimation of time delay by coherence analysis［J］.Physica A:Statistical Mechanics and its Applications，2005，350(2 -4):277 -295.

［10］ Liang Y C，Leyman A R.Time delay estimation using higher order statistics［J］.Electronics Letters，1997，33(9):751 -753.

［11］ Wu Y.Time delay estimation of non-Gaussian signal in unknown Gaussian noises using third-order cumulants ［J］.Electronics Letters，2002，38(16):930 -931.

［12］ 陶然，鄧兵，王越.分?jǐn)?shù)階傅里葉變換理論及應(yīng)用［M］.北京:清華大學(xué)出版社，2009.TAO Ran，DENG Bing，WANG Yue.Fractional Fourier transform and its applications［M］.Beijing:Tsinghua University Press，2009.(in Chinese)

［13］ Tao Ran，Li Xue-Mei，Li Yan-Lei，et al.Time delay estimation of chirp signals in the fractional Fourier domain［J］.IEEE Trans Signal Processing，2009，57(7):2852 -2855.

［14］ 鄧兵，陶然，齊林，等.分?jǐn)?shù)階Fourier 變換與時(shí)頻濾波［J］.系統(tǒng)工程與電子技術(shù)，2004，26(10):1357 -1359.DENG Bing，TAO Ran，QI Lin，et al.Fractional Fourier transform and time-frequency filtering［J］.Systems Engineering and Electronics，2004，26(10):1357 -1359.(in Chinese)

［15］ Yetik I S.Beamforming using fractional Fourier transform［J］.IEEE Trans Signal Processing，2003，51(6):1663 -1668.

［16］ 吳曼青，葛家龍.數(shù)字陣列合成孔徑雷達(dá)［J］.雷達(dá)科學(xué)與技術(shù)，2009，7(1):1 -9.WU Man-qing，GE Jia-long.Digital array synthetic aperture radar［J］.Radar Science and Technology，2009，7(1):1 -9.(in Chinese)

［17］ Tao Ran，Deng Bing，Zhang Wei-qiang，et al.Sampling and sampling rate conversion of band limited signals in the fractional Fourier transform domain［J］.IEEE Trans Signal Processing，2008，56(1):158 -171.