考慮死亡率組內(nèi)差異的Lee-Carter模型的改進與應(yīng)用

高怡寧

（中南財經(jīng)政法大學(xué) 統(tǒng)計與數(shù)學(xué)學(xué)院，武漢430073）

0 引言

死亡率預(yù)測在社會生活、政策制定、風(fēng)險管理等的各個方面有著不容小覷的重要性。對死亡率模型的研究可以一直追溯到18世紀。當時，死亡率模型局限于有關(guān)單一年齡因素對死亡率影響的研究，沒有考慮未來死亡率預(yù)測的不確定性，也不適用于時間趨勢的外推。隨著數(shù)學(xué)模型的發(fā)展，美國學(xué)者Lee(1992)提出了Lee-Carter模型，用一簡潔的模型形式將年齡因素，時間因素包括進死亡率模型中。后來，又有一些學(xué)者對Lee-Carter模型進行了改進或是提出了其他更為復(fù)雜的死亡率預(yù)測模型，但絕大多數(shù)因為其復(fù)雜性沒有得到廣泛的運用。本文立足于經(jīng)典的Lee-Carter模型，在現(xiàn)有研究成果的基礎(chǔ)上，提出了考慮每個時間、年齡組內(nèi)部死亡率差異的Lee-Carter模型改進。

1 Lee-Carter模型及其考慮死亡率個體差異的改進

在經(jīng)典的Lee-Carter模型中，死亡年份為t，死亡年齡為x的人群組的中心死亡率mx,t服從以下函數(shù)形式：

其中，αx,βx,κt均為待估計參數(shù)：αx代表年齡對中心死亡率的影響，κt代表死亡率隨時間走勢的變化，βx代表年齡對時間因素的敏感度。εx,t是服從N(0,σ2)的獨立同分布的隨機變量。為了克服參數(shù)估計上的困難，Brouhns（2002）提出的死亡人數(shù)Dx,t服從泊松分布的假設(shè)得到了后續(xù)研究的廣泛運用。在泊松分布的假設(shè)下，模型的形式為：

其中，Ex,t為暴露人口數(shù)。

然而，泊松分布的假設(shè)下的模型限制了死亡人數(shù)的均值與方差相等，并假定每個時間、年齡組內(nèi)部死亡率相等。事實上，每個死亡年、年齡組內(nèi)部的死亡率因地區(qū)，教育等因素差異而不同，實際中每組的死亡人數(shù)方差很可能大于模型的假定。由此，經(jīng)典的Lee-Carter模型帶來的偏大離差將導(dǎo)致模型假設(shè)的不準確和預(yù)測的不精確。

因此，本文將每個分年齡、分時間組內(nèi)的死亡人口Dx,t分成Nx個相等大小的不同類別組Dx,t(i)，并假設(shè)每個年齡，時間組內(nèi)的任意兩個類別組相互獨立，得到第i個類別組的死亡人口分布形式如下：

式中，Zx(i)描述了第i個年齡組內(nèi)類間死亡率水平的差異現(xiàn)象，假設(shè)其均值為1，代表該年齡組的死亡率平均水平。由此易知，Zx(i)＞1代表該類的人口死亡率高于該組的平均水平；而1＞Zx(i)＞0則表示該類的人口死亡率低于該組的平均水平。進一步的，本文選擇廣泛用于描述偏大離差現(xiàn)象的Gamma分布來描述Zx(i)的分布，設(shè)其均值為1，方差為ιx，則可以推得在t年死亡的x歲的人口組內(nèi)，第i類的死亡人口數(shù)服從如下分布：

上述兩個死亡率模型的參數(shù)估計均可以通過極大似然法估計。由于模型中非線性參數(shù)的存在，需要編程通過參數(shù)迭代的方法估計參數(shù)值。在本文中，所有參數(shù)根據(jù)Newton迭代公式進行迭代求解。

2 基于中國人口死亡率數(shù)據(jù)的實證

2.1 數(shù)據(jù)來源與預(yù)處理

本文采用《中國人口統(tǒng)計與就業(yè)年鑒》（原名《中國人口統(tǒng)計年鑒》）中1993～2009年分年齡分性別的死亡人口，年暴露人口和死亡率數(shù)據(jù)。其中，1995年的數(shù)據(jù)缺失，2000年的數(shù)據(jù)從《中國2000年人口普查資料》中獲得。為了研究中國死亡率數(shù)據(jù)是否存在隊列效應(yīng)，本文年齡段間隔為1歲，并將90歲以上的年齡化為一組。

1993年年鑒中沒有直接給出死亡人口數(shù)，本文以其分組死亡率計算得到。1996年的年鑒中沒有85歲及以上的年齡的人口信息，本文按相鄰年的比例進行了估算。

2.2 參數(shù)估計結(jié)果及模型比較

本文運用了R軟件編程估計參數(shù)。在這個過程中，對模型中的待估計參數(shù)設(shè)隨機初始值，進行多次迭代后，使得似然函數(shù)（3）的最后兩次迭代差值控制在10-8以內(nèi)，得到分性別的死亡率模型參數(shù)的估計值。為了得到唯一的參數(shù)估計值和使兩個模型具有可比性，借鑒相關(guān)研究，筆者對參數(shù)進行如下限制：Σtκt=0,Σxβx=1。

得到兩個模型的參數(shù)估計情況如下(在下文中，稱泊松分布下的Lee-Carter模型為模型（1），負二項分布下的lee-Carter模型為模型（2）)：

圖1 模型參數(shù)估計值比較

從圖1中可以看到，兩個模型下得到的參數(shù)的估計值在趨勢上差異不大。女性αx值持續(xù)小于男性，說明在各個年齡組中，女性的死亡率均值均小于男性。從βx值來看，兩組性別都表現(xiàn)出了低年齡段值較高的現(xiàn)象，而βx值越高，表明該年齡段死亡率對死亡率隨時間變化的敏感度越大。并且，女性的死亡率隨時間變化的敏感度小于男性。另外，從κt值可以明顯看到死亡率隨時間下降的趨勢。

但是，單從參數(shù)估計值上無法判斷模型的優(yōu)劣之分。由于加入了更多的參數(shù)，模型二對死亡人口的擬合效果理應(yīng)優(yōu)于模型一。為了更客觀的判斷所建模型的價值，本文運用BIC準則對兩個模型進行判斷比較。BIC的值越大，模型的整體效果就越好?？偨Y(jié)兩個模型的情況如表1：

從表1中BIC的值可以看到，女性的兩個模型的BIC值均大于男性，說明對女性所建的死亡率預(yù)測模型優(yōu)于男性。而假設(shè)死亡人數(shù)服從負二項分布的模型的BIC值又大于泊松假設(shè)下模型的BIC值，說明改進后的模型對死亡率數(shù)據(jù)的擬合效果更好。

表1 模型比較

為了直觀判斷模型的擬合效果，進一步按下式計算標準殘差：

做出改進后模型的標準殘差圖（由左到右分別為標準殘差按死亡年，死亡年齡以及出生年排列）如圖2：

由圖2中可知，模型估計得到的殘差序列對于時間平穩(wěn)且?guī)捉鼮榘自肼曅蛄校ㄆ銵B檢驗的p值分別為0.03418和0.1185）。說明建模中已經(jīng)充分提取了參數(shù)信息。同時，為了判斷中國人口死亡現(xiàn)象是否具有隊列效應(yīng)，作出標準殘差序列對應(yīng)人口出生年的序列圖（右圖）。從殘差圖上可見，殘差對于出生年分布均勻，沒有明顯周期因素?？紤]到在模型設(shè)計中包括隊列效應(yīng)對模型的估計造成的困難和由此帶來的參數(shù)間的交互效應(yīng)，本文認為在對中國人口建模時可以忽略男女性的死亡現(xiàn)象的隊列效應(yīng)。

3 中國分性別分年齡死亡率預(yù)

通過對κt建立ARIMA模型可以得到未來的κt值，從而對死亡率進行預(yù)測。通過觀察κt序列的自相關(guān)圖和偏相關(guān)圖，初步判斷模型類別，結(jié)合ARIMA模型擬合殘差以及參數(shù)的顯著性檢驗，最終確定女性的κt序列為ARIMA(0,1,0)模型，而男性為ARIMA(1,1,1)模型。模型的估計結(jié)果為：

其中，括號中的值為參數(shù)t檢驗的p值，隨機項εt為白噪聲序列。運用上述兩個模型，即可預(yù)測出未來時間的κt值，與αx,βx的參數(shù)估計值一起代入式（1），即可得到考慮了每個年齡、時間組內(nèi)部死亡率差異的該組的死亡率均值的預(yù)測值。在圖3中，本文做出了模型對部分年齡人口死亡率的擬合圖，并按κt的預(yù)測序列給出了未來一段時間這些年齡的人口死亡率預(yù)測值。

圖3 代表性年齡死亡率擬合及預(yù)測（放大1000倍）

從圖3中可以看到，對于不同的年齡組，模型對于低年齡段的死亡率擬合優(yōu)于高年齡段：在圖中，模型對于0歲，60歲的死亡率擬合效果很好。實際上，在這兩個年齡段中間的年齡組也能得到很好的擬合。但是另一方面，由于80歲以上的人口的死亡率波動較大且不穩(wěn)定，模型對于這些高年齡段的擬合效果一般。另外，從模型對于2010～2015年分性別死亡率的預(yù)測上來看，死亡率穩(wěn)步下降，符合實際。

4 結(jié)論及展望

眾所周知，死亡率的高低不僅與死亡年齡，時間有關(guān)，死亡人口的受教育水平，貧富水平和生活質(zhì)量都使得死亡率呈現(xiàn)出極大的差異。而廣為運用的Lee-Carter模型雖然模型形式簡潔，但其對每個年齡、時間組內(nèi)部死亡率相同的限制卻不可避免地造成了模型的設(shè)定偏差。

本文在經(jīng)典Lee-Carter模型的基礎(chǔ)上將各個時間，年齡組內(nèi)的死亡率個體差異考慮入模型的構(gòu)建中，推導(dǎo)出死亡人口服從一負二項分布的Lee-Carter模型擴展形式。并用中國1993年至2009年分性別分年齡的人口資料對模型進行了量化分析。結(jié)果表明，根據(jù)模型的BIC值，死亡人口服從負二項分布假設(shè)的模型優(yōu)于泊松分布假設(shè)下的模型。并且，無論是在哪種死亡人口分布的假設(shè)下，對女性人口建模的效果均優(yōu)于對男性人口建模。從改進后模型擬合的結(jié)果來看，標準殘差對年齡，人口死亡年，人口出生年均獨立。

特別地，按人口出生年排列的殘差圖分布均勻，這顯示表明中國人口死亡現(xiàn)象沒有呈現(xiàn)隊列效應(yīng)的特征。中國人口死亡的這一現(xiàn)象免去了建模時添加出生年效應(yīng)項的困難。最后，本文通過運用所建模型，對模型中時間因子建ARIMA模型，預(yù)測出未來6年內(nèi)中國分性別分年齡的死亡率數(shù)據(jù)。預(yù)測表明在未來一段時間內(nèi)，若沒有特殊因素影響，各個年齡人口的死亡率不斷下降。

從模型的擬合效果來說，改進后的Lee-Carter模型對低年齡段的擬合效果較優(yōu)。而由于高年齡段的死亡率的高度波動性，本文模型對其擬合效果欠佳。鑒于高齡人口的死亡率預(yù)測在養(yǎng)老金制度的安排，企事業(yè)單位的個人退休計劃中起著重要的作用，有必要單獨為高年齡段建立死亡率模型以得到準確的死亡率預(yù)測結(jié)果。由于篇幅所限，本文不再涉及這方面內(nèi)容。另外，完整的死亡率預(yù)測應(yīng)給出預(yù)測值的置信區(qū)間。在這個方面，一些學(xué)者提出了用bootstrap模擬的方法，也有一些學(xué)者提出了Monte Carlo的模擬方法，這些方法都可以后續(xù)用到模型的完善中來，使得模型更加完備。

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