基于不同決策準(zhǔn)則的應(yīng)急資源布局模型

董銀紅，付麗麗，任俊博

(1.中南民族大學(xué) 管理學(xué)院，武漢430074;2.中國社科院 數(shù)量經(jīng)濟(jì)與技術(shù)經(jīng)濟(jì)研究所,北京 100732;3.北京聯(lián)合大學(xué) 商務(wù)學(xué)院，北京 100025；4.公安部信息中心，北京 100006)

0 引言

應(yīng)急資源布局問題是指在一個(gè)應(yīng)急設(shè)施集合中選擇一個(gè)集合，使得從應(yīng)急設(shè)施點(diǎn)到受影響地區(qū)之間總距離最小，包括應(yīng)急資源的選址和配置兩部分，分別解決應(yīng)急資源的存放位置、存放量使得有限的應(yīng)急資源能發(fā)揮最大的經(jīng)濟(jì)效用和社會效用。應(yīng)急資源安置在合理的位置不僅可以降低成本，而且還能滿足應(yīng)急救援的緊急性，可以最大限度的減少損失。然而，在應(yīng)急資源調(diào)度過程中，由于物資需求狀況、路段狀況和供給等因素的影響給實(shí)時(shí)救援工作帶來了巨大的挑戰(zhàn)，因此，在實(shí)施資源調(diào)度之前，做好資源布局規(guī)劃是非常有必要的。

1 基于薩凡奇決策準(zhǔn)則的應(yīng)急資源布局魯棒模型

由于在突發(fā)事件發(fā)生前，對于突發(fā)事件發(fā)生的概率并不清楚，因此，利用處理隨機(jī)事件的方法來處理應(yīng)急資源布局問題是不合理的，關(guān)注最壞情境的資源布局也將是一種資源浪費(fèi)，基于多種情境的薩凡奇決策的魯棒優(yōu)化資源布局模型是合適的。現(xiàn)假定，已經(jīng)存在一個(gè)備選應(yīng)急設(shè)施集合M,從其中選擇出p個(gè)設(shè)施，使其盡量滿足需求集合N中n個(gè)需求點(diǎn)的應(yīng)急需求。為了考慮模型的方便，可以將符號記作如下：

B——政府在建立應(yīng)急配送中心前的資金預(yù)算；

M——應(yīng)急設(shè)施集合M＝{1,2,...,m}；

N——應(yīng)急需求點(diǎn)集合N＝{1,2,...,n}；

S——情境集合S＝{1,2,...,s}；

p——決定選擇的應(yīng)急設(shè)施個(gè)數(shù)；

Cij——從第j個(gè)應(yīng)急設(shè)施中心到第i個(gè)需求點(diǎn)的單位物資總成本；

xijs——在情境s下，從第j個(gè)應(yīng)急設(shè)施中心到第i個(gè)需求點(diǎn)的配送量；

yj——為0－1變量。其中，當(dāng)yj=1時(shí)，第j個(gè)可能的應(yīng)急設(shè)施被選中作為應(yīng)急配送中心，當(dāng)yj=0時(shí)，不在第j個(gè)可能應(yīng)急設(shè)施上實(shí)施配送；

yijs——表示在情境s下，是否有物資從第j個(gè)應(yīng)急設(shè)施中心運(yùn)送到第i個(gè)需求點(diǎn)。若有，則yijs＝1，反之，yijs＝0；

wj——在第j個(gè)應(yīng)急配送中心的物資容量；

Di——在第i個(gè)需求點(diǎn)的初步預(yù)估需求；

α——需求滿足率；

決策變量是yijs和yj，均為二進(jìn)制變量，但是這兩個(gè)變量是有本質(zhì)區(qū)別的。其中，yijs是控制變量，其值會隨著每一種情境的實(shí)現(xiàn)而調(diào)整，而yj是設(shè)計(jì)變量，也即是在給定情境前是確定的。換句話說，以下的應(yīng)急資源布局模型將考慮一系列情境中的最壞情境，求解最壞情境下的最優(yōu)，yj是在情境決定之前決定的量，yijs是情境下要確定的量?；诂F(xiàn)實(shí)情形和以上的假設(shè)條件可以得到離散需求變動下應(yīng)急資源布局的魯棒優(yōu)化模型。其目標(biāo)函數(shù)是所有情境中的最小最大目標(biāo)值。也即：

在上式中，目標(biāo)函數(shù)和約束（1）是線性化原來的目標(biāo)函數(shù)。約束（2）確?？傆行枨蟊环峙涞矫恳粋€(gè)需求點(diǎn)上。約束（3）保證在每一種情境下，需求總要滿足初始需求目標(biāo)的一定比例。約束（4）表示從備選應(yīng)急設(shè)施集合M中選擇出p個(gè)設(shè)施，使其盡量滿足需求集合N中n個(gè)需求點(diǎn)的應(yīng)急需求。約束（5）表示從每個(gè)應(yīng)急設(shè)施點(diǎn)運(yùn)出量不能超過其容量約束。約束（6）說明只有當(dāng)某個(gè)應(yīng)急設(shè)施被選中，才會安排資源配置。約束（7）表示成本約束不能超過預(yù)算，在此處的作用是去掉完全不符合預(yù)算的。最后一個(gè)約束說明變量類型是0－1變量。

以上模型和以前討論的模型是不同的。首先體現(xiàn)在對目標(biāo)的考慮。Ghezavati考慮了在路段距離發(fā)生變動的情境下的距離，最小化最大的總距離，考慮的約束條件也相對較為簡單。以上模型除了考慮到成本約束外，還考慮到了需求滿足水平變量α，容量約束等。這些條件的考慮，會更加貼近現(xiàn)實(shí)，也勢必會增加問題的難度。其次在考慮決策準(zhǔn)則時(shí)，也與以往的研究有所不同。以往的研究關(guān)注于目標(biāo)的最優(yōu)，或者概率水平的最優(yōu)，但是本文主要從薩凡奇決策準(zhǔn)則出發(fā)，考慮的是最壞情況下的最好狀況，這種狀況的考慮將能更大程度的滿足系統(tǒng)的魯棒性原則。

2 基于拉普拉斯決策準(zhǔn)則的應(yīng)急資源布局期望值模型

本節(jié)討論基于拉普拉斯決策準(zhǔn)則的應(yīng)急資源布局期望值模型，其中隨情境變化的需求都用均值來代替。模型的目標(biāo)函數(shù)將是最小化成本期望值。提出期望值模型的作用就是要和魯棒優(yōu)化模型進(jìn)行比較。其模型可以表示為：

3 應(yīng)急資源布局兩種模型比較

3.1 兩種模型建模思想比較

對于不確定型決策，可能知道發(fā)生的概率，也可能不知道各種情境發(fā)生的概率。因此作為決策者一般都是基于相應(yīng)的決策條件和決策目標(biāo)，依據(jù)決策者的行為偏好（主要是對風(fēng)險(xiǎn)的偏好和喜惡程度以及對未來收益的主觀估計(jì)），選擇一種決策標(biāo)準(zhǔn)，在這種標(biāo)準(zhǔn)下得到相對滿意解。顯然，以上提及的應(yīng)急資源布局的魯棒優(yōu)化模型和期望值模型，可以用這個(gè)定義來區(qū)分。期望值模型所對應(yīng)的是已知發(fā)生的概率（這里采用的等概率，也稱為等可能性法或者拉普拉斯決策準(zhǔn)則），這個(gè)模型假定各種情境發(fā)生的概率是相同的，通過所有情境下的平均值來選擇平均成本最小的參數(shù)。而魯棒優(yōu)化模型則是不知道概率分布，選擇在所有情境中最壞的一種，然后優(yōu)化最壞的情境，那么得到的解是具有魯棒性的，這種決策標(biāo)準(zhǔn)對應(yīng)著決策理論中的“薩凡奇決策”。雖然都是數(shù)學(xué)規(guī)劃模型，但是二者的建模思想很明顯是不一樣的。

從決策理論的角度，二者都屬于經(jīng)濟(jì)學(xué)古典理性模型。但是決策依據(jù)上的不同，使得兩個(gè)模型在結(jié)果上有很多不同的地方?，F(xiàn)實(shí)的數(shù)學(xué)規(guī)劃模型一個(gè)最基本的假設(shè)就是預(yù)先給定確定的輸入，在給定輸入的情形下尋求最優(yōu)。這實(shí)際上是與現(xiàn)實(shí)有區(qū)別的。在現(xiàn)實(shí)情況中，往往輸入是不知道的，此時(shí)對于模型的要求就是輸入?yún)?shù)在變化時(shí)，所求得的最優(yōu)解還仍然是可行的，既然主觀概率難以獲取，并且不能排除最壞情況的發(fā)生，那么考慮最壞情形的最優(yōu)比研究主觀概率下的最優(yōu)更具有實(shí)踐上的意義。

3.2 第一種模擬情形與數(shù)值分析

分別考慮多個(gè)需求點(diǎn)和多個(gè)備選應(yīng)急設(shè)施點(diǎn)在多個(gè)不同情境下的最優(yōu)情況。首先可以設(shè)計(jì)一組情況：待選的應(yīng)急設(shè)施點(diǎn)有6個(gè)，需求點(diǎn)有4個(gè)，其中有2種不同的情境，分別對應(yīng)不同的需求分配狀況。最終將選定3個(gè)應(yīng)急設(shè)施點(diǎn)作為配送中心。具體參數(shù)如表1。

表1 第一種情況下參數(shù)說明表

同時(shí)，Cij作為從第j個(gè)應(yīng)急設(shè)施中心到第i個(gè)需求點(diǎn)的單位物資總成本，與情境無關(guān)，其原始數(shù)據(jù)見表2。

表2 單位物資運(yùn)輸成本Cij

xijs表示在情境s下，從第j個(gè)應(yīng)急設(shè)施中心到第i個(gè)需求點(diǎn)的配送量；當(dāng)s=1和2時(shí)，需求分配量分別為表3和表4。

表3 第一種情況情境1下的需求分配量xij1

表4 第一種情況情境2下的需求分配量xij2

表5 第一種情況兩種情境平均需求分配量

表6 第一種情形下兩種模型數(shù)據(jù)分析表

以上數(shù)值都是通過對于實(shí)際情況的參考，通過計(jì)算機(jī)模擬仿真得到的。其中，Cij中每一個(gè)元素為區(qū)間[0,50萬元]之間的隨機(jī)數(shù)，需求分配量xij1和xij2也分別為區(qū)間[0,50萬元]的隨機(jī)數(shù)。模型得到的結(jié)果說明，若考慮兩種情境發(fā)生的概率相同，則得到的最優(yōu)資源布局成本為4077.332萬元，其中選擇第一個(gè)、第五個(gè)、第六個(gè)可能的配送中心點(diǎn)作為應(yīng)急設(shè)施點(diǎn)。若考慮薩凡奇決策（最小化所有情境的最大遺憾值），則選擇第三個(gè)、第四個(gè)、第五個(gè)配送中心作為應(yīng)急設(shè)施點(diǎn)，此時(shí)的最優(yōu)資源布局成本為2501.869萬元。通過對比分析可以得到，魯棒模型的結(jié)果要優(yōu)于期望值模型。如果將目標(biāo)值提高率r定義為：r=(期望值模型目標(biāo)值-魯棒模型目標(biāo)值)/魯棒模型目標(biāo)值，那么，魯棒模型目標(biāo)提高率為62.97%。很明顯，通過這個(gè)實(shí)例說明了魯棒模型的確是優(yōu)于期望值模型的，也就是說薩凡奇決策準(zhǔn)則要優(yōu)于拉普拉斯決策準(zhǔn)則。以下將通過多個(gè)數(shù)值試驗(yàn)來證明這個(gè)結(jié)論。

3.3 魯棒模型與期望值模型的數(shù)值比較

為了檢驗(yàn)魯棒模型和期望值模型的優(yōu)劣，特別選定十個(gè)問題進(jìn)行比較。這些問題的數(shù)據(jù)都是通過給定一定范圍進(jìn)行隨機(jī)生成。首先給定應(yīng)急需求點(diǎn)個(gè)數(shù)、備選應(yīng)急設(shè)施點(diǎn)的個(gè)數(shù)、情境個(gè)數(shù)和選定設(shè)施點(diǎn)個(gè)數(shù)。然后隨機(jī)產(chǎn)生相應(yīng)的成本矩陣和幾種情境下的需求分配矩陣，也即，Cij∈[50,100],xij1∈[50,100],xij2∈[100,200],xij3∈[200,400]。以下的數(shù)據(jù)基本按照需求點(diǎn)個(gè)數(shù)，設(shè)施點(diǎn)個(gè)數(shù)依次遞增的規(guī)律。具體試驗(yàn)結(jié)果見表7。

表7 魯棒模型和期望值模型解的比較

很明顯，從表7中可以看出，在只有一種情境的情形下，魯棒模型和期望值模型的目標(biāo)函數(shù)值是相等的。當(dāng)有多個(gè)可能情境時(shí)，魯棒優(yōu)化模型要優(yōu)于期望值模型。下面就專門針對第十個(gè)問題，逐漸加大情境的數(shù)目，探討在不同情境數(shù)目下兩個(gè)模型的差異。

表8 魯棒模型解和期望值模型解的比較

從表8數(shù)據(jù)表可以看出，隨著模型中給定的情景數(shù)目的增加，模型的差異性就越大，魯棒模型的優(yōu)勢就更能體現(xiàn)了。用折線圖表示如圖1。

從圖可1以看出，隨著情景數(shù)目的增加，魯棒模型比期望值模型在成本節(jié)約上更有優(yōu)勢。并且，模型更具有健壯性。

圖1 情景數(shù)目與模型目標(biāo)提高率

4 結(jié)論與展望

在數(shù)值試驗(yàn)中不難發(fā)現(xiàn)，盡管魯棒優(yōu)化模型在多數(shù)情形下的數(shù)值結(jié)果要優(yōu)于期望值模型，但是偶爾也會有一些數(shù)值結(jié)果不盡人意，例如下面的第二種情形，當(dāng)選擇需求點(diǎn)個(gè)數(shù)為6個(gè)，應(yīng)急設(shè)施點(diǎn)為8個(gè)，情境數(shù)為3個(gè)，在隨機(jī)生成的三組數(shù)據(jù)中，就會有期望值模型的目標(biāo)函數(shù)值優(yōu)于魯棒模型的目標(biāo)函數(shù)值。換句話說，魯棒優(yōu)化模型能保證結(jié)果的普適性和更大范圍內(nèi)的可行性，但是無法保證在成本節(jié)約上就一定要優(yōu)于給定主觀概率的期望值模型，理論上不能證明，實(shí)踐上也不能保證。下面是經(jīng)過多次反復(fù)試驗(yàn)得到的數(shù)值表（見表9）。

從表9中可以看出，絕大多數(shù)情形下魯棒優(yōu)化模型的目標(biāo)函數(shù)要優(yōu)于期望值模型。從理論上分析這也是自然的。魯棒優(yōu)化模型考慮的是最壞情況下的最優(yōu)目標(biāo)，而期望值模型考慮的是平均概率下的最優(yōu)，平均概率下的最優(yōu)當(dāng)然有可能優(yōu)于最壞情形下的最優(yōu)。事實(shí)上，魯棒優(yōu)化模型的最大優(yōu)勢在于考了特定的最壞的情況，因此一般情況也能夠適合。

表9 魯棒模型解和期望值模型解的原始數(shù)值結(jié)果圖

本文就是利用離散情境來表示不確定參數(shù)的幾種不同狀態(tài)，幾種情境發(fā)生的概率是未知的。因此選擇合理的決策依據(jù)，對應(yīng)急物流規(guī)劃成本有重要的決定因素。通過薩凡奇決策和拉普拉斯決策依據(jù)的比較，得到了在未知情境發(fā)生概率的情況下，薩凡奇決策要優(yōu)于拉普拉斯決策。兩種決策依據(jù)的思想和數(shù)學(xué)表達(dá)形式是不同的。薩凡奇決策對應(yīng)魯棒模型主要是選擇所有情境中最壞的情景將其最優(yōu)化，而拉普拉斯決策對應(yīng)期望值模型主要是給定先驗(yàn)概率相等的情形下，尋求最優(yōu)的資源配置方式。

通過數(shù)值試驗(yàn)，至少可以得到三個(gè)重要結(jié)論：（1）在考慮成本最低的情況下，魯棒模型比期望值模型要優(yōu)越。尤其是針對大幅度變化的情景，這種優(yōu)勢更加明顯；（2）隨著情境數(shù)目的加大，這種優(yōu)勢將更大；（3）魯棒模型具有對特性或參數(shù)攝動的不敏感性。這三個(gè)優(yōu)勢使得魯棒模型比傳統(tǒng)的期望值模型在解決應(yīng)急物流規(guī)劃方面具有很強(qiáng)的適應(yīng)性。

盡管如此，本文的工作還是主要集中在不同情境下的模型比較上，還是沒有完全解決好實(shí)時(shí)需求預(yù)測問題。這一問題的有效解決可以得到不同情境下的需求分配數(shù)據(jù)，將能更好的驗(yàn)證結(jié)論。

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