一種改進(jìn)的揚(yáng)聲器Volterra模型研究

韋峻峰，馮海泓

（1.中國(guó)科學(xué)院 聲學(xué)研究所東海研究站，上海 200032；2.中國(guó)科學(xué)院 聲學(xué)研究所嘉興工程中心，浙江 嘉興 314006）

在電子消費(fèi)類產(chǎn)品需求推動(dòng)下，更輕、更薄且聲音足夠大成為當(dāng)前揚(yáng)聲器的設(shè)計(jì)趨勢(shì)。然而，這些設(shè)計(jì)使揚(yáng)聲器更多地工作在非線性區(qū)域，小信號(hào)模型已不能很好地表述其工作狀態(tài)。揚(yáng)聲器的非線性參數(shù)辨識(shí)正成為當(dāng)前研究的熱點(diǎn)問(wèn)題。Kaizer［1］最先將Volterra級(jí)數(shù)引入了揚(yáng)聲器的大信號(hào)建模。此后，Klippel將揚(yáng)聲器的小信號(hào)模型進(jìn)行擴(kuò)展，提出了鏡像濾波器法［2］實(shí)現(xiàn)揚(yáng)聲器的大信號(hào)建模。Jeong［3］基于Volterra模型提出了諧波平衡法，簡(jiǎn)化了頻域求解非線性方程的運(yùn)算。

然而，在實(shí)際使用Volterra模型對(duì)揚(yáng)聲器進(jìn)行建模時(shí)并不能很好地反映揚(yáng)聲器的非線性失真，模型在大幅度激勵(lì)信號(hào)下輸出誤差顯著增大。因此，一些基于揚(yáng)聲器Volterra模型的應(yīng)用在小信號(hào)輸入下的效果要優(yōu)于大信號(hào)輸入的結(jié)果，這些應(yīng)用包括揚(yáng)聲器參數(shù)辨識(shí)、非線性失真補(bǔ)償?shù)龋?-5］。針對(duì)這一問(wèn)題，本文對(duì)動(dòng)圈揚(yáng)聲器進(jìn)行了1～3階Volterra建模，結(jié)合揚(yáng)聲器大信號(hào)的工作特點(diǎn)，將振膜的平衡位置偏移量及高階核函數(shù)互調(diào)響應(yīng)用于模型的修正。實(shí)驗(yàn)表明，改進(jìn)的Volterra模型在大信號(hào)激勵(lì)的情況下與實(shí)驗(yàn)結(jié)果更為一致。

1 揚(yáng)聲器Volterra模型

1.1 動(dòng)圈揚(yáng)聲器的大信號(hào)等效電路

考慮動(dòng)圈揚(yáng)聲器在大振幅工作狀態(tài)下，因定心支片、折環(huán)、磁路和音圈等部件的特性發(fā)生變化而導(dǎo)致回放聲音中產(chǎn)生的失真，通常稱為固有非線性失真。Klippel曾對(duì)固有非線性失真的成因、現(xiàn)象及模型參數(shù)進(jìn)行了一系列的研究［6］。在其研究中，部分揚(yáng)聲器的參數(shù)不再被視為常數(shù)，而被修改為與位移、電流相關(guān)，這些參數(shù)稱為大信號(hào)參數(shù)。將揚(yáng)聲器線性模型中的相關(guān)參數(shù)替換為大信號(hào)參數(shù)后，可以得到如圖1所示的大信號(hào)等效電路。

圖1 動(dòng)圈揚(yáng)聲器的大信號(hào)機(jī)械-電等效電路Fig.1 Large signal electro-mechanical analogous circuit of moving coil loudspeaker

由等效電路可建立如下微分方程：

其中，F(xiàn)r是電磁驅(qū)動(dòng)力［6］，由隨位移變化的電感產(chǎn)生，其表達(dá)式為：

當(dāng)揚(yáng)聲器工作在小振幅狀態(tài)時(shí)，對(duì)式（1）與式（2）進(jìn)行Laplace變換，可寫為：

由于振膜位移x很小，Bl（x）、Le（x）和Kms（x）可視為常數(shù)，分別記為b0、l0和k0。揚(yáng)聲器的阻抗特性Z（s）和電壓-位移傳遞函數(shù)Hu1（s）為：

1.2 大信號(hào)Volterra模型

當(dāng)揚(yáng)聲器工作在大振幅狀態(tài)時(shí)，由于參數(shù)Bl（x）、Le（x）和Kms（x）隨著振膜位移x的變化而變化，其輸入與輸出不再是線性關(guān)系。通常使用Volterra級(jí)數(shù)［7］求解式（1）與式（2）組成的方程組，得到輸入電壓與輸出位移的關(guān)系。根據(jù)Volterra級(jí)數(shù)理論，非線性系統(tǒng)的響應(yīng)可以表示為各階核函數(shù)與激勵(lì)信號(hào)的卷積的形式，其框圖如圖2所示。

其中：u（t）為激勵(lì)信號(hào)，y（t）為非線性系統(tǒng)的響應(yīng)，h1表示系統(tǒng)的1階核函數(shù)即線性沖激響應(yīng)，h2與h3分別表示系統(tǒng)的2階和3階核函數(shù)，u（t）為輸入。

圖2 非線性系統(tǒng)的Volterra模型框圖Fig.2 Block diagram of nonlinear system modeling via Volterra series model

當(dāng)輸入信號(hào)x（t）=exp（s1t）時(shí)，系統(tǒng)線性響應(yīng)在復(fù)頻域的表達(dá)式為：

除線性響應(yīng)外，輸出中還具有輸入信號(hào)的2次以上諧波響應(yīng)。

輸入信號(hào)x（t）=exp（s1t）+exp（s2t）時(shí)，只考慮到2階響應(yīng)輸出，有：

式中前兩項(xiàng)為線性響應(yīng)。第3、4項(xiàng)對(duì)應(yīng)著系統(tǒng)的2次諧波失真。H2（s1，s2）是對(duì)稱的，有H2（s1，s2）=H2（s2，s1），故第5項(xiàng)系數(shù)為2，對(duì)應(yīng)著系統(tǒng)的互調(diào)失真。

輸入信號(hào)x（t）=exp（s1t）+exp（s2t）+exp（s3t）時(shí)，只考慮到3階響應(yīng)輸出，有：

其中yd（t）為輸出的直流分量，其形式在下文中給出。y1（t）是1階核函數(shù)的響應(yīng)，等同于線性響應(yīng)。y2（t）與y3（t）分別是2、3階核函數(shù)的響應(yīng)，由諧波響應(yīng)和互調(diào)響應(yīng)構(gòu)成。其具體形式如下：

2次諧波響應(yīng)參見y2（t）的前3項(xiàng)，2次互調(diào)響應(yīng)為y2（t）的后3項(xiàng)。與之類似，3次諧波響應(yīng)參見y3（t）的前3項(xiàng)，其余項(xiàng)為3次互調(diào)響應(yīng)項(xiàng)?？梢?，隨著分析階數(shù)的增加，互調(diào)響應(yīng)項(xiàng)的數(shù)量顯著增加。

將Bl（x）、Kms（x）與Le（x）近似表示為二階冪級(jí)數(shù)的形式，如下：

令輸入U(xiǎn)=exp（s1t）+exp（s2t）+exp（s3t），且位移為如式（10）的形式，代入式（3）和式（4），由諧波平衡法可求出線性核函數(shù)如式（6）及2、3階核函數(shù)如下：

其中，系數(shù)Qi、Ri詳見附錄 1。

圖3 不同輸入電壓下位移基頻響應(yīng)幅度Fig.3 Amplitude of linear response of diaphragm displacement in different input voltage

1.3 揚(yáng)聲器Volterra模型的局限性

在激勵(lì)信號(hào)很小時(shí)，揚(yáng)聲器工作在弱非線性狀態(tài)，可以通過(guò)上述Volterra核函數(shù)預(yù)測(cè)位移的基頻響應(yīng)及諧波、互調(diào)響應(yīng)。若逐步增大激勵(lì)信號(hào)，由Volterra核函數(shù)預(yù)測(cè)得到的結(jié)果便不再準(zhǔn)確。圖3比較了由Volterra核函數(shù)預(yù)測(cè)得到的位移基頻響應(yīng)結(jié)果和測(cè)量得到的位移響應(yīng)結(jié)果。從圖中可明顯觀察到，激勵(lì)電壓大于3 V以上，Volterra核函數(shù)的預(yù)測(cè)結(jié)果與實(shí)驗(yàn)結(jié)果的差異逐漸增大。造成Volterra模型誤差增大的原因在于模型的近似處理，包括冪級(jí)數(shù)截?cái)?、Volterra級(jí)數(shù)的低近似等等。并且，揚(yáng)聲器參數(shù)發(fā)生的偏移，包括平衡位置偏移、單圈直流電阻升高、彈性部件的順性改變等加劇了誤差。Klippel的實(shí)驗(yàn)中也發(fā)現(xiàn)了上述現(xiàn)象，并將其稱為非線性幅度壓縮（Nonlinear Amplitude Compression）［8］。除幅度存在較大差異外，Volterra模型預(yù)測(cè)的共振頻率并沒(méi)有發(fā)生變化，而測(cè)量得到的位移共振頻率隨電壓增大而升高。

2 改進(jìn)的揚(yáng)聲器Volterra模型

2.1 大信號(hào)Volterra模型分析

在大信號(hào)輸入揚(yáng)聲器的情況下會(huì)產(chǎn)生顯著的諧波失真和互調(diào)失真。例如，向2階Volterra系統(tǒng)輸入單頻激勵(lì)信號(hào)，可表示為：

有響應(yīng)：

其中H2{·}為雙線性Volterra算子。若2階核函數(shù)時(shí)域形式為h2（τ1，τ2），有：

輸出為：

由共軛關(guān)系，前兩項(xiàng)和后兩項(xiàng)可以合并，化簡(jiǎn)為：

前一項(xiàng)為2階諧波響應(yīng)，后一項(xiàng)為2階互調(diào)響應(yīng)?；フ{(diào)響應(yīng)頻率為0，產(chǎn)生了直流分量。對(duì)于3階Volterra系統(tǒng)的情況，可以求得單頻信號(hào)激勵(lì)下輸出：

前一項(xiàng)為3階諧波響應(yīng)，后一項(xiàng)為互調(diào)響應(yīng)?；フ{(diào)響應(yīng)的頻率與線性響應(yīng)頻率相同。

若只考慮1～3階響應(yīng)，對(duì)于單頻輸入的情況下，揚(yáng)聲器Volterra模型的輸出如下

傳統(tǒng)的揚(yáng)聲器Volterra模型僅包含式（25）中的1至3項(xiàng)，沒(méi)有考慮高階核函數(shù)的互調(diào)響應(yīng)對(duì)線性響應(yīng)的影響（第5項(xiàng)），也沒(méi)有考慮直流分量對(duì)揚(yáng)聲器工作狀態(tài)的影響（第4項(xiàng)）。然而，在激勵(lì)信號(hào)幅度較大時(shí)，高階互調(diào)項(xiàng)幅度顯著增大，該影響變得不可忽略。

2階及2階以上的偶數(shù)階核函數(shù)的部分互調(diào)響應(yīng)產(chǎn)生直流分量，使揚(yáng)聲器振動(dòng)的平衡位置偏移。在小振幅情況下，揚(yáng)聲器工作在Bl（x）、Kms（x）等參數(shù)斜率較小的平衡位置附近，參數(shù)隨位移變化很小。大振幅情況下，平衡位置發(fā)生偏移，與位移相關(guān)的揚(yáng)聲器參數(shù)均受影響產(chǎn)生變化，同時(shí)振動(dòng)的不對(duì)稱引起失真增大。這解釋了實(shí)驗(yàn)中位移共振頻率發(fā)生變化的現(xiàn)象。另一方面，受到平衡位置偏移的影響，部分揚(yáng)聲器在大振幅下彈性部件可能發(fā)生異常，出現(xiàn)幅度壓縮、不穩(wěn)定、混沌和音圈跳出磁隙無(wú)法恢復(fù)的現(xiàn)象［8］。

3階及3階以上的奇數(shù)階核函數(shù)的部分互調(diào)響應(yīng)與揚(yáng)聲器線性響應(yīng)頻率一致，導(dǎo)致基頻響應(yīng)的變化，具體表現(xiàn)為幅度壓縮和共振頻率的變化。

2.2 改進(jìn)方法

根據(jù)上述分析，可以得到一種改進(jìn)的揚(yáng)聲器Volterra模型，其結(jié)構(gòu)如圖4所示。為說(shuō)明本文所述方法，以下將對(duì)已知參數(shù)的揚(yáng)聲器進(jìn)行3階Volterra建模，計(jì)算得到已知輸入下?lián)P聲器的各階響應(yīng)。

首先預(yù)測(cè)振膜的平衡位置偏移量xd。激勵(lì)為式（19）的形式，則近似求得偏移量為：

之后對(duì)如Bl（x）、Kms（x）和Le（x）等與位移相關(guān)的非線性參數(shù)進(jìn)行更新。以Bl（x）為例，修正后結(jié)果為：

其中b0’=b0+b1xd+b2x2d，b1’=b1+2b2xd。

將更新后的參數(shù)代回。如此數(shù)次迭代后可得到預(yù)測(cè)偏移量和修正的非線性參數(shù)結(jié)果。

圖4 改進(jìn)的揚(yáng)聲器Volterra模型框圖Fig.4 Block diagram of loudspeaker unit modeling via improved Volterra series model

最后將非線性參數(shù)代入各階核函數(shù)，并考慮高階核函數(shù)的互調(diào)項(xiàng)影響，可求出修正后的基頻響應(yīng)及各階諧波響應(yīng)。修正后的位移基頻響應(yīng)為：

3 實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證

3.1 實(shí)驗(yàn)設(shè)備

實(shí)驗(yàn)設(shè)備由激光傳感器、測(cè)試支架、采集聲卡、計(jì)算機(jī)和功率放大器組成，如圖5所示。

揚(yáng)聲器振膜的振動(dòng)測(cè)量有多種方式，可以通過(guò)位移、速度、加速度傳感器和傳聲器進(jìn)行測(cè)量。為了驗(yàn)證振膜平衡位置和位移基頻響應(yīng)的預(yù)測(cè)結(jié)果，實(shí)驗(yàn)中采用了ANR1282型激光位移傳感器。該傳感器的測(cè)量精度為4 μm，量程為40 mm，測(cè)量位移的頻率范圍為直流0～1 000 Hz。被測(cè)樣品A與樣品B為2種汽車用揚(yáng)聲器，參數(shù)見附錄2。由于揚(yáng)聲器集中參數(shù)模型及Volterra模型均在低頻使用，且揚(yáng)聲器樣品的共振頻率都在100 Hz以內(nèi)，激光傳感器的工作頻率范圍包含了上述頻率，故可用于實(shí)驗(yàn)中。激光傳感器和被測(cè)揚(yáng)聲器固定在支架上，通過(guò)調(diào)整揚(yáng)聲器的水平位置和激光傳感器的垂直位置，可以把激光光束打在防塵帽的中心位置，使光束與振動(dòng)表面垂直以獲得最佳的信噪比。

圖5 實(shí)驗(yàn)裝置Fig.5 Experiment setup

激勵(lì)信號(hào)為離散對(duì)數(shù)掃頻信號(hào)［9］，該信號(hào)由連接在計(jì)算機(jī)上的AudioFire 4專業(yè)聲卡進(jìn)行數(shù)模轉(zhuǎn)換后，經(jīng)功率放大器放大，輸出到被測(cè)揚(yáng)聲器。激光傳感器輸出的信號(hào)為模擬信號(hào)，該信號(hào)接入聲卡輸入端，經(jīng)模數(shù)轉(zhuǎn)換后存儲(chǔ)在計(jì)算機(jī)內(nèi)。實(shí)驗(yàn)使用的專業(yè)聲卡、功放等設(shè)備均經(jīng)過(guò)6位半數(shù)字萬(wàn)用表Fluke 8845A校準(zhǔn)。

揚(yáng)聲器在工作一段時(shí)間后，音圈溫度將有所提高。此外，在揚(yáng)聲器工作結(jié)束時(shí)，振膜平衡位置并不穩(wěn)定。為了排除上述因素影響，兩次測(cè)量之間有10 min的冷卻時(shí)間。

3.2 振膜平衡位置偏移量驗(yàn)證

由于被測(cè)揚(yáng)聲器參數(shù)已知，可使用改進(jìn)的Volterra模型預(yù)測(cè)不同激勵(lì)電壓下振膜的平衡位置偏移情況，并通過(guò)實(shí)驗(yàn)測(cè)量振膜位移，以評(píng)價(jià)預(yù)測(cè)的結(jié)果。對(duì)樣品A預(yù)測(cè)和實(shí)驗(yàn)得到的平衡位置偏移如圖6。預(yù)測(cè)時(shí)只考慮到2階核函數(shù)產(chǎn)生的平衡位置偏移量，因此存在一定的誤差。

圖7為樣品A和樣品B在激勵(lì)信號(hào)頻率等于位移共振頻率情況下，以4 V脈沖正弦波激勵(lì)得到的振膜平衡位置偏移量。0～10 s激勵(lì)電壓為0 V，振膜的偏移為0。10～20 s激勵(lì)電壓為4 V，出現(xiàn)較大的平衡位置偏移。由式（17）、式（26）可知，偏移的方向與揚(yáng)聲器參數(shù)b1、k1的符號(hào)有關(guān)。兩個(gè)樣品的參數(shù)b1和k1符號(hào)均相反，與測(cè)量得到的平衡位置偏移方向相反的現(xiàn)象一致。在20 s之后激勵(lì)電壓變?yōu)?，受到彈性部件的記憶效應(yīng)影響，揚(yáng)聲器的音圈偏移沒(méi)有立即回到原平衡位置。部分相關(guān)研究中也發(fā)現(xiàn)了這一現(xiàn)象［10-11］。從圖中可以看出，樣品A音圈偏移的恢復(fù)較樣品B要緩慢得多，說(shuō)明樣品B與樣品A相比性能更穩(wěn)定。

圖6 預(yù)測(cè)和實(shí)驗(yàn)得到的振膜平衡位置Fig.6 Rest position of diaphragm by prediction or measurement

圖7 揚(yáng)聲器工作后平衡位置偏移的恢復(fù)過(guò)程Fig.7 The recovery process of rest position varying after work

圖8 不同輸入電壓下位移基頻響應(yīng)幅度Fig.8 Amplitude of linear response of diaphragm displacement in different input voltage

3.3 位移響應(yīng)驗(yàn)證

圖8為樣品A使用改進(jìn)的揚(yáng)聲器Volterra模型預(yù)測(cè)已知輸入下振膜位移的基頻響應(yīng)結(jié)果。對(duì)比傳統(tǒng)Volterra模型的預(yù)測(cè)結(jié)果（參見圖3），由于考慮了高階核函數(shù)互調(diào)造成的參數(shù)變化和幅度壓縮，改進(jìn)的Volterra模型的預(yù)測(cè)結(jié)果更接近于測(cè)量結(jié)果。此外，圖9給出了1 V、2 V和4 V激勵(lì)電壓下樣品B的實(shí)驗(yàn)結(jié)果和兩種模型的預(yù)測(cè)結(jié)果。

圖9 不同輸入電壓下位移基頻響應(yīng)幅度Fig.9 Amplitude of linear response of diaphragm displacement in different input voltage

4 結(jié)論

為了改善傳統(tǒng)的揚(yáng)聲器Volterra模型在激勵(lì)信號(hào)幅度較大時(shí)預(yù)測(cè)得到的響應(yīng)與測(cè)量結(jié)果誤差較大的情況，本文提出了一種改進(jìn)的揚(yáng)聲器Volterra模型?？紤]到揚(yáng)聲器工作在大振幅狀態(tài)時(shí)音圈偏移量對(duì)非線性參數(shù)造成的影響，結(jié)合揚(yáng)聲器的工作特點(diǎn)，音圈偏移量首先由偶數(shù)階核函數(shù)計(jì)算得到。此外，在計(jì)算位移響應(yīng)時(shí)引入了高階核函數(shù)的互調(diào)項(xiàng)，使位移響應(yīng)預(yù)測(cè)結(jié)果更為精確。

為了驗(yàn)證模型，揚(yáng)聲器的位移響應(yīng)由一套激光位移測(cè)量系統(tǒng)測(cè)量得到。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，音圈偏移量的預(yù)測(cè)結(jié)果與實(shí)驗(yàn)結(jié)果一致。并且，改進(jìn)的揚(yáng)聲器Volterra模型可表征揚(yáng)聲器的幅度壓縮現(xiàn)象。該模型可應(yīng)用于揚(yáng)聲器的振動(dòng)特性分析、參數(shù)辨識(shí)和固有非線性失真補(bǔ)償。

［1］KaizerM. Modeling ofthe nonlinearresponse ofan electrodynamic loudspeaker by a volterra series expansion［J］.J.Audio Eng.Soc.，1987，35（6）：421-433.

［2］Klippel W.The mirror filter-A new basis for reducing nonlinear distortion and equalizing response in woofer systems［J］.J.Audio Eng.Soc.，1992，40（9）：675-691.

［3］Jeong H，Ih G.Harmonic balance method for estimating the nonlinear parameter of electrodynamic［J］.J.Audio Eng.Soc.，1996，44（4）：245-257.

［4］Bard D.Horn loudspeakers nonlinearity comparison and linearization using volterra series［R］.Audio Eng.Soc.Convention：124. Amsterdam：Audio Eng. Soc.，2008，7318.

［5］Walter F.An efficient approximation to the quadratic Volterra filter and its application in real-time loudspeaker linearization［J］.Signal Processing，1995，45（1）：97-113.

［6］ Klippel W.Loudspeaker nonlinearities-causes，parameters，symptoms［J］.J.Audio Eng.Soc.，2006，54（10）：907-939.

［7］Schetzen M.The volterra and wiener theories of nonlinear system［M］.New York：Wiley，1980.

［8］Klippel W.Optimal design of loudspeakers with nonlinear control［R］.Audio Eng.Soc.International Conference：32.New York：Audio Eng.Soc.，2007，18.

［9］楊 益，韋峻峰，溫周斌，等.揚(yáng)聲器異常音的快速檢測(cè)方法及其實(shí)驗(yàn)研究［J］.聲學(xué)學(xué)報(bào)，2010，35（5）：562-570.

［10］ Klippel W. Prediction ofspeakerperformance athigh amplitudes［R］.Audio Eng.Soc.Convention：111.New York：Audio Eng.Soc.，2001，5418.

［11］ Pedersen B， Finn A. Time varying behaviorofthe loudspeaker suspension［R］.Audio Eng.Soc.Convention：127.New York：Audio Eng.Soc.，2009，7902.

附錄1

附錄2

實(shí)驗(yàn)中使用的揚(yáng)聲器的非線性參數(shù)