進(jìn)動(dòng)分解及其在轉(zhuǎn)子動(dòng)平衡中的應(yīng)用

雷文平，韓 捷，陳 宏，鞏曉赟

（1.鄭州大學(xué) 振動(dòng)工程研究所，鄭州 450001；2.鄭州大學(xué) 化工與能源學(xué)院，鄭州 450001）

影響系數(shù)法作為一種主要的轉(zhuǎn)子動(dòng)平衡方法在工業(yè)現(xiàn)場(chǎng)使用廣泛［1］.由于影響系數(shù)法建立于線性假設(shè)的基礎(chǔ)之上，在應(yīng)用過程中仍然存在很多不足之處［2-3］.特別地，當(dāng)轉(zhuǎn)子支撐的各向剛度存在明顯差異時(shí)，傳統(tǒng)的基于影響系數(shù)法的平衡效果不穩(wěn)定，會(huì)受傳感器影響，經(jīng)常發(fā)生以下現(xiàn)象：① 傳感器安裝方向不一樣，動(dòng)平衡效果不一樣；② 利用某些特定方向上的傳感器會(huì)導(dǎo)致最后計(jì)算的配重大到無法實(shí)施。針對(duì)這一問題，屈梁生院士提出了全息動(dòng)平衡方法［2］，采用雙傳感器的信息融合方法克服了單傳感器的片面性，得到了較好的應(yīng)用.然而全息動(dòng)平衡技術(shù)建立在模態(tài)平衡法的基礎(chǔ)上，采用力和力偶分解的原理進(jìn)行平衡，因而只能進(jìn)行低階振型的平衡，對(duì)于超二臨界的轉(zhuǎn)子的平衡則不適用。本文在分析傳統(tǒng)影響系數(shù)法的弊端的基礎(chǔ)上，采用雙傳感器信息融合技術(shù)，并采用正進(jìn)動(dòng)來代替?zhèn)鹘y(tǒng)不平衡響應(yīng)進(jìn)行影響系數(shù)法改進(jìn)，取得了良好的效果。

1 傳統(tǒng)影響系數(shù)法的弊端

影響系數(shù)平衡法涉及以下方程［3］：

聯(lián)立方程（1）和方程（2），便可以求出A和U。因此，不平衡響應(yīng)（R和R'）的準(zhǔn)確性決定了平衡結(jié)果的準(zhǔn)確性。傳統(tǒng)方法不平衡響應(yīng)是采用單方向傳感器測(cè)量的，對(duì)于各向異性轉(zhuǎn)子來說，從同一截面x，y方向傳感器測(cè)得的不平衡響應(yīng)往往并不相同。從圖1中可以明顯看出，x方向響應(yīng)幅值要大于y方向，盡管x，y方向傳感器夾角為90°，其相位差并不為90°。

圖1 傳感器安裝方向與不平衡響應(yīng)的對(duì)應(yīng)關(guān)系Fig.1 The relation between installed direction of sensor and unbalance response

2 工頻軌跡的進(jìn)動(dòng)分解

按圖1的傳感器器安裝方式，設(shè)某測(cè)點(diǎn)x，y方向的工頻振動(dòng)分別為：

式中，X，Y分別表示在x，y方向檢測(cè)到的信號(hào)幅值；φX、φY表示x，y方向的相位角，Ω表示轉(zhuǎn)速。定義：

則式（3）可以寫成：

將式（5）消去時(shí)間變量t可以得到一個(gè)橢圓軌跡，得到：

在運(yùn)動(dòng)學(xué)上，轉(zhuǎn)子沿橢圓軌跡的運(yùn)動(dòng)可看作是兩個(gè)頻率相同而進(jìn)動(dòng)方向相反的圓軌跡分運(yùn)動(dòng)的合成［4-6］：

用復(fù)平面上的點(diǎn)r（r=x+iy）表示橢圓上的一點(diǎn)，即：

式中：rfc和rbs分別為rf的實(shí)部和虛部，rbc和rbs分別為rb的實(shí)部和虛部，令φf和φb分別為正進(jìn)動(dòng)圓和反進(jìn)動(dòng)圓的初始相位角，Rf和Rb分別為rf和rb的模，有：

所以：

當(dāng)Rf＞Rb時(shí)，轉(zhuǎn)子為正進(jìn)動(dòng)，Rf＜Rb時(shí)，轉(zhuǎn)子為反進(jìn)動(dòng)。當(dāng)Rf=Rb時(shí)轉(zhuǎn)子的渦動(dòng)軌跡為一直線。橢圓的長(zhǎng)半軸RL和短半軸RS與兩個(gè)進(jìn)動(dòng)圓的關(guān)系為：

橢圓軌跡的偏心率為：

3 改進(jìn)影響系數(shù)法

由文獻(xiàn)［3］可知：轉(zhuǎn)子運(yùn)轉(zhuǎn)過程中一般為同步正進(jìn)動(dòng)，即以正進(jìn)動(dòng)分量Rf為主。由式（12）、式（13）可知，隨橢圓軌跡的偏心率e的減小，反進(jìn)動(dòng)分量Rb越來越小，當(dāng)e減至0時(shí)，Rb也減小為0，可見反進(jìn)動(dòng)分量與轉(zhuǎn)子不平衡不存在必然的聯(lián)系。實(shí)際上當(dāng)轉(zhuǎn)子振動(dòng)情況比較復(fù)雜、軌跡偏心率較大時(shí)，由于反進(jìn)動(dòng)的存在給轉(zhuǎn)子失衡量的估計(jì)帶來了不可忽略的干擾，造成了平衡的效率降低［7］。

圖2 單圓盤轉(zhuǎn)子在不同的不平衡力的作用下的軌跡和正進(jìn)動(dòng)分量Fig.2 Whirl orbit and forward precession component of rotor excited by different unbalance force

實(shí)驗(yàn)中，在單圓盤轉(zhuǎn)子（具有一定的初始不平衡量）上施加質(zhì)量為 2 g，角度分別為 0°，45°，90°，135°，180°，225°，270°，315°的不平衡質(zhì)量后，轉(zhuǎn)子的渦動(dòng)軌跡和正進(jìn)動(dòng)圓軌跡如圖2所示。相對(duì)于圖2（a）中的渦動(dòng)軌跡來說，正進(jìn)動(dòng)分量圖2（b）更好地體現(xiàn)了不平衡狀態(tài)，正進(jìn)動(dòng)圓的半徑反映了不平衡量的大小，正進(jìn)動(dòng)角度反映了不平衡量的相位。

因此，改進(jìn)影響系數(shù)法的基本思路是：將工頻正進(jìn)動(dòng)圓的幅值Rf作為不平衡響應(yīng)幅值，正進(jìn)動(dòng)相位角φf作為不平衡響應(yīng)的相位，即新的不平衡響應(yīng)Rf＜φf成為正進(jìn)動(dòng)不平衡響應(yīng)（Forward Precession Unbalance Response，F(xiàn)PUR），結(jié)合影響系數(shù)法采用計(jì)算機(jī)輔助型平衡過程來完成平衡。

4 數(shù)值模擬

轉(zhuǎn)子-軸承系統(tǒng)的有限元模型由方程（14）表示［1］：

其中：［M］，［C］，［G］，［K］分別表示質(zhì)量陣、阻尼陣、陀螺陣和剛度陣，Ω表示主軸的旋轉(zhuǎn)角速度，假定轉(zhuǎn)子繞Z軸旋轉(zhuǎn)，{q}=（rX，rY，θX，θY）T表示各個(gè)有限元節(jié)點(diǎn)的解，rX，rY分別表示X，Y方向的位移，θX，θY為繞X，Y軸的角位移，{f}={u}eiΩt代表不平衡力。在ANSYS中，可以用COMIN214來模擬軸承，它可以模擬各向異性的軸承.軸的模擬采用BEAM188單元，圓盤的模擬采用MASS21單元.建立模型后，可通過諧響應(yīng)分析解方程（14）求穩(wěn)態(tài)渦動(dòng)響應(yīng)［8］。

本文建立的轉(zhuǎn)子-軸承模型如圖3所示，盤P1-P5的直徑轉(zhuǎn)動(dòng)慣量和極轉(zhuǎn)動(dòng)慣量分別為1.54×10-4kg·m2和2.94 ×10-4kg·m2。質(zhì)量為0.783 kg。軸承特性：kxx=2.63e+6 N·m-1，kyy=1.315e+6 N·m-1，kxy=kyx=-2.63e+5 N·m-1，由于不考慮阻尼影響，cxx=cyy=cxy=0。該模型的主要參數(shù)還包括：主軸總長(zhǎng)度0.36 m，半徑為 0.004 8 m，楊氏模量 2.1e11 N·m-3，泊松比為 0.3，密度為 7 800 kg·m-3。轉(zhuǎn)子的第一，二階臨界轉(zhuǎn)速分別為1 921和7 238 r/min，對(duì)應(yīng)的反進(jìn)動(dòng)臨界轉(zhuǎn)速分別為1 883和6 472 r/min。沿軸的方向，從左到右，均勻分布13個(gè)節(jié)點(diǎn)，節(jié)點(diǎn)號(hào)分別為 S1，S2，…，S13.節(jié)點(diǎn)號(hào)在圖3 中標(biāo)識(shí).在節(jié)點(diǎn)3，5，7，9，11處建立圓盤.為了驗(yàn)證改進(jìn)方法的動(dòng)平衡效果，設(shè)計(jì)了兩組實(shí)驗(yàn)，分別采用了不同的初始不平衡分布和不同的平衡轉(zhuǎn)速進(jìn)行轉(zhuǎn)子動(dòng)平衡的數(shù)值模擬，初始不平衡量的分布情況如表1所示，實(shí)驗(yàn)1和2的平衡轉(zhuǎn)速分別選為1 200、3 600 r/min，前者低于第一臨界轉(zhuǎn)速，后者位于第一、二臨界轉(zhuǎn)速之間。

表1 2組實(shí)驗(yàn)對(duì)應(yīng)的初始不平衡量（單位：g∠°）Tab.1 Initial unbalance distribution（unit：g∠°）

實(shí)驗(yàn)1中典型的平衡數(shù)據(jù)如表2所示，結(jié)果顯示改進(jìn)方法與X，Y單方向計(jì)算結(jié)果相同，即當(dāng)校正平面和不平衡平面正好相同的情況下改進(jìn)方法與傳統(tǒng)方法具有相同的結(jié)果，同時(shí)作者分別用轉(zhuǎn)速2 400，3 600，4 800，6 000和7 200轉(zhuǎn)進(jìn)行實(shí)驗(yàn)，結(jié)論均一致.因?yàn)椴捎脗鹘y(tǒng)方法時(shí)X，Y方向均得出了完全精確的結(jié)果，所以改進(jìn)方法在這種情況下與傳統(tǒng)方法是兼容的。

在實(shí)驗(yàn)2中，由于平衡分布較為復(fù)雜，校正平面仍然選為P2和P4，從表2中可以看出此時(shí)，采用X，Y單方向的平衡計(jì)算結(jié)果不再一致了，顯然實(shí)驗(yàn)2更接近現(xiàn)場(chǎng)轉(zhuǎn)子的真實(shí)情況。由于，改進(jìn)方法融合了X，Y兩個(gè)方向的結(jié)果。因此從平衡后的結(jié)果（表3和圖4）看，改進(jìn)方法優(yōu)于傳統(tǒng)方法。

表2 實(shí)驗(yàn)1數(shù)據(jù)（轉(zhuǎn)速：1 200 r/min）Tab.2 Experimental data 1（rotating speed：1200 r/min）

表3 實(shí)驗(yàn)2數(shù)據(jù)（轉(zhuǎn)速：3 600 r/min）Tab.3 Experimental data 2（rotating speed：3 600 r/min）

圖4 平衡前后不同節(jié)點(diǎn)振動(dòng)對(duì)比Fig.4 Whirl response before and after balancing

5 實(shí)驗(yàn)研究

為了驗(yàn)證改進(jìn)方法的平衡效果，在BENTLY轉(zhuǎn)子實(shí)驗(yàn)臺(tái)上進(jìn)行了實(shí)驗(yàn)。圖5為轉(zhuǎn)子實(shí)驗(yàn)臺(tái)及傳感器安裝示意圖，轉(zhuǎn)子由滑動(dòng)軸承支撐，支撐的各向剛度存在一定的差異，轉(zhuǎn)子通過撓性聯(lián)軸節(jié)與電機(jī)相聯(lián)，兩個(gè)圓盤上各均勻分布16個(gè)加重小螺紋孔，兩個(gè)孔之間的夾角為22.5°。沿軸從左至右方向上，兩個(gè)圓盤分別為P1和P2，在靠近左右連個(gè)軸承附近分別安裝兩對(duì)互相垂直的電渦流傳感器，分別為S1X，S1Y和S2X，S2Y，K φ為鍵相傳感器。轉(zhuǎn)子第一階臨界轉(zhuǎn)速為1 180 r/min，實(shí)驗(yàn)時(shí)平衡轉(zhuǎn)速選在1 600 r/min。

表4為雙面平衡的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，由于軸承的各向剛度的差異，X，Y方向響應(yīng)（振幅）差別較大，因而最后的平衡結(jié)果差別也比較大，尤其是采用X方向的平衡效果很差，平衡后的殘余振動(dòng)最大，相比較而言，改進(jìn)方法具有結(jié)果客觀唯一，其平衡效果最好。

圖5 轉(zhuǎn)子實(shí)驗(yàn)臺(tái)模型Fig.5 Illustration of rotor test fig

表4 轉(zhuǎn)子實(shí)驗(yàn)臺(tái)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)（轉(zhuǎn)速：1 600 r/min）Tab.4 Experimental data using rotor test fig（rotating speed：1 600 r/min）

6 結(jié)論

通過分析和實(shí)驗(yàn)研究，得到如下結(jié)論：

（1）轉(zhuǎn)子的工頻橢圓軌跡可以分解為兩個(gè)頻率相同但旋轉(zhuǎn)方向相反的圓軌跡，分別為正進(jìn)動(dòng)圓和反進(jìn)動(dòng)圓，工業(yè)現(xiàn)場(chǎng)的失衡轉(zhuǎn)子一般處于穩(wěn)態(tài)的同步正進(jìn)動(dòng)狀態(tài)，即正進(jìn)動(dòng)分量占主導(dǎo)因素，正進(jìn)動(dòng)圓較好地反映了轉(zhuǎn)子的不平衡狀態(tài)，其半徑反映了不平衡量的大小，其初始相位角反映了不平衡量的相位，而反進(jìn)動(dòng)分量與轉(zhuǎn)子不平衡不存在直接和必然的聯(lián)系。

（2）提出一種基于影響系數(shù)法的改進(jìn)平衡方法，該方法采用正進(jìn)動(dòng)分量代替?zhèn)鹘y(tǒng)方法的不平衡響應(yīng)進(jìn)行轉(zhuǎn)子平衡。數(shù)值模擬結(jié)果表明，在忽略任何非線性干擾和測(cè)量誤差情況下，傳統(tǒng)方法和改進(jìn)方法結(jié)果趨于一致，具有兼容性。由于改進(jìn)方法結(jié)合了兩個(gè)方向傳感器的信號(hào)，克服傳統(tǒng)平衡方法中平衡效果受傳感器安裝方向影響的弊端，在實(shí)際轉(zhuǎn)子平衡中結(jié)果客觀，唯一，效果更好。具有較好地工程應(yīng)用價(jià)值。

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