穿孔管消聲器橫截面模態(tài)及消聲特性的有限元分析

方 智，季振林

(哈爾濱工程大學(xué) 動(dòng)力與能源工程學(xué)院，哈爾濱 150001)

穿孔管消聲器具有較低的流動(dòng)阻力損失和良好的消聲性能，在管道噪聲控制中被廣泛使用。為研究消聲器中高頻消聲性能必須考慮高階模態(tài)的影響。Munjal［1］利用分離變量法給出了矩形截面和圓形截面本征函數(shù)的解析表達(dá)式。Selamet等［2-3］根據(jù)模態(tài)節(jié)線的分布，應(yīng)用模態(tài)匹配法研究了進(jìn)出口位置和插管長(zhǎng)度對(duì)圓管膨脹腔消聲器消聲性能的影響。Denia等［4-5］應(yīng)用數(shù)值方法求解了橢圓截面的模態(tài)頻率，應(yīng)用模態(tài)疊加法分析了進(jìn)出口位置和膨脹腔長(zhǎng)度對(duì)橢圓形消聲器聲學(xué)特性的影響。Albelda等［6］利用元件模態(tài)綜合方法研究了圓形截面穿孔管阻性消聲器的橫向模態(tài)，但給出的結(jié)果中并沒有將穿孔管考慮進(jìn)去。Selamet等［7-8］給出了圓形截面軸對(duì)稱穿孔管的特性方程，但并未給出具體的模態(tài)結(jié)果。有關(guān)含有穿孔元件聲學(xué)結(jié)構(gòu)的橫截面模態(tài)計(jì)算和分析的具體研究尚未見有文章發(fā)表。由于解析方法只適用于圓形或矩形同軸結(jié)構(gòu)，對(duì)于截面為任意形狀的結(jié)構(gòu)，應(yīng)使用數(shù)值方法。

本文研究的目的在于:① 基于伽遼金加權(quán)殘數(shù)法，推導(dǎo)有穿孔元件存在時(shí)任意形狀橫截面本征值問題的有限元方程，利用狀態(tài)空間原理將非線性特征值問題轉(zhuǎn)換成標(biāo)準(zhǔn)的線性特征值問題，從而求出模態(tài)頻率;② 對(duì)圓形同軸穿孔橫截面，將有限元法計(jì)算結(jié)果與解析結(jié)果進(jìn)行比較，檢驗(yàn)有限元法預(yù)測(cè)穿孔管消聲器橫截面模態(tài)的有效性和精確性。③ 分析孔徑、穿孔率和穿孔管偏移對(duì)穿孔管消聲器的橫截面模態(tài)頻率和消聲特性的影響。

1 橫截面本征值問題求解的有限元法

圖1為含有穿孔元件聲學(xué)結(jié)構(gòu)的橫截面示意圖。對(duì)于此類二維聲學(xué)問題，區(qū)域S1和S2內(nèi)的控制方程為:

其中:p1和p2分別為區(qū)域S1和S2內(nèi)的聲壓，k為波數(shù)。相應(yīng)的邊界條件為:

(1)剛性壁面邊界條件，即法向質(zhì)點(diǎn)振動(dòng)速度為零，即:

圖1 穿孔橫截面Fig.1 Perforated cross-section

(2)穿孔壁面邊界條件，假設(shè)穿孔兩側(cè)的法向質(zhì)點(diǎn)振速連續(xù)，法向質(zhì)點(diǎn)振速un和穿孔板兩側(cè)的聲壓差通過穿孔聲阻抗ζp聯(lián)系起來，即:

其中:ρ0為空氣密度，c0為聲速。穿孔聲阻抗可表示為:

其中:φ為穿孔率，r=0.006為單孔的聲阻，j為虛數(shù)單位，t'w=tw+αdh為穿孔管壁的聲學(xué)厚度，tw為穿孔板壁厚，dh為穿孔直徑，α為穿孔板的聲學(xué)厚度修正系數(shù)，可表示為［9］:

由法向質(zhì)點(diǎn)振速和壓力梯度的關(guān)系可得:

利用伽遼金加權(quán)殘數(shù)法和格林公式推導(dǎo)聲學(xué)有限元方程［10］，從而可以得到含有穿孔元件聲學(xué)結(jié)構(gòu)橫截面的特征方程。

區(qū)域S1內(nèi)有:

其中，［K1］e=∫S1［▽N］［▽N］TdS為剛度矩陣，［M1］e=∫S1{N}·{N}TdS為質(zhì)量矩陣，［］e= ∫Lp{N}·{N}TdL，［］e=∫Lp{N}{N}TdL為穿孔阻抗矩陣，下腳標(biāo)e代表單元，{N}為形函數(shù)列向量。

將區(qū)域S1中的所有單元進(jìn)行組裝后可得:

其中［K1］、［M1］、［］和［］分別由相應(yīng)的各單元系數(shù)矩陣擴(kuò)充而成。

同樣，在區(qū)域S2內(nèi)有:

聯(lián)合式(9)、式(10)得到:

式(11)即為含有穿孔元件聲學(xué)結(jié)構(gòu)的特征方程，求解該方程即可得到橫截面的模態(tài)頻率。由于該方程為非線性特征值方程，求解時(shí)，應(yīng)用狀態(tài)空間理論將非線性特征值方程轉(zhuǎn)換為線性特征值方程。

將式(11)寫成:

將式(5)代入式(12)，整理方程得到:

引入{PP}=k{P}，{PPP}=k2{P}，得到如下狀態(tài)方程形式:

從而得到一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)的特征值方程。通過求解此特征值方程可以求得所有特征值和特征向量。在穿孔阻抗邊界條件下，其特征值為復(fù)數(shù)，從而構(gòu)成所謂的復(fù)模態(tài)問題。在物理上，復(fù)特征值的實(shí)部對(duì)應(yīng)模態(tài)的固有圓頻率，虛部為模態(tài)衰減系數(shù)。

基于上述理論編寫有限元計(jì)算程序，并將其應(yīng)用于計(jì)算和分析穿孔管消聲器橫截面模態(tài)頻率，進(jìn)而分析消聲器的消聲特性。

2 算例及分析

為驗(yàn)證本文方法和編寫的有限元計(jì)算程序的正確性，首先計(jì)算如圖2所示的直通穿孔管消聲器的徑向模態(tài)頻率，并與解析結(jié)果進(jìn)行比較。由文獻(xiàn)［7］可以得到特性方程:

圖2 直通穿孔管消聲器Fig.2 Straight-through perforated tube silencer

對(duì)該方程求根即可得到徑向模態(tài)頻率的解析結(jié)果。

本文所用的消聲器具體尺寸為:膨脹腔的內(nèi)半徑和長(zhǎng)度分別為R=82.2 mm，L=257.2 mm，管道的內(nèi)半徑和外半徑分別為r=24.5 mm和r'=25.4 mm，穿孔管壁厚為tw=0.9 mm，聲速取344 m/s。

表1給出了使用有限元法和解析方法計(jì)算得到的穿孔率為φ=8.4%、孔徑dh=4.98 mm的穿孔管消聲器的徑向模態(tài)頻率?？梢钥闯?，兩種方法計(jì)算結(jié)果吻合很好，相對(duì)誤差在0.35%以內(nèi)，從而驗(yàn)證了本文有限元法和編寫的計(jì)算程序的正確性和計(jì)算精度。

表1 有限元結(jié)果與解析結(jié)果比較Tab.1 Comparison of FEM and analytical results

2.1 孔徑對(duì)橫截面模態(tài)頻率的影響

表2給出了穿孔率為8.4%，孔徑分別為2.49 mm和4.98 mm時(shí)消聲器橫截面的前4階徑向模態(tài)頻率和模態(tài)形狀?？梢钥闯?，孔徑越大，相同階次的高階模態(tài)頻率越低。圖3比較了兩種孔徑的直通穿孔管消聲器的傳遞損失。在傳遞損失曲線中，存在通過頻率的拱形特性是聲波以平面波形式傳播的特征。拱形特性不再存在，說明高階模態(tài)被激發(fā)，消聲器內(nèi)部出現(xiàn)高次波，聲波以三維波的形式傳播，消聲器傳遞損失變差。從圖3可以看出，孔徑為2.49 mm的直通穿孔管消聲器傳遞損失曲線在(0，1)階模態(tài)頻率(即2 188.6Hz)附近平面波特有的拱形特性消失，說明(0，1)階模態(tài)被激發(fā);而孔徑為4.98 mm的直通穿孔管消聲器傳遞損失曲線則在對(duì)應(yīng)的(0，1)階模態(tài)頻率(即1 987.5 Hz)附近不再有平面波傳播的特性。說明孔徑越大，(0，1)階模態(tài)頻率越低，消聲器內(nèi)高次波出現(xiàn)的越早，中頻消聲效果變差。

?

圖4給出了穿孔率為8.4%時(shí)，孔徑分別為0.62 mm，1.25 mm，2.49 mm，3.74 mm，4.98 mm，7.47 mm和9.96 mm幾種情況下計(jì)算得到的橫截面(0，1)階模態(tài)頻率?？梢钥闯?，在同一穿孔率下，孔徑越大，(0，1)階模態(tài)頻率越低。圖5則比較了不同孔徑時(shí)直通穿孔管消聲器的傳遞損失，可以看出，孔徑越大，傳遞損失曲線上拱形不存在的頻率越低，即平面波有效的頻率范圍越窄。

2.2 穿孔率對(duì)橫截面模態(tài)頻率的影響

?

表3給出了孔徑為2.49 mm，穿孔率分別為2.1%和8.4%時(shí)前4階徑向模態(tài)頻率與模態(tài)形狀?？梢钥闯?，穿孔率越大，同一階次的高階模態(tài)頻率越高。圖6比較了孔徑為2.49 mm，穿孔率分別為2.1%和8.4%時(shí)直通穿孔管消聲器的傳遞損失?？梢钥闯?，穿孔率為2.1%的直通穿孔管消聲器傳遞損失曲線在(0，1)階模態(tài)頻率(即1 367.9 Hz)附近不再有平面波特有的拱形特性，說明 (0，1)模態(tài)被激發(fā);而穿孔率為8.4%的直通穿孔管消聲器傳遞損失曲線則在對(duì)應(yīng)的(0，1)階模態(tài)頻率(即2 188.6 Hz)附近不再有平面波傳播的特性。說明穿孔率越大，消聲器內(nèi)高次波出現(xiàn)的越晚，平面波截止頻率越高。

圖9給出了幾種典型穿孔率下不同孔徑時(shí)橫截面(0，1)階模態(tài)頻率分布。可以看出，穿孔率越低，孔徑和穿孔率對(duì)(0，1)階模態(tài)頻率影響越大;孔徑越大，(0，1)階模態(tài)頻率越低。隨著穿孔率升高，(0，1)階模態(tài)頻率升高。穿孔率大于40%以后，孔徑和穿孔率對(duì)(0，1)階模態(tài)頻率的影響較小。為增加有效的消聲范圍，孔徑應(yīng)減小，穿孔率應(yīng)增大。為簡(jiǎn)便起見，當(dāng)穿孔率高于40%以后，工程設(shè)計(jì)中可以忽略穿孔管的存在。

圖6 不同穿孔率直通穿孔管消聲器傳遞損失比較Fig.6 Comparison of transmission losses of straight-through perforated tube silencers with different porosity

圖7 穿孔率對(duì)橫截面(0，1)階模態(tài)頻率的影響Fig.7 Effect of porosity on cross-sectional(0，1)modal frequencies

圖8 穿孔率對(duì)直通穿孔管消聲器傳遞損失的影響Fig.8 Effect of porosity on transmission losses of straight-through perforated tube silencers

圖9 孔徑和穿孔率對(duì)橫截面(0，1)階模態(tài)頻率的影響Fig.9 Effect of hole diameter and porosity on cross-sectional(0，1)modal frequencies

2.3 穿孔管偏移對(duì)橫截面模態(tài)頻率的影響

圖10 穿孔管偏移橫截面Fig.10 Cross-section with offset perforated tube

?

考慮圖10所示的穿孔管偏移結(jié)構(gòu)，表4比較了穿孔率為8.4%，孔徑為2.49 mm，穿孔管分別偏移δ=10 mm，δ=30 mm和δ=55 mm時(shí)穿孔管消聲器的前4階橫截面模態(tài)。由于穿孔管(進(jìn)出口管)位于消聲器第1階模態(tài)的節(jié)線上，所以第1階模態(tài)被抑制，第2階模態(tài)首先被激發(fā)并傳播。由表4可以看出，穿孔管偏移對(duì)消聲器的第1和第2階模態(tài)頻率影響較小，但總體來講，偏移量越大，第1和第2階模態(tài)頻率越高，但增加的幅度不大。圖11比較了穿孔管偏移對(duì)消聲器傳遞損失的影響，三種結(jié)構(gòu)的消聲器傳遞損失曲線拱形消失的頻率接近，即平面波截止頻率(第2階模態(tài)頻率)接近。

圖11 穿孔管偏移時(shí)消聲器傳遞損失比較Fig.11 Comparison of transmission losses of silencer with offset perforated tube

表5比較了穿孔率為8.4%，孔徑分別為2.49 mm，4.98 mm和9.96 mm時(shí)穿孔管偏移消聲器的第2階模態(tài)頻率?？梢钥闯?，孔徑固定時(shí)，穿孔管偏移對(duì)消聲器第2階模態(tài)頻率有一定的影響，但幅度較小。

表6比較了孔徑為2.49 mm，穿孔率分別為2.1%，8.4%和16.8%時(shí)穿孔管偏移消聲器的第2階模態(tài)頻率?？梢钥闯觯瑢?duì)于固定的穿孔率，穿孔管偏移對(duì)第2階橫截面模態(tài)頻率的影響較小。

解析方法只能計(jì)算圓形同軸消聲器的橫截面模態(tài)。由于工程需要，不同軸穿孔管消聲器應(yīng)用也比較廣泛，本文的有限元法不受幾何形狀的限制，可以計(jì)算任意截面形狀消聲器的橫截面模態(tài)，為工程設(shè)計(jì)提供了一種有實(shí)用價(jià)值的計(jì)算方法。

表5 不同孔徑時(shí)穿孔管偏移對(duì)消聲器第2階模態(tài)頻率的影響Tab.5 Effect of perforated tube offset on the second modal frequencies of silencers with different hole diameter

表6 不同穿孔率時(shí)穿孔管偏移對(duì)消聲器第2階模態(tài)頻率的影響Tab.6 Effect of perforated tube offset on the second modal frequencies of silencers with different porosity

3 結(jié)論

基于伽遼金加權(quán)殘數(shù)法，推導(dǎo)了含有穿孔元件聲學(xué)結(jié)構(gòu)橫截面的聲學(xué)本征方程，利用狀態(tài)空間原理將非線性特征值問題轉(zhuǎn)換為標(biāo)準(zhǔn)的線性特征值問題。對(duì)于圓形同軸結(jié)構(gòu)，橫截面模態(tài)頻率的有限元計(jì)算結(jié)果與解析結(jié)果吻合良好，從而驗(yàn)證了本文有限元方法及程序計(jì)算穿孔管消聲器橫截面模態(tài)的準(zhǔn)確性。有限元數(shù)值計(jì)算結(jié)果表明，穿孔率低于40%，孔徑越大，(0，1)階模態(tài)頻率越低，消聲器中頻消聲效果越差;穿孔率越高，(0，1)階模態(tài)頻率越高，中頻消聲效果越好。穿孔率高于40%，孔徑和穿孔率對(duì)(0，1)階模態(tài)頻率影響較小。對(duì)于固定孔徑和穿孔率，穿孔管偏移對(duì)第2階模態(tài)頻率影響較小。

［1］Munjal M L.Acoustics of ducts and mufflers［M］.New York:Wiley-Interscience，1987.

［2］Selamet A，Ji Z L.Acoustic attenuation performance of circular expansion chambers with offset inlet/outlet:I.Analytical approach［J］.Journal of Sound and Vibration，1998，213(4):601-617.

［3］Selamet A，Ji Z L.Acoustic attenuation performance of circular expansion chambers with extended inlet/outlet［J］.Journal of Sound and Vibration，1999，223(2):197-212.

［4］ Denia F D，Albelda J，F(xiàn)uenmayor F J，et al.Acoustic behaviour of elliptical chamber mufflers［J］.Journal of Sound and Vibration，2000，241(3):401-421.

［5］ Selamet A，Denia F D.Acoustic behavior of short elliptical chamber with end central inlet and end offset or side outlet［J］.Journal of Sound and Vibration，2001，245(5):953-959.

［6］ Albelda J，Denia F D，Torres M I，et al.A transversal substructuring mode matching method applied to the acoustic analysis of dissipative mufflers［J］.Journal of Sound and Vibration，2007，303(3-5):614-631.

［7］Selamet A，Xu M B，Lee I J.Analytical approach for sound attenuation in perforated dissipative silencers［J］.Journal of Acoustical Society of America，2004，115(5):2091-2099.

［8］Selamet A，Xu M B，Lee I J.Analytical approach for sound attenuation in perforated dissipative silencers with inlet/outlet extension ［J］.Journal of Acoustical Society of America，2005，117(4):2078-2089.

［9］康鐘緒，季振林.穿孔板的聲學(xué)厚度修正［J］.聲學(xué)學(xué)報(bào)，2008，33(4):327-333.

［10］徐貝貝，季振林.穿孔管消聲器聲學(xué)特性的有限元分析［J］.振動(dòng)與沖擊，2009，28(9):112-115.