桿系結(jié)構(gòu)的拓?fù)湟讚p性分析

劉文政，葉繼紅

（東南大學(xué) 混凝土與預(yù)應(yīng)力混凝土結(jié)構(gòu)教育部重點實驗室，南京 210096）

建筑結(jié)構(gòu)在規(guī)定的設(shè)計使用年限內(nèi)應(yīng)滿足安全性、適用性和耐久性要求，同時在偶然事件發(fā)生時及發(fā)生后，仍能夠保持必需的整體穩(wěn)定性［1］。除此之外，結(jié)構(gòu)在遭受到設(shè)計階段無法估計的意外荷載或作用時，不應(yīng)發(fā)生與其不相稱的失效或垮塌，即結(jié)構(gòu)應(yīng)具有魯棒性［2］。例如1968 年倫敦 Ronan Point公寓的倒塌［3］、2001年紐約世貿(mào)大廈的倒塌［4］及2004年法國戴高樂機場候機廳頂棚的倒塌［5］均由意外荷載作用下局部單元失效引起的，表明結(jié)構(gòu)缺乏必要的魯棒性。

現(xiàn)階段對結(jié)構(gòu)魯棒性的要求多從概念設(shè)計的角度、依據(jù)工程經(jīng)驗加以把握。如采用合理的結(jié)構(gòu)體系、增加結(jié)構(gòu)的延性、加強構(gòu)件之間的連接、增加冗余度等，但缺乏必要的理論基礎(chǔ)［6］。為了研究結(jié)構(gòu)的魯棒性，一些學(xué)者從魯棒性相反的方面，即易損性進行研究。易損性是指結(jié)構(gòu)對相對較小的損傷、攝動或改變產(chǎn)生不成比例的較大破壞后果的敏感性，它反應(yīng)了結(jié)構(gòu)對于意外損傷的承受能力［7］，其含義包含三個方面：系統(tǒng)所承受的作用及其對系統(tǒng)引起的損傷、結(jié)構(gòu)保持完整的能力、損傷引起的后果。易損性可以分為三種，即內(nèi)在易損性、與特定作用相關(guān)的易損性、整體易損性［8］。Lind［9］采用概率的方法計算結(jié)構(gòu)的易損性，將其定義為損傷系統(tǒng)的失效概率與完整系統(tǒng)的失效概率的比值。Augusti［10］將易損性定義為結(jié)構(gòu)對損傷的敏感度，即為達到或超越損傷的條件概率。柳承茂等［11］提出基于剛度的結(jié)構(gòu)構(gòu)件重要性評估方法，通過最小勢能原理證明構(gòu)件重要性與結(jié)構(gòu)冗余度的關(guān)系，能夠反應(yīng)結(jié)構(gòu)中的薄弱環(huán)節(jié)。于剛等［12］討論了結(jié)構(gòu)中冗余桿件配置的有效性及不同損傷場景對于結(jié)構(gòu)性能的影響程度。Wu等［13-15］提出結(jié)構(gòu)的易損性主要源于結(jié)構(gòu)內(nèi)部本身的構(gòu)形及連接程度，并針對平面結(jié)構(gòu)建立了構(gòu)形易損性理論。Agarwal［16-17］進一步將其推廣應(yīng)用到簡單的三維結(jié)構(gòu)中。構(gòu)形易損性分析與特定荷載作用下的常規(guī)響應(yīng)分析和可靠度分析不同，它是從結(jié)構(gòu)自身拓?fù)潢P(guān)系入手，分析結(jié)構(gòu)中存在的薄弱部位，并識別出結(jié)構(gòu)損傷與破壞后果不成比例的破壞模式。由于分析過程中不涉及荷載，因此避免了實際作用于結(jié)構(gòu)上的荷載及其組合難以確定的問題，其分析結(jié)果具有普適性。

本文詳細闡述了結(jié)構(gòu)構(gòu)形易損性理論，從剛度的角度分析了節(jié)點構(gòu)形度的物理意義，基于凝聚準(zhǔn)則建立結(jié)構(gòu)拓?fù)潢P(guān)系層級模型，識別出結(jié)構(gòu)內(nèi)部連接最薄弱的部分；并通過對結(jié)構(gòu)拓?fù)潢P(guān)系層級模型拆解分析，識別出結(jié)構(gòu)具有易損性的各種破壞模式，并通過破壞模式評價指標(biāo)的計算，確定結(jié)構(gòu)的最小破壞模式、最易發(fā)生破壞模式、完全破壞模式及最大破壞模式共四種破壞模式。應(yīng)用C++語言編制相應(yīng)的分析程序，并對平面桁架、平面剛架及網(wǎng)殼結(jié)構(gòu)進行分析，結(jié)果表明易損性分析能夠有效反應(yīng)結(jié)構(gòu)的薄弱部位，同時能夠識別結(jié)構(gòu)損傷與失效后果具有不成比例的破壞模式，為采取合理措施降低結(jié)構(gòu)內(nèi)在易損性（安全隱患）提供理論依據(jù)。

1 結(jié)構(gòu)易損性理論

1.1 節(jié)點構(gòu)形度

將結(jié)構(gòu)整體剛度矩陣［K］寫成n×n階分塊子矩陣的形式［18］，即：

式中：n為結(jié)構(gòu)的節(jié)點數(shù)量。

將式（1）中位于主對角線上的子矩陣［K］kk稱之為節(jié)點jk的相關(guān)剛度矩陣。［K］kk為對稱正定矩陣，其維數(shù)c與節(jié)點處交匯的單元數(shù)量無關(guān)。

根據(jù)整體剛度矩陣［K］，建立結(jié)構(gòu)彈性有限元方程，即：

式中{F}={{F}1，{F}2，…，{F}n}T為結(jié)構(gòu)總體荷載向量，{X}={{X}1，{X}2，…，{X}n}T為結(jié)構(gòu)總體位移向量。

將式（2）中與［K］kk相應(yīng)的等式部分提取出來，即：

根據(jù)對稱正定矩陣的性質(zhì)，將相關(guān)剛度矩陣［K］kk對角化［19］，即：

式中［P］為c階正交矩陣，［H］為c階對角矩陣，c為相關(guān)剛度矩陣［K］kk的維數(shù)。矩陣［H］的主對角線元素為矩陣［K］kk的特征值λi，且λi大于0。

將式（4）兩邊左乘矩陣［P］和右乘矩陣［P］-1，即：

將式（5）代入到式（3）中，且等式兩邊左乘矩陣［P］-1，即：

令：

將式（7）、式（8）代入式（6）中得到：

將式（9）展開，即：

當(dāng){X}'k為單位向量時，即：x'1=x'2=…=x'n=1，式（10）簡化為：

定義λi（i=1…c）為節(jié)點主剛度系數(shù)，與λi對應(yīng)特征向量的方向為節(jié)點主位移軸方向。根據(jù)式（11）可以看出λi代表著結(jié)構(gòu)在節(jié)點jk處沿著相應(yīng)主位移軸方向抵抗荷載的能力，其大小與總體坐標(biāo)系的選取無關(guān)。

基于主剛度系數(shù)的物理意義，定義節(jié)點jk的構(gòu)形度：

式中：［K］kk為節(jié)點jk的相關(guān)剛度矩陣，c為相關(guān)剛度矩陣［K］kk的維數(shù)，qk稱之為節(jié)點jk的構(gòu)形度。qk的取值與結(jié)構(gòu)總體坐標(biāo)系選取無關(guān)。

算例：圖1（a）、（b）所示分別為節(jié)點鉸接和節(jié)點剛接的雙桿體系［20］。設(shè)單元m1、m2特性如下：截面積A1=A2=1.180 5 cm2，慣性矩I1=I2=0.037 5 cm4，長度l1=l2=0.33 m，彈性模量E=72 409 MPa。m1與m2的夾角為α，m1、m2與水平方向的夾角為β。

圖1 平面雙桿體系Fig.1 Planar double-pole system

在節(jié)點鉸接情況下（圖1（a）），當(dāng)構(gòu)件夾角α取0°～180°時，根據(jù)式（12）計算節(jié)點構(gòu)形度q2隨夾角α的變化規(guī)律如圖2所示。設(shè)圖1（a）中荷載Ph=Pv=300 kN，則結(jié)構(gòu)分別在水平荷載Ph和豎向荷載Pv作用下，節(jié)點j2的位移隨夾角α的變化規(guī)律如圖3所示。

在節(jié)點剛接情況下（圖1（b）），當(dāng)構(gòu)件夾角α取0°～360°時，根據(jù)式（12）計算節(jié)點構(gòu)形度q2隨夾角α的變化規(guī)律如圖4所示。設(shè)圖1（b）中荷載Ph=Pv=3 000 N，當(dāng)α取0°～180°時，結(jié)構(gòu)分別在水平荷載Ph和豎向荷載Pv作用下節(jié)點j2的位移隨夾角α的變化規(guī)律如圖5所示。

圖5 剛接雙桿體系節(jié)點j2的位移隨夾角α變化規(guī)律Fig.5 Variety rule of nodal displacement of j2with α for rigid double-pole system

對比圖2與圖3、圖4、圖5可以得出：在節(jié)點鉸接和剛接兩種情況下，節(jié)點構(gòu)形度q2的變化規(guī)律與荷載作用下節(jié)點位移的變化規(guī)律相似。當(dāng)α較小時，結(jié)構(gòu)在水平荷載作用下的節(jié)點位移較大，反應(yīng)結(jié)構(gòu)在此節(jié)點處沿水平方向抵抗荷載的能力較弱，相應(yīng)此時節(jié)點構(gòu)形度q2相對較小。當(dāng)α較大時，結(jié)構(gòu)在豎向荷載作用下的節(jié)點位移較大，反應(yīng)結(jié)構(gòu)在此節(jié)點處沿豎直方向抵抗荷載的能力較弱，相應(yīng)此時節(jié)點構(gòu)形度q2也相對較小。當(dāng)α等于90°時，結(jié)構(gòu)在兩個方向上位移相等，說明結(jié)構(gòu)在節(jié)點j2的兩個主位移軸方向上抵抗荷載的能力接近，結(jié)構(gòu)在任何方向上都不存在明顯的薄弱部位，相應(yīng)此時節(jié)點構(gòu)形度q2取得最大值。因此節(jié)點構(gòu)形度的大小代表著結(jié)構(gòu)在此節(jié)點處抵抗任意方向荷載的能力。節(jié)點構(gòu)形度較大，表明此節(jié)點處抵抗任意方向荷載的能力較高，此節(jié)點處也就較牢固；相反，節(jié)點構(gòu)形度較小，表明此節(jié)點在某個方向上抵抗荷載的能力較弱，即此節(jié)點處具有易損性。上述節(jié)點構(gòu)形度的物理意義為進一步說明整體結(jié)構(gòu)及其子結(jié)構(gòu)（結(jié)構(gòu)簇）構(gòu)形好壞的評價標(biāo)準(zhǔn)——結(jié)構(gòu)簇構(gòu)形度Q建立基礎(chǔ)。

1.2 結(jié)構(gòu)環(huán)和結(jié)構(gòu)簇

在桿系結(jié)構(gòu)拓?fù)潢P(guān)系中，將能夠保持平衡、冗余度≥0的荷載傳遞路徑稱之為結(jié)構(gòu)環(huán)。其特征為能夠抵抗施加于其上的任意平衡荷載。在構(gòu)形分析中，將結(jié)構(gòu)環(huán)視為結(jié)構(gòu)系統(tǒng)中抵抗荷載和傳遞位移的單元。結(jié)構(gòu)環(huán)可分為靜定結(jié)構(gòu)環(huán)和超靜定結(jié)構(gòu)環(huán)。將所需構(gòu)件組成數(shù)量最少的結(jié)構(gòu)環(huán)稱之為初始結(jié)構(gòu)環(huán)。平面結(jié)構(gòu)的初始結(jié)構(gòu)環(huán)如圖6所示，空間結(jié)構(gòu)的初始結(jié)構(gòu)環(huán)如圖7所示。

結(jié)構(gòu)簇為能夠構(gòu)成結(jié)構(gòu)環(huán)的一組相互連接的單元及連接節(jié)點。根據(jù)結(jié)構(gòu)拓?fù)潢P(guān)系層級模型中結(jié)構(gòu)簇的位置，結(jié)構(gòu)簇分如下四類：

（1）初始結(jié)構(gòu)簇：結(jié)構(gòu)系統(tǒng)中的單個單元稱為初始結(jié)構(gòu)簇，在結(jié)構(gòu)拓?fù)潢P(guān)系層級模型中位于最底層級。

（2）枝簇：由多于一個單元構(gòu)成的結(jié)構(gòu)簇稱為枝簇，在結(jié)構(gòu)拓?fù)潢P(guān)系層級模型中位于中間層級。它是由位于較低層級的結(jié)構(gòu)簇構(gòu)成。

（3）完整簇：將整個結(jié)構(gòu)視為一個結(jié)構(gòu)簇，稱為完整簇。它包含結(jié)構(gòu)中所有單元和節(jié)點，在結(jié)構(gòu)拓?fù)潢P(guān)系層級模型中位于最高層級。

（4）參考簇：剛度無窮大、不會發(fā)生損傷的結(jié)構(gòu)簇稱為參考簇。參考簇一般為結(jié)構(gòu)的基礎(chǔ)部分。

結(jié)構(gòu)簇具有如下四種特性：

（1）構(gòu)形度：結(jié)構(gòu)簇內(nèi)部所有節(jié)點構(gòu)形度之和除以結(jié)構(gòu)簇的節(jié)點數(shù)量，其計算式如下：

式中：n為結(jié)構(gòu)簇的節(jié)點數(shù)量，qk為節(jié)點jk的構(gòu)形度，根據(jù)式（12）進行計算。構(gòu)形度的大小與單元特性、節(jié)點類型及構(gòu)件匯交角度有關(guān)。根據(jù)節(jié)點構(gòu)形度的物理意義，結(jié)構(gòu)簇構(gòu)形度Q為結(jié)構(gòu)簇構(gòu)形好壞的標(biāo)準(zhǔn)。

（2）損傷需求：對結(jié)構(gòu)簇造成損傷所需要作用的大小。根據(jù)主剛度系數(shù)的物理意義，定義損傷需求與結(jié)構(gòu)簇喪失的自由度對應(yīng)的主剛度系數(shù)λi成正比。假設(shè)一個損傷事件只釋放結(jié)構(gòu)簇中某個節(jié)點或單元一個主方向的自由度，則損傷需求計算如下：

式中：ω為比例常數(shù)，λi為結(jié)構(gòu)簇喪失的自由度對應(yīng)的主剛度系數(shù)，m為結(jié)構(gòu)簇發(fā)生損傷所有可能的方式。在結(jié)構(gòu)簇發(fā)生損傷所有可能的方式中，所需作用最小的損傷需求稱為最小損傷需求，即：

式中參數(shù)的含義與式（14）相同。最小損傷需求的大小表明外部作用對結(jié)構(gòu)簇產(chǎn)生損傷的難易程度。

（3）節(jié)點連接度：結(jié)構(gòu)簇內(nèi)部所有節(jié)點處交匯的單元數(shù)量之和，即：

式中：D（jk）為結(jié)構(gòu)簇中節(jié)點jk處交匯的單元數(shù)量，n為結(jié)構(gòu)簇的節(jié)點數(shù)量。節(jié)點連接度的大小表明此結(jié)構(gòu)簇和其他結(jié)構(gòu)簇進一步組成結(jié)構(gòu)環(huán)的能力。

（4）距參考簇的距離：結(jié)構(gòu)簇內(nèi)部所有節(jié)點距參考簇的距離之和除以節(jié)點數(shù)量，其計算式如下：

式中：δ（jk）為結(jié)構(gòu)簇中節(jié)點jk距參考簇的最短距離，n為結(jié)構(gòu)簇的節(jié)點數(shù)量。結(jié)構(gòu)簇與參考簇的距離愈小，其與參考簇分離所引起的后果就越大，因此將距參考簇的距離作為和損傷后果有關(guān)的度量標(biāo)準(zhǔn)。

圖8 選擇種子簇程序流程Fig.8 Program flow of selecting seed clusters

1.3 凝聚過程

凝聚過程是應(yīng)用聚類分析中的層次凝聚方法［21］，依據(jù)凝聚準(zhǔn)則，建立結(jié)構(gòu)的拓?fù)潢P(guān)系層級模型。其凝聚準(zhǔn)則如下：

（1）構(gòu)形度最大（Q）；

（2）最小損傷需求最大（D）；

（3）節(jié)點連接度最大（N）；

（4）距參考簇的距離最大（Dis）；

（5）隨機選擇（R）。

凝聚過程主要分為三個階段：初始凝聚階段、二次凝聚階段、最后凝聚階段。

初始凝聚階段是形成自由簇的過程，其步驟如下：① 根據(jù)結(jié)構(gòu)拓?fù)潢P(guān)系的特點，選擇合適的初始結(jié)構(gòu)環(huán)。② 根據(jù)凝聚準(zhǔn)則選擇種子簇。將結(jié)構(gòu)的每一個單元視為初始結(jié)構(gòu)簇，識別結(jié)構(gòu)中存在的初始結(jié)構(gòu)環(huán)，依次根據(jù)五項凝聚準(zhǔn)則確定唯一的初始結(jié)構(gòu)環(huán)作為種子簇，其程序流程如圖8所示。③ 根據(jù)種子簇形成自由簇。首先識別出能夠和種子簇構(gòu)成結(jié)構(gòu)環(huán)的單元，并計算結(jié)構(gòu)環(huán)構(gòu)形度Q，若構(gòu)形度Q增加時，依次按照上述五項凝聚準(zhǔn)則選擇合適的單元，將其并入種子簇中形成新的結(jié)構(gòu)簇。若存在端節(jié)點都位于結(jié)構(gòu)簇內(nèi)部的初始單元，由于將其并入此結(jié)構(gòu)簇之后構(gòu)形度一定增加，所以優(yōu)先將其并入此結(jié)構(gòu)簇中。重復(fù)上述凝聚過程，若合并之后結(jié)構(gòu)簇的構(gòu)形度Q減少，停止此次凝聚，此時的結(jié)構(gòu)簇稱為自由簇。重復(fù)②、③，直到結(jié)構(gòu)不存在種子簇停止。初始凝聚階段總程序流程如圖9所示。初始凝聚階段結(jié)束之后，整個結(jié)構(gòu)中只有自由簇和不能形成結(jié)構(gòu)環(huán)的初始結(jié)構(gòu)簇。

二次凝聚階段是將初始凝聚階段形成的自由簇和剩余初始結(jié)構(gòu)簇進一步合并的過程。選擇合并前后構(gòu)形度增加最大或者減小最小的結(jié)構(gòu)簇進行合并，其前提條件為合并之后的結(jié)構(gòu)簇為幾何不變體系。重復(fù)凝聚，直至除了參考簇以外，整個結(jié)構(gòu)凝聚為一個結(jié)構(gòu)簇。最后凝聚階段是在二次凝聚階段的基礎(chǔ)上，將參考簇并入上部結(jié)構(gòu)簇中。二次凝聚階段和最后凝聚階段程序流程圖如圖10所示。

基于上述凝聚過程可以建立結(jié)構(gòu)拓?fù)潢P(guān)系層級模型。最低層級是由初始單元和節(jié)點構(gòu)成；最高層級只含有完整簇；中間層級是由一些結(jié)構(gòu)簇連接構(gòu)成。由于凝聚過程是首先將使構(gòu)形度增加的單元并入，因此保證了結(jié)構(gòu)簇內(nèi)部單元之間的連接程度大于內(nèi)部單元與外部單元之間的連接程度。

圖10 二次凝聚階段及最后凝聚階段程序流程Fig.10 Program flow of secondary clustering process and final clustering process

1.4 拆解過程

在構(gòu)形易損性分析中先不考慮引起損傷的作用性質(zhì)，只考慮損傷引起的后果。為了簡化分析，假定單元損傷的位置為：① 單元的中點位置；② 單元的某一端部；③ 單元的兩端，且假定在破壞過程中單元損傷的方式是單一的（圖11）。

圖11 損傷事件的發(fā)生位置和方式Fig.11 Locations and manners of damage occurred

實際結(jié)構(gòu)存在的破壞模式很多，為了識別結(jié)構(gòu)具有易損性的破壞模式，定義破壞模式的評價指標(biāo)［22］如下：

（1）分離系數(shù)γ［Fh］：為失效后結(jié)構(gòu)構(gòu)形度的喪失與失效前完整結(jié)構(gòu)構(gòu)形度的比值，即：

式中：Q［S］為完整結(jié)構(gòu)的構(gòu)形度，Q［S＇］為損傷或失效后結(jié)構(gòu)的構(gòu)形度。分離系數(shù)是衡量結(jié)構(gòu)失效后果的指標(biāo)。結(jié)構(gòu)沒有發(fā)生損傷時，其分離系數(shù)為0；整個結(jié)構(gòu)完全倒塌時，其分離系數(shù)為1。

（2）相對損傷需求Eγ［Fh］：指結(jié)構(gòu)破壞模式的損傷需求E［Fh］與結(jié)構(gòu)最大損傷需求Emax［Fh］的比值。即：

式中：Emax［Fh］為結(jié)構(gòu)系統(tǒng)中所有單元失效所需要的損傷需求。

（3）易損性指數(shù)ξ［Fh］：指破壞模式的分離系數(shù)與其相對損傷需求的比值。即：

易損性指數(shù)為無量綱參數(shù)，其大小反應(yīng)了結(jié)構(gòu)損傷與破壞后果的不成比例性。易損性指數(shù)愈大，表明損傷所引起后果的不成比例性愈大，結(jié)構(gòu)的易損性就愈高。

根據(jù)分析目的和破壞模式的評價指標(biāo)，引入以下四種破壞模式：

（1）最易發(fā)生的破壞模式

具有最小損傷需求的破壞模式定義為最易發(fā)生的破壞模式，它是由結(jié)構(gòu)中最薄弱單元的失效引起的，是結(jié)構(gòu)系統(tǒng)最容易發(fā)生的破壞模式。

（2）最小破壞模式

結(jié)構(gòu)系統(tǒng)中連接最薄弱的部分發(fā)生破壞引起的破壞模式，發(fā)生破壞的位置是凝聚過程中最后并入的結(jié)構(gòu)單元或者結(jié)構(gòu)簇。

在結(jié)構(gòu)系統(tǒng)中，一個單元可能具有較低的損傷需求，但與其它結(jié)構(gòu)簇之間可能具有較高的連接程度，因此定義最易發(fā)生的破壞模式和最小破壞模式識別結(jié)構(gòu)系統(tǒng)中潛在的薄弱部位。其中最易發(fā)生的破壞模式為結(jié)構(gòu)最薄弱單元的失效，最小破壞模式為結(jié)構(gòu)中連接最薄弱的部位發(fā)生失效。

（3）最大破壞模式

易損性指數(shù)最大的破壞模式定義為最大破壞模式，即需要很小的損傷需求就能夠引起較大的失效后果。

（4）完全破壞模式

結(jié)構(gòu)中可能存在多種整體倒塌的破壞模式，在這些整體倒塌的破壞模式中，損傷需求最小的破壞模式定義為完全破壞模式。在結(jié)構(gòu)構(gòu)形易損性分析中，整體倒塌的含義即為所有的結(jié)構(gòu)單元都與參考簇脫離或發(fā)生幾何大位移。

對于最大破壞模式和完全破壞模式，需通過拆解枝簇識別。其拆解準(zhǔn)則如下：

（1）下一層級的結(jié)構(gòu)簇是非參考簇（NR）；

（2）和參考簇能夠組成結(jié)構(gòu)環(huán)（FR）；

（3）和參考簇直接相連，但不能構(gòu)成結(jié)構(gòu)環(huán)（CD）；

（4）是初始結(jié)構(gòu)簇，并非枝簇（L）；

（5）構(gòu)形度最?。⊿Q）；

（6）損傷需求最?。⊿D）；

（7）位于較高層級（CL）。

具體拆解過程如下：

（1）選擇結(jié)構(gòu)拓?fù)潢P(guān)系層級模型中的一個枝簇，將結(jié)構(gòu)中非此枝簇的單元與參考簇合并，視為擴展參考簇。若選擇整簇進行分析，則擴展參考簇仍為原參考簇。

圖12 層級模型拆解流程Fig.12 Unzipping flow of hierarchical modal

選擇拆解的枝簇不同，得到的破壞模式可能也不同。對各種破壞模式按照式（18）～式（20）計算評價指標(biāo)。本文具體程序?qū)崿F(xiàn)時，式（18）中的Q［S'］指結(jié)構(gòu)發(fā)生失效后，仍保持幾何不變特性的剩余部分的構(gòu)形度。如果此時結(jié)構(gòu)中所有剩余單元全部可動，則Q［S'］等于0，相應(yīng)的分離系數(shù)等于1，結(jié)構(gòu)發(fā)生整體倒塌。分離系數(shù)為1且相對損傷需求最小的破壞模式為完全破壞模式。易損性指數(shù)最大的破壞模式為最大破壞模式。

2 平面桁架結(jié)構(gòu)易損性分析

圖13所示為平面桁架結(jié)構(gòu)布置圖，節(jié)點編號、單元編號及構(gòu)件截面特性如圖中所示。單元彈性模量E=2.06×105N/mm2，根據(jù)凝聚過程和拆解過程，編制C++程序?qū)υ摻Y(jié)構(gòu)進行拓?fù)湟讚p性分析。

2.1 凝聚過程

圖13 平面桁架結(jié)構(gòu)布置圖Fig.13 Structural arrangement of planar truss

將結(jié)構(gòu)中的29個單元（m1～m29）分別視為初始結(jié)構(gòu)簇（C1～C29），基礎(chǔ)視為參考簇C30。選取初始結(jié)構(gòu)環(huán)形式如圖6（a）所示。首先識別出結(jié)構(gòu)共存在15個初始結(jié)構(gòu)環(huán)，根據(jù)凝聚準(zhǔn)則，從中選擇構(gòu)形最優(yōu)的結(jié)構(gòu)環(huán){C11，C10，C8}作為種子簇，其編號為C31（圖14（a））。然后識別能夠和C31組成結(jié)構(gòu)環(huán)的初始結(jié)構(gòu)簇，即{C31，C5，C6}、{C31，C9，C12}，計算凝聚前后構(gòu)形度的最大差值 ΔQmax大于0，依據(jù)凝聚準(zhǔn)則，選擇{C31，C5，C6}組成上一層級的結(jié)構(gòu)簇 C32（圖 14（b））。按照上述過程依次將周邊單元并入結(jié)構(gòu)簇中，直至ΔQmax小于0停止凝聚，得到結(jié)構(gòu)簇C34稱為自由簇（圖14（c）～（d））。C34形成之后，從結(jié)構(gòu)的剩余單元中重新尋找種子簇，按照上述自由簇形成過程依次形成自由簇 C38、C39、C40、C41（圖 14（e）～（k））。此時結(jié)構(gòu)中已不存在由初始結(jié)構(gòu)簇組成的結(jié)構(gòu)環(huán)，故初始凝聚階段結(jié)束。

圖14 平面桁架結(jié)構(gòu)凝聚過程Fig.14 Clustering process of planar truss

初始凝聚階段結(jié)束之后，整個結(jié)構(gòu)中的結(jié)構(gòu)簇為C4、C13、C17、C28、C34、C38、C39、C40、C41（圖 14（k）），其中 C34、C38、C39、C40、C41 為自由簇，C4、C13、C17、C28為初始結(jié)構(gòu)簇。根據(jù)Q值增加最大或減小最小的原則，選擇{C34，C39，C13}凝聚為上一層級的結(jié)構(gòu)簇C42（圖14（l））。同理，將整個上部結(jié)構(gòu)逐步凝聚成一個結(jié)構(gòu)簇C45（圖14（m）～（p））。

二次凝聚階段結(jié)束之后，將參考簇C30并入上部結(jié)構(gòu)簇C45中得到完整簇C46（圖14（q））?；谏鲜瞿圻^程，建立結(jié)構(gòu)拓?fù)潢P(guān)系層級模型如圖15所示。

2.2 拆解過程

假定拆解過程中單元的損傷方式為單元中部形成鉸（圖11（g））?；诮Y(jié)構(gòu)拓?fù)潢P(guān)系層級模型（圖15），首先從位于層級模型頂端的枝簇C46開始拆解，具體過程如下：

（1）由于C46是由C45和C30組成，其中C30為參考簇，根據(jù)拆解準(zhǔn)則NR，選擇 C45進行下一步的拆解；

（2）C45由 C44、C40、C4 組成，C44、C40、C4 均不是參考簇，只有C44與參考簇形成結(jié)構(gòu)環(huán)，因此根據(jù)拆解準(zhǔn)則FR，選擇C44進行下一步的拆解；

（3）C44 由 C43、C41、C28 組成，C43、C41、C28 均不是參考簇，只有C43和參考簇形成結(jié)構(gòu)環(huán)，因此根據(jù)拆解準(zhǔn)則FR，選擇C43進行下一步的拆解；

（4）C43 由 C42、C38、C17 組成，C42、C38、C17 均不是參考簇，C42、C38與參考簇相連，C42、C38都不是初始結(jié)構(gòu)簇，C42的構(gòu)形度小于C38的構(gòu)形度，因此根據(jù)拆解準(zhǔn)則SQ，選擇C42進行下一步的拆解；

（5）C42 由 C34、C39、C13 組成，C34、C39、C13 均不是參考簇，只有C34與參考簇相連，因此根據(jù)拆解準(zhǔn)則CD，選擇C34進行下一步的拆解；

（6）C34由 C33、C12組成，C33、C12均不是參考簇，只有C33與參考簇相連，因此根據(jù)拆解準(zhǔn)則CD，選擇C33進行下一步的拆解；

（7）C33 由 C32、C7、C9 組成，C32、C7、C9 均不是參考簇，只有C32與參考簇相連，因此根據(jù)拆解準(zhǔn)則CD，選擇C32進行下一步的拆解；

（8）C32 由 C31、C5、C6 組成，C31、C5、C6 均不是參考簇，C31、C5與參考簇相連，由于C5為初始結(jié)構(gòu)簇，因此根據(jù)拆解準(zhǔn)則L，選擇C5引入損傷。C5（圖13）失效之后結(jié)構(gòu)單元及節(jié)點編號如圖16所示。

C5失效沒有引起結(jié)構(gòu)整體或局部發(fā)生倒塌，因此在C5失效的基礎(chǔ)上，通過凝聚過程重新建立結(jié)構(gòu)拓?fù)潢P(guān)系層級模型（圖17）。按照前述拆解過程，從位于層級模型（圖17）頂端的枝簇C44開始拆解，識別出第二個引入損傷的單元為C9（圖16）。具體拆解過程亦如圖17所示，C9對應(yīng)的原結(jié)構(gòu)編號為C10（圖13）。C5、C10失效之后結(jié)構(gòu)單元及節(jié)點編號如圖18所示。

C5、C10失效沒有引起結(jié)構(gòu)整體或局部發(fā)生倒塌，因此在C5、C10失效的基礎(chǔ)上，再次重新建立結(jié)構(gòu)拓?fù)潢P(guān)系層級模型（圖19）。按照前述拆解過程，從位于層級模型（圖19）頂端的枝簇C42開始拆解，識別出第三個引入損傷的單元為C7，具體拆解過程亦如圖19所示。C7對應(yīng)的原結(jié)構(gòu)編號為C8（圖13），此時結(jié)構(gòu)發(fā)生整體倒塌。因此拆解枝簇C46（圖15）得到的破壞模式是由單元m5、m10、m8（圖13）失效引起的。根據(jù)對稱性，單元m18、m23、m21也組成一種失效模式。

為了識別結(jié)構(gòu)中可能存在的能夠引起連續(xù)倒塌的局部破壞模式，對圖15中的所有枝簇（C31～C45）依次按照上述拆解-凝聚-拆解-…的過程進行搜尋。將非此枝簇中的單元與參考簇合并，視為擴展參考簇。例如對枝簇C42進行拆解時，其結(jié)構(gòu)布置如圖20所示。最終對所有枝簇拆解得到的破壞模式如表1所示。

表1及后文的表2、表3中只含有本文1.4節(jié)定義的完全破壞模式和最大破壞模式，而無法包含最小破壞模式和最易發(fā)生的破壞模式，這兩種模式是分別根據(jù)結(jié)構(gòu)層級模型中單元凝聚的先后次序和單元損傷需求的大小得到的。

根據(jù)表1和1.4節(jié)的定義，可以看出最大破壞模式是拆解枝簇C42得到的，拆解結(jié)果為單元m13、m14失效（圖21（a）），該模式的結(jié)構(gòu)損傷與破壞后果的不成比例性最大，其分離系數(shù)為1.0，因此也是完全破壞模式。根據(jù)對稱性，單元m17、m14失效亦為最大破壞模式和完全破壞模式（圖21（b））。根據(jù)圖15結(jié)構(gòu)拓?fù)潢P(guān)系層級模型，單元m4（圖13）最后凝聚到結(jié)構(gòu)完整簇中（除參考簇C30外），并根據(jù)對稱性，最小破壞模式是單元m4或m28失效引起的（圖21（c）～（d））。通過計算每個單元的損傷需求，得到單元m4、m13、m14、m17、m28的損傷需求最小，因此最易發(fā)生的破壞模式是 m4、m13、m14、m17、m28 中任意一個單元失效引起的（圖21（c）～（g））。

圖20 C42結(jié)構(gòu)布置圖Fig.20 Structural arrangement of C42

表1 平面桁架結(jié)構(gòu)的破壞模式及評價指標(biāo)Tab.1 Failure scenarios and indexes of planar truss

圖21 平面桁架的易損性破壞模式Fig.21 Vulnerable failure scenarios of planar truss

3 平面剛架結(jié)構(gòu)易損性分析

圖22所示為平面剛架結(jié)構(gòu)布置圖。設(shè)單元彈性模量為2.06×105N/mm2，截面積A為0.021 6 m2，慣性矩I為0.001 7 m4。根據(jù)凝聚過程和拆解過程，編制C++程序?qū)υ摻Y(jié)構(gòu)進行易損性分析。

圖22 平面剛架結(jié)構(gòu)布置圖Fig.22 Structural arrangement of planar frame

3.1 凝聚過程

將結(jié)構(gòu)中的15個單元（m1～m15）分別視為初始結(jié)構(gòu)簇（C1～C15），基礎(chǔ)視為參考簇C16。選取結(jié)構(gòu)環(huán)形式如圖6（b）所示。根據(jù)凝聚準(zhǔn)則，選擇{C5，C13}作為種子簇，其編號為C17。然后依次將周邊單元并入，直至ΔQmax小于零停止，得到自由簇C19。然后從結(jié)構(gòu)剩余單元中重新尋找種子簇，按照上述自由簇形成過程形成新的自由簇C23、C27。初始凝聚階段結(jié)束之后，根據(jù)二次凝聚階段的凝聚準(zhǔn)則，首先將C23和C19合并得到C28，然后將C28和C27合并得到C29，最后將C29和C1合并得到C30。整個上部結(jié)構(gòu)合并成一個結(jié)構(gòu)簇C30，二次凝聚階段結(jié)束。最后將參考簇C16并入結(jié)構(gòu)簇C30中形成完整簇C31，凝聚過程結(jié)束。基于凝聚過程，建立結(jié)構(gòu)拓?fù)潢P(guān)系層級模型如圖23所示。

圖23 平面剛架結(jié)構(gòu)層級模型及枝簇C31拆解過程Fig.23 Hierarchical modal of planar frame and unzipping process of C31

3.2 拆解過程

假定拆解過程中單元損傷方式為單元中部發(fā)生斷裂（圖11（d））。首先從位于層級模型頂端的枝簇C31開始拆解，具體過程如下：

（1）由于C31是由參考簇C16和C30形成，其中C16為參考簇，根據(jù)拆解準(zhǔn)則NR，選擇 C30進行下一步的拆解；

（2）C30 由 C29，C1組成，C29，C1均不是參考簇，且均與參考簇相連，而C1是初始結(jié)構(gòu)簇，因此根據(jù)拆解準(zhǔn)則L，選擇C1引入損傷。C1失效之后結(jié)構(gòu)單元及節(jié)點編號如圖24所示。

圖24 C1失效之后結(jié)構(gòu)布置圖Fig.24 Structural arrangement after C1 failure

C1失效沒有引起結(jié)構(gòu)整體或局部發(fā)生倒塌，因此通過凝聚過程重新建立結(jié)構(gòu)拓?fù)潢P(guān)系層級模型（圖25）。根據(jù)拆解準(zhǔn)則，從位于頂端的枝簇C29開始拆解，得到第二個發(fā)生損傷的單元為C1（圖24）。C1對應(yīng)的原結(jié)構(gòu)編號為C2（圖22）。C1、C2失效之后的結(jié)構(gòu)單元及節(jié)點編號如圖26所示。

圖25 C1失效之后結(jié)構(gòu)層級模型層級及拆解過程Fig.25 Hierarchical modal after C1 failure and unzipping process

C1、C2 失效并沒有引起結(jié)構(gòu)發(fā)生倒塌，因此通過凝聚過程重新建立結(jié)構(gòu)拓?fù)潢P(guān)系層級模型（圖27）。從位于層級模型頂端的枝簇C27開始拆解，得到第三個發(fā)生損傷的單元為 C1（圖26）。C1對應(yīng)的原結(jié)構(gòu)編號為C3（圖22）。C1、C2、C3失效后結(jié)構(gòu)發(fā)生倒塌，程序終止。

對圖23中的所有枝簇（即C17～C30）按照上述拆解-凝聚-拆解-…的過程進行搜尋，得到破壞模式如表2所示。

根據(jù)表2可以得出最大破壞模式是拆解枝簇C31/C30得到的，拆解結(jié)果為單元m1、m2、m3失效（圖28（a）），其分離系數(shù)為1.0，因此也為完全破壞模式。根據(jù)圖23結(jié)構(gòu)拓?fù)潢P(guān)系層級模型，并利用對稱性，得出最小破壞模式為單元m1或m3失效所引起的破壞模式（圖28（b）～（c））。由于每個單元的損傷需求相等，因此最易發(fā)生的破壞模式為結(jié)構(gòu)中任意一個單元失效所引起的破壞模式。

圖26 C1、C2失效之后結(jié)構(gòu)布置圖Fig.26 Structural arrangement after C1，C2 failure

表2 平面剛架結(jié)構(gòu)破壞模式及評價指標(biāo)Tab.2 Failure scenarios and indexes of planar frame

4 網(wǎng)殼結(jié)構(gòu)易損性分析

4.1 結(jié)構(gòu)布置

圖29所示為網(wǎng)殼結(jié)構(gòu)布置圖，周邊為固定鉸支座?？缍萀為16 m，矢跨比f/L為0.2，彈性模量E為2.06 × 105N/mm2，泊松比為 0.3。根據(jù)自行編制的C++程序進行凝聚過程和拆解過程分析。

4.2 結(jié)構(gòu)層級模型

選取結(jié)構(gòu)環(huán)的形式如圖6（b）所示，根據(jù)凝聚準(zhǔn)則建立結(jié)構(gòu)拓?fù)潢P(guān)系層級模型如圖30所示。

圖29 網(wǎng)殼結(jié)構(gòu)網(wǎng)格布置圖Fig.29 Structural arrangement of reticulated shell

4.3 拆解過程

假設(shè)拆解過程中構(gòu)件損傷方式為中部發(fā)生斷裂（圖11（d））。對圖30中的所有枝簇（C44～C85）分別按照拆解-凝聚-拆解-…的過程進行破壞模式的識別，并計算評價指標(biāo)，其結(jié)果如表3所示。

通過對比表3中的易損性指數(shù)可以得到：最大破壞模式是枝簇C44拆解得到的，其結(jié)果為單元m5、m1失效（圖31（a）），因此該破壞模式的結(jié)構(gòu)損傷與破壞后果的不成比例性最大。通過對比表3中的分離系數(shù)可以得出：整體倒塌破壞模式共存在七種，分別為拆解枝簇 C84/C85、枝簇 C83、枝簇 C82、枝簇 C81、枝簇C80、枝簇C79、枝簇C54得到的破壞模式，其中拆解枝簇C54得到的破壞模式的易損性指數(shù)最大，因此該模式為完全破壞模式（圖31（b））。根據(jù)網(wǎng)殼結(jié)構(gòu)拓?fù)潢P(guān)系層級模型（圖30），可以得出最小破壞模式為網(wǎng)殼周邊環(huán)向任一構(gòu)件發(fā)生破壞，同時由于周邊環(huán)向構(gòu)件的損傷需求最小，因此最易發(fā)生的破壞模式亦為網(wǎng)殼周邊環(huán)向任一構(gòu)件發(fā)生破壞（圖31（c））。

表3 網(wǎng)殼結(jié)構(gòu)破壞模式及各項指標(biāo)Tab.3 Failure scenarios and indexes of reticulated shell

表3中去除整體倒塌破壞模式（分離系數(shù)為1.0）可以得出：拆解枝簇C75～C78得到的破壞模式的失效構(gòu)件均位于網(wǎng)殼支座附近，其易損性指數(shù)范圍為1.13～2.61；拆解枝簇C44～C53得到的破壞模式的失效構(gòu)件均位于網(wǎng)殼中央部位，其易損性指數(shù)范圍為3.73～7.99，即拆解枝簇C75～C78得到的易損性指數(shù)均小于拆解枝簇C44～C53得到的易損性指數(shù)，說明本網(wǎng)殼中央部位破壞對整體結(jié)構(gòu)構(gòu)形度的喪失比例大于周邊構(gòu)件破壞對結(jié)構(gòu)構(gòu)形度的喪失比例，即該網(wǎng)殼中央部位破壞引起后果的不成比例性更大。

圖30 網(wǎng)殼結(jié)構(gòu)拓?fù)潢P(guān)系層級模型Fig.30 Hierarchical modal of reticulated shell

圖31 網(wǎng)殼破壞模式Fig.31 Vulnerable failure scenarios of reticulated shell

5 結(jié)論

（1）以雙桿體系為例，對節(jié)點構(gòu)形度和荷載作用下的節(jié)點位移隨雙桿夾角的變化規(guī)律進行分析對比，結(jié)果表明節(jié)點構(gòu)形度能夠反應(yīng)結(jié)構(gòu)在此節(jié)點處抵抗任意方向荷載的能力，從剛度角度驗證了結(jié)構(gòu)簇構(gòu)形度Q為結(jié)構(gòu)簇構(gòu)形好壞的定量評價指標(biāo)，因此根據(jù)構(gòu)形度等凝聚準(zhǔn)則建立的拓?fù)潢P(guān)系層級模型中，每一層級結(jié)構(gòu)簇內(nèi)部單元之間的連接程度大于內(nèi)部單元與外部單元之間的連接程度，為結(jié)構(gòu)薄弱部位的識別及層級模型的拆解墊定了理論基礎(chǔ)。

（2）針對結(jié)構(gòu)構(gòu)形易損性理論，本文編制程序予以實現(xiàn)，并將其應(yīng)用到平面桁架、平面剛架及單層網(wǎng)殼結(jié)構(gòu)中。算例分析表明：構(gòu)形易損性分析能夠從結(jié)構(gòu)內(nèi)因方面有效的揭示結(jié)構(gòu)拓?fù)潢P(guān)系存在的薄弱環(huán)節(jié)；通過層級模型的拆解分析，識別出結(jié)構(gòu)損傷與破壞后果不成比例的破壞模式，包括最小破壞模式、最易發(fā)生破壞模式、完全破壞模式及最大破壞模式共四種破壞模式。由于分析過程中僅涉及到作用對結(jié)構(gòu)所造成的損傷以及損傷引起的后果，而與作用或荷載的具體形式無關(guān)，因此其分析結(jié)果具有普適性，為已建結(jié)構(gòu)的監(jiān)測、加固和待建結(jié)構(gòu)的設(shè)計提供理論依據(jù)。

［1］中華人民共和國.GB50068—2001建筑結(jié)構(gòu)可靠度設(shè)計統(tǒng)一標(biāo)準(zhǔn)［S］.北京：中國建筑工業(yè)出版社，2001.

［2］ The Standing Committee on Structural Safety（SCOSS）.Structural safety 1997-99：review and recommendations 12th report of SCOSS［R］.London：SETO Ltd，1999.

［3］ Pearson C，Delatte N.Ronan point apartment tower collapse and its effect on building codes［J］.Journal of Performance of Constructed Facilities（ASCE），2005，19（2）：172-177.

［4］陸新征，江見鯨.世界貿(mào)易中心飛機撞擊后倒塌過程的仿真分析［J］.土木工程學(xué)報，2001，34（6）：8-10.

LU Xin-zheng，JIANG Jian-jing.Dynamic finite element simulation for the collapse of world trade center［J］.China Civil Engineering Journal，2001，34（6）：8-10.

［5］Wood J M，趙 陽.巴黎機場候機廳坍塌事故：應(yīng)吸取的教訓(xùn)［J］.空間結(jié)構(gòu)，2005，11（2）：63-64.

Wood J M，ZHAO Yang.Paris airport terminal collapse：lessons for the structure［J］.Spatial Structures，2005，11（2）：63-64.

［6］葉列平，程光煜，陸新征，等.論結(jié)構(gòu)抗震的魯棒性［J］.建筑結(jié)構(gòu)，2008，38（6）：11-15.

YE Lie-ping，CHENG Guang-yu，LU Xin-zheng，et al.Introduction of robustness for seismic structures［J］.Building Structure，2008，38（6）：11-15.

［7］Agarwal J，Blockley D，Woodman N.Vulnerability of systems［J］.Civil Engineering and Environmental Systems，2001，18（2）：141-165.

［8］Yu Y.Analysis of structural vulnerability［D］.University of Bristol，1997.

［9］ Lind N C.A measure of vulnerability and damage tolerance［J］.Reliability Engineering and System Safety，1995，48（1）：1-6.

［10］ Augusti G，Claudio B，Niemann H J.Is aeolian risk as significant as other environmental risks?［J］.Reliability Engineering and System Safety，2001，74（3）：227-237.

［11］柳承茂，劉西拉.基于剛度的構(gòu)件重要性評估及其與冗余度的關(guān)系［J］.上海交通大學(xué)學(xué)報，2005，39（5）：746-750.

LIU Chen-mao， LIU Xi-la. Stiffness-based evaluation of component importance and its relationship with redundancy［J］.Journal of Shanhai Jiaotong University，2005，39（5）：746-750.

［12］于 剛，孫利民.基于損傷場景的桁架結(jié)構(gòu)拓?fù)湟讚p性分析［J］.同濟大學(xué)學(xué)報（自然科學(xué)版），2010，38（4）：475-480.

YU Gang，SUN Li-min.Damage scenarios-based topological vulnerability analysis of truss structures［J］.Journal of Tongji University（Natural Science），2010，38（4）：475-480.

［13］ Wu X，Blockley D I，Woodman N J.Vulnerability of structural systems part1：rings and clusters［J］.Civil Engineering Systems，1993，10：301-317.

［14］ Wu X，Blockley D I，Woodman N J.Vulnerability of structural systems part2：failure scenarios［J］.Civil Engineering Systems，1993，10：319-333.

［15］ Lu Z，Yu Y，Woodman N J，et al.A theory of structural vulnerability［J］.The Structural Engineer，1999，77（18）：17-24.

［16］ Agarwal J，Blockley D，Woodman N.Vulnerability of 3-dimensional trusses［J］.Structural Safety，2001，23（3）：203-220.

［17］ Agarwal J，Blockley D，Woodman N.Vulnerability of structural systems［J］.Structural Safety，2003，25（3）：263-286.

［18］王勖成.有限單元法［M］.北京：清華大學(xué)出版社，2003.

［19］同濟大學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)系.線性代數(shù)［M］.北京：高等教育出版社，2004.

［20］沈世釗，陳 昕.網(wǎng)殼結(jié)構(gòu)穩(wěn)定性［M］.北京：科學(xué)出版社，1999.

［21］袁志發(fā)，宋世德.多元統(tǒng)計分析［M］.北京：科學(xué)出版社，2009.

［22］ Wu X.Vulnerability analysis of structural systems［D］.University of Bristol，1991.