混合磁懸浮球系統(tǒng)吸引子及穩(wěn)定性研究

馬鳳蓮， 江東， 張翔， 楊嘉祥

(哈爾濱理工大學(xué)電氣與電子工程學(xué)院，黑龍江哈爾濱 150080)

混合磁懸浮球系統(tǒng)吸引子及穩(wěn)定性研究

馬鳳蓮， 江東， 張翔， 楊嘉祥

(哈爾濱理工大學(xué)電氣與電子工程學(xué)院，黑龍江哈爾濱 150080)

為了避免磁懸浮球混沌運(yùn)動(dòng)，設(shè)計(jì)了永磁和電磁混合型磁懸浮球模型，推導(dǎo)了磁懸浮球的動(dòng)力學(xué)方程，并建立了磁懸浮球系統(tǒng)的仿真模型。通過改變初始狀態(tài)，得到不同初始條件下的磁懸浮球系統(tǒng)吸引子。混合型磁懸浮球系統(tǒng)具有單、雙兩類吸引子，雙吸引子表現(xiàn)出較強(qiáng)的混沌特性，磁懸浮球圍繞平衡點(diǎn)附近的波動(dòng)較大，磁懸浮球由混沌運(yùn)動(dòng)狀態(tài)向非混沌運(yùn)動(dòng)狀態(tài)轉(zhuǎn)變時(shí)，由雙吸引子逐漸向單吸引子過渡，系統(tǒng)演變?yōu)榫哂兄芷谔匦缘倪\(yùn)動(dòng)狀態(tài)，再演變?yōu)橄嘬壽E收斂于一個(gè)點(diǎn)，磁懸浮球處于較穩(wěn)定的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)。仿真和實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，通過磁懸浮球吸引子的研究可了解混沌產(chǎn)生的初始區(qū)間，進(jìn)而為設(shè)計(jì)中避開混沌區(qū)實(shí)現(xiàn)磁懸浮球的穩(wěn)定運(yùn)動(dòng)提供了參考依據(jù)。

磁懸浮;初始狀態(tài);動(dòng)力學(xué)方程;混沌運(yùn)動(dòng)狀態(tài);吸引子

0 引言

永磁和電磁混合型磁懸浮球系統(tǒng)有許多應(yīng)用，如實(shí)現(xiàn)振動(dòng)測量［1］、微風(fēng)力測量［2］、速度及加速度測量［3－4］和風(fēng)力發(fā)電［5］等?；旌洗艖腋∏蛳到y(tǒng)在一定的條件下出現(xiàn)混沌現(xiàn)象，了解出現(xiàn)混沌的條件、混沌的特征以及系統(tǒng)如何從混沌狀態(tài)到非混沌狀態(tài)的過渡，可以更好地指導(dǎo)磁懸浮球系統(tǒng)中位移傳感器的安裝位置、控制器PD參數(shù)的設(shè)計(jì)以及磁懸浮球能夠穩(wěn)定的初始位置范圍，擴(kuò)大磁懸浮球運(yùn)動(dòng)的動(dòng)態(tài)范圍［6］，進(jìn)而獲得系統(tǒng)能夠?qū)崿F(xiàn)穩(wěn)定的最佳條件，達(dá)到最佳控制和測量的目的［7］。在利用磁懸浮球系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)測量的過程中，混沌運(yùn)動(dòng)特性將直接影響測量結(jié)果，對(duì)于磁懸浮球系統(tǒng)混沌狀態(tài)的研究可以進(jìn)一步實(shí)現(xiàn)小波去噪等數(shù)據(jù)處理［8］。

1 混合磁懸浮球系統(tǒng)構(gòu)成及建模

永磁和電磁混合型磁懸浮球系統(tǒng)由電磁鐵、磁懸浮球、位移傳感器、環(huán)境紅外光傳感器、數(shù)據(jù)采集電路、控制電路、驅(qū)動(dòng)電路構(gòu)成，如圖1所示。

圖1 混合磁懸浮球系統(tǒng)Fig.1 Chart of hybrid magnetic levitation ball system

圖1中，電磁鐵線圈由直徑為20 mm的鐵心和纏繞直徑為1 mm、匝數(shù)為1 341的銅導(dǎo)線構(gòu)成。磁懸浮球由直徑為140 mm的塑料球構(gòu)成，塑料球上表面內(nèi)部粘貼直徑為22 mm、厚度為5 mm的永磁鐵，電磁鐵線圈與內(nèi)部嵌有永磁鐵的磁懸浮球構(gòu)成混合磁懸浮球系統(tǒng)。永磁和電磁混合使用可以加大磁懸浮球的平衡范圍，減小平衡點(diǎn)處通過電磁鐵線圈的電流，系統(tǒng)接近于零功耗。位移傳感器由紅外發(fā)射和接收對(duì)管構(gòu)成。環(huán)境紅外光傳感器由紅外接收管構(gòu)成，用于消除環(huán)境紅外光對(duì)于測量結(jié)果的影響。

永磁和電磁混合型磁懸浮球系統(tǒng)模型如圖2所示。

圖2 混合磁懸浮球系統(tǒng)模型Fig.2 Model of hybrid magnetic levitation ball system model

圖2(a)為t0時(shí)刻混合磁懸浮球系統(tǒng)的工作狀態(tài)。y10為電磁鐵的初始位置，y20為磁懸浮球的初始位置，y3為位移傳感器的安裝位置。圖2(b)為t0+Δt時(shí)刻混合磁懸浮球系統(tǒng)的工作狀態(tài)。用y1=y10+Δy1表示t0+Δt時(shí)刻電磁鐵的位移，y2=y20+Δy2表示t0+Δt時(shí)刻磁懸浮球相對(duì)于電磁鐵的相對(duì)位移，光電位移傳感器相對(duì)于電磁鐵的距離y3固定不變。

將磁懸浮球放于平衡點(diǎn)附近，當(dāng)磁懸浮球所受重力大于電磁鐵提供的磁力時(shí)，磁懸浮球向下運(yùn)動(dòng)，磁懸浮球遮擋光電位移傳感器面積減小，紅外接收管接收更多的來自紅外發(fā)射管的紅外光，其電壓信號(hào)輸出至控制電路，通過驅(qū)動(dòng)電路使電磁鐵線圈電流加大;反之，當(dāng)磁懸浮球所受重力小于電磁鐵提供的磁力時(shí)，磁懸浮球向上運(yùn)動(dòng)，磁懸浮球遮擋光電位移傳感器面積增大，紅外接收管接收較少的來自紅外發(fā)射管的紅外光，控制電路通過驅(qū)動(dòng)電路使電磁鐵線圈電流減小，且控制電路內(nèi)含微分電路，最終使磁懸浮球在平衡點(diǎn)附近懸浮。

磁懸浮球與電磁鐵之間氣隙中的磁場分布均勻時(shí)，磁懸浮球所受磁力［9］可表示為

式中:c為系數(shù);i為電磁鐵電流。改變電磁鐵電流i和磁懸浮球相對(duì)于電磁鐵的相對(duì)位移y2使磁懸浮球達(dá)到平衡，實(shí)測平衡點(diǎn)處電流i與電磁鐵的位移y2之比為常數(shù)，說明式(1)中的系數(shù)c為一常數(shù)。實(shí)測磁懸浮球所受磁力與電流和位移的關(guān)系如圖3所示。

圖3(a)為固定磁懸浮球位移y20=0.023 m時(shí)磁懸浮球所受磁力與電流的關(guān)系;圖3(b)為固定電磁鐵電流i=0.254 A時(shí)磁懸浮球所受磁力與磁懸浮球位移的關(guān)系。計(jì)算得到式(1)中的系數(shù)c=0.016。

圖3 磁力與位移和控制電流關(guān)系Fig.3 Relationship between magnetic force and displace or controlling current

根據(jù)牛頓第二定律得到

式中:m為磁懸浮球質(zhì)量;y為磁懸浮球的位移，其表達(dá)式為

當(dāng)電磁鐵相對(duì)于坐標(biāo)不動(dòng)時(shí)y1固定不變，式(2)變?yōu)?/p>

當(dāng)電磁鐵相對(duì)于坐標(biāo)運(yùn)動(dòng)時(shí)，y1隨時(shí)間變化，當(dāng)y1振動(dòng)頻率較高時(shí)，y2的頻率特性與y1的頻率特性近似相同，可以實(shí)現(xiàn)對(duì)外界振動(dòng)的測量［10］。

2 混合磁懸浮球系統(tǒng)仿真模型設(shè)計(jì)

為實(shí)現(xiàn)磁懸浮球穩(wěn)定，控制方法采用超前控制，設(shè)計(jì)比例、微分控制電路，磁懸浮球系統(tǒng)的控制電路如圖4所示。

圖4 磁懸浮球系統(tǒng)控制電路Fig.4 Control circuit of magnetic levitation ball system

圖4中，減法電路將磁懸浮位移傳感器的輸出信號(hào)與環(huán)境紅外光檢測電路的輸出信號(hào)相減，差值送入比例、微分控制電路，微分電路由RC電路構(gòu)成，通過電壓放大電路和驅(qū)動(dòng)電路實(shí)現(xiàn)對(duì)電磁鐵電流的控制。

混合磁懸浮球系統(tǒng)仿真模型如圖5所示。圖5上半部分表示磁懸浮球的動(dòng)力方程，下半部分為控制系統(tǒng)電流與位移變化的控制關(guān)系。選用的光電位移傳感器的電壓轉(zhuǎn)換靈敏度CI=3 kV/m。設(shè)u1為磁懸浮球位移傳感器的輸出電壓，u2為環(huán)境紅外傳感器的輸出電壓，減法電路輸出為

微分電路傳遞函數(shù)為

電壓放大電路放大系數(shù)k3=247.67，電流放大驅(qū)動(dòng)電路變換系數(shù)k4=1/30 000 s，實(shí)測磁力系數(shù)k5=0.04。由此實(shí)現(xiàn)控制電路輸出電流隨時(shí)間的變化量為

式中:k1為比例系數(shù)，k1=499.4;k2為微分系數(shù)，k2=7.5。

圖5 磁懸浮球系統(tǒng)仿真模型Fig.5 Simulation model of magnetic levitation ball system

3 混合磁懸浮球系統(tǒng)吸引子類型和產(chǎn)生條件

磁懸浮球混沌運(yùn)動(dòng)有兩種吸引子，即單吸引子和雙吸引子。零極點(diǎn)過小時(shí)混合磁懸浮球系統(tǒng)具有雙吸引子，系統(tǒng)處于混沌運(yùn)動(dòng)狀態(tài);加大零極點(diǎn)時(shí)系統(tǒng)具有單吸引子，系統(tǒng)的混沌特性減弱。

仿真數(shù)據(jù)為:y3=0.023 m;y20=0.025 5 m;CI=3 kV/m;k4=1/30 000 s;力系數(shù)為0.04。PD參數(shù)即零點(diǎn)Z0=－10，極點(diǎn)P0=－100時(shí)，磁懸浮球相軌跡如圖6(a)所示;PD參數(shù)即零點(diǎn)Z0=－20，極點(diǎn)P0=－200時(shí)，磁懸浮球相軌跡如圖6(b)所示。

由圖6可知，零、極點(diǎn)較小時(shí)為雙吸引子，零、極點(diǎn)較大時(shí)為單吸引子。實(shí)測的單、雙吸引子對(duì)應(yīng)的波形如圖7所示。

由圖7可知，雙吸引子時(shí)磁懸浮球隨時(shí)間變化波形的向上的峰值和向下的峰值均存在，說明其混沌特性較強(qiáng)，此時(shí)磁懸浮球的總波動(dòng)范圍較大;單吸引子時(shí)磁懸浮球隨時(shí)間變化波形的峰值基本出現(xiàn)在波形的下方，說明其混沌特性在減弱。

圖6 單、雙吸引子對(duì)應(yīng)的相軌跡Fig.6 Phase trajectory corresponding single and double attractor

圖7 單吸引子與雙吸引子對(duì)應(yīng)的磁懸浮球位移Fig.7 Displacement of magnetic levitation ball corresponding single and double attractor

4 混沌狀態(tài)向穩(wěn)定狀態(tài)的轉(zhuǎn)化過程和穩(wěn)定范圍及最佳平衡條件

只改變控制系統(tǒng)的PD參數(shù)，零、極點(diǎn)由小到大增加時(shí)，磁懸浮球的混沌特性逐漸減弱。零、極點(diǎn)由小到大變化時(shí)磁懸浮球相軌跡如圖8所示。

圖8(a)為雙吸引子情形，磁懸浮球處于混沌運(yùn)動(dòng)狀態(tài);圖8(b)為單吸引子情形，磁懸浮球的混沌運(yùn)動(dòng)特性在減弱;由圖8(c)可知，磁懸浮球由混沌運(yùn)動(dòng)狀態(tài)逐步演變成周期型的運(yùn)動(dòng)狀態(tài);由圖8(d)可知，磁懸浮球的周期運(yùn)動(dòng)狀態(tài)被打破，近似橢圓形的相軌跡運(yùn)動(dòng)范圍逐步在縮小，并向一個(gè)點(diǎn)收縮，磁懸浮球向非混沌的穩(wěn)定狀態(tài)過渡;圖8(e)和圖8(f)的相軌跡已經(jīng)逐步變成向一個(gè)點(diǎn)收斂的情形，磁懸浮球由最初的混沌運(yùn)動(dòng)狀態(tài)變成非混沌的穩(wěn)定運(yùn)動(dòng)狀態(tài)。

決定磁懸浮球穩(wěn)定的因素很多，包括位移傳感器的安裝位置、光電傳感器靈敏度、電壓增益、環(huán)境紅外光、電壓放大倍數(shù)、微分電路PD參數(shù)、電流放大倍數(shù)、電磁鐵電流與力的系數(shù)以及磁懸浮球初始位置等。為便于研究影響磁懸浮球穩(wěn)定的主要因素，以位移傳感器的安裝位置、微分電路PD參數(shù)和磁懸浮球初始位置為變化量而其他因素固定不變。圖9為磁懸浮球穩(wěn)定平衡的條件與位移傳感器的安裝位置、微分電路PD參數(shù)和磁懸浮球初始位置的關(guān)系。

圖9中，y20為磁懸浮球的初始位置，y3為位移傳感器的安裝位置。圖9中顯示的區(qū)域?yàn)榇艖腋∏蚍€(wěn)定平衡的區(qū)域。圖10為在不同PD參數(shù)下，磁懸浮球穩(wěn)定平衡的條件與位移傳感器的安裝位置和磁懸浮球初始位置的關(guān)系。

圖10中，y20和y3的含義與圖9相同。通過圖10可以方便地比較不同的PD參數(shù)、位移傳感器的安裝位置和磁懸浮球初始位置對(duì)磁懸浮球穩(wěn)定平衡的影響。

由圖10可知:1)零點(diǎn)Z0較小時(shí)對(duì)應(yīng)的穩(wěn)定區(qū)的位移傳感器的安裝位置y3上限較大，可獲得磁懸浮球較大的動(dòng)態(tài)范圍，應(yīng)取較小的Z0;2)零點(diǎn)Z0較小時(shí)，磁懸浮球平衡的初始位置y2范圍較小，為使磁懸浮球平衡的初始位置的范圍較寬，應(yīng)取較大的Z0。既要穩(wěn)定又要有大的動(dòng)態(tài)范圍，混合磁懸浮球系統(tǒng)的最優(yōu)參數(shù)為:Z0=－40;P0=－400;y3=－0.023 m;y20= －0.025 5 m。

圖8 不同PD參數(shù)對(duì)應(yīng)的相軌跡Fig.8 Phase trajectory corresponding different PD parameters

圖9 零點(diǎn)Z0、y20和y3對(duì)應(yīng)的三維穩(wěn)定區(qū)域Fig.9 Three-dimensional stability region corresponds to Z0，y20and y3

圖10 不同PD參數(shù)對(duì)應(yīng)的穩(wěn)定區(qū)域Fig.10 Stability regions corresponding to different PD parameters

5 外加干擾時(shí)磁懸浮球位移

為了驗(yàn)證混合磁懸浮球系統(tǒng)工作的穩(wěn)定狀況，外加干擾源使混合磁懸浮球系統(tǒng)處于振動(dòng)中。采用HEV－20型高能激振器作為干擾源，該激振器是一種電動(dòng)式變換器，可將電能轉(zhuǎn)換為機(jī)械能，對(duì)試件提供激振力。激振器最大允許激振力為20 N，最大振幅為±5 mm，頻率范圍為0～5000 Hz且連續(xù)可調(diào)。激振器置于磁懸浮球模型之上，激振器振動(dòng)引起磁懸浮球模型一起振動(dòng)。在激振頻率范圍0～5000 Hz內(nèi)磁懸浮球均能穩(wěn)定工作，其中振動(dòng)信號(hào)的振幅為1 mm，頻率為60 Hz。在系統(tǒng)最佳參數(shù)下，實(shí)測的磁懸浮球位移信號(hào)如圖11所示。

圖11 激振器為60 Hz時(shí)磁懸浮球的位移Fig.11 Displacement of magnetic levitation ball when vibration exciter frequency is 60 Hz

由圖11知，所設(shè)計(jì)的磁懸浮球系統(tǒng)遠(yuǎn)離混沌區(qū)，避免了混沌運(yùn)動(dòng)出現(xiàn)，實(shí)測數(shù)據(jù)表明系統(tǒng)的穩(wěn)定性良好。

6 結(jié)語

混合磁懸浮球系統(tǒng)混沌運(yùn)動(dòng)有兩種吸引子，零、極點(diǎn)過小時(shí)混合磁懸浮球系統(tǒng)具有雙吸引子，磁懸浮球雙向振動(dòng)劇烈，系統(tǒng)處于較強(qiáng)的混沌運(yùn)動(dòng)狀態(tài);加大零、極點(diǎn)時(shí)系統(tǒng)具有單吸引子，磁懸浮球只單向振動(dòng)劇烈，系統(tǒng)的混沌特性減弱;隨著零、極點(diǎn)逐漸增加，磁懸浮球由混沌運(yùn)動(dòng)狀態(tài)至穩(wěn)定狀態(tài)經(jīng)歷了雙吸引子、單吸引子、周期型相軌跡、橢圓形相軌跡，最后相軌跡收縮至一個(gè)點(diǎn)。零點(diǎn)Z0較小時(shí)對(duì)應(yīng)穩(wěn)定區(qū)的位移傳感器安裝位置y3上限較大，零點(diǎn)Z0較大時(shí)，磁懸浮球平衡的初始位置y2范圍較大。為避免磁懸浮球處于混沌運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，使磁懸浮球有較大的動(dòng)態(tài)范圍及能實(shí)現(xiàn)穩(wěn)定的磁懸浮球初始位置較寬，通過仿真獲得零、極點(diǎn)最優(yōu)設(shè)計(jì)值。仿真和實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，通過對(duì)磁懸浮球吸引子的研究可以了解混沌產(chǎn)生的初始區(qū)間，避開混沌區(qū)以實(shí)現(xiàn)磁懸浮球的穩(wěn)定運(yùn)動(dòng)，可作為磁懸浮球系統(tǒng)設(shè)計(jì)的重要參考。

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(編輯:于雙)

Attractors of hybrid magnetic levitation ball system and stability research

MA Feng-lian， JIANG Dong， ZHANG Xiang， YANG Jia-xiang
(College of Electrical＆ Electronic Engineering，Harbin University of Science and Technology，Harbin 150080，China)

In order to avoid magnetic levitation ball in the chaotic region，the model of permanent magnet and electromagnet hybrid magnetic levitation ball system was designed，the dynamic equation of magnetic levitation ball was deduced，and the magnetic levitation system simulation model was set up.The different attractors were obtained by changing the initial states.The simulation results show that the hybrid magnetic levitation ball system designed has single and double two types of attractors.The double attractors have stronger chaotic performance and the magnetic levitation ball has greater fluctuation around the equilibrium point.The attractor is gradually from double attractors to single attractor in magnetic levitation ball from chaotic station transition to non-chaotic state，the magnetic levitation ball becomes a cyclical nature of the motion state and it gradually evolves to a point of phase trajectories when the system presents a stable state.Simulation and test show that the chaos generated by the initial region can be understood by studying the magnetic levitation ball attractors，which provides a reference design basis to avoid the chaotic region and to achieve magnetic levitation ball stable movement.

magnetic levitation;initial state;dynamic equation;chaos state of motion;attractors

TM 571.6

A

1007－449X(2012)08－0011－06

2010－12－09

國家自然科學(xué)基金(50777014);高等學(xué)校博士學(xué)科點(diǎn)專項(xiàng)科研基金(20040214003)

馬鳳蓮(1981—)，女，博士研究生，講師，研究方向?yàn)檎駝?dòng)能量存儲(chǔ);

江 東(1960—)，男，博士，教授，研究方向?yàn)榇艖腋z振理論及電工理論新技術(shù);

張 翔(1988—)，男，碩士研究生，研究方向?yàn)榉蔷€性控制、魯棒控制、智能控制;

楊嘉祥(1938—)，男，教授，博士生導(dǎo)師，研究方向?yàn)楦唠妷杭半姽だ碚撔录夹g(shù)。

馬鳳蓮