應(yīng)用平行短路板法快速測(cè)量微波介質(zhì)材料的復(fù)介電常數(shù)

曹良足 曹達(dá)明

（1.景德鎮(zhèn)陶瓷學(xué)院機(jī)電學(xué)院，江西景德鎮(zhèn)333001；2.東南大學(xué)吳健雄學(xué)院，江蘇南京211100）

0 前言

微波介質(zhì)材料廣泛用于制作介質(zhì)諧振器、介質(zhì)濾波器、雙工器、介質(zhì)天線(xiàn)以及微波集成電路介質(zhì)基片等[1]。這些介質(zhì)器件的性能很大程度取決于微波介質(zhì)材料的介電參數(shù)，特別是介電損耗。微波介質(zhì)材料的參數(shù)的測(cè)量方法主要有以下幾種[2-3]：傳輸線(xiàn)法、空腔微擾法和諧振閉腔法、平行短路板法（又稱(chēng)截止開(kāi)腔法）。傳輸線(xiàn)反射法是將介質(zhì)試樣放入短路波導(dǎo)中，通過(guò)測(cè)量波導(dǎo)的輸入阻抗來(lái)計(jì)算試樣的介電特性參數(shù)。該方法的特點(diǎn)是測(cè)量范圍寬，設(shè)備簡(jiǎn)單。但樣品的尺寸精度要完全符合波導(dǎo)的內(nèi)壁尺寸?？涨晃_法是將桿狀樣品放入空腔中，應(yīng)用微擾理論推算出介質(zhì)材料的電磁特性。該方法適用于低介電常數(shù)（εr＜10）材料的測(cè)試[3]。諧振閉腔法是將圓柱形樣品置于同形狀的圓柱形閉腔中，用εr很低的材料作為支撐，根據(jù)諧振曲線(xiàn)的帶寬和頻率計(jì)算試樣的無(wú)載品質(zhì)因數(shù)。該方法是一種高精度測(cè)量介電損耗（tanδ）的方法，但該方法不能同時(shí)測(cè)量試樣的εr。平行短路板法是圓柱體介質(zhì)的兩端被上下平行金屬板短路，產(chǎn)生諧振現(xiàn)象，由諧振頻率和3dB帶寬計(jì)算出介質(zhì)的εr與tanδ，測(cè)量精度較高。但計(jì)算公式涉及貝塞爾函數(shù)的超越方程的求解，國(guó)內(nèi)外的文獻(xiàn)沒(méi)有給出具體的求解過(guò)程，困擾了很多科研人員。國(guó)內(nèi)測(cè)量微波介質(zhì)材料參數(shù)的方法主要是“開(kāi)式腔”法，即平行短路板法，80年代初由上海大學(xué)率先研制出KWDJ型開(kāi)放腔式微波介質(zhì)測(cè)量?jī)x[4]，隨后制定了國(guó)標(biāo)GB7265.2-87《固體電介質(zhì)微波復(fù)介電常數(shù)的測(cè)試方法-開(kāi)式腔法》。目前，國(guó)內(nèi)能準(zhǔn)確測(cè)量微波介質(zhì)材料參數(shù)的單位主要是少數(shù)高校，但測(cè)試任務(wù)繁忙，且測(cè)試費(fèi)用較高。本文采用平行短路板法測(cè)量微波介質(zhì)材料的復(fù)介電常數(shù)，主要討論TE011模的判斷方法，解決超越方程的求解問(wèn)題和表面電阻(Rs)的測(cè)定問(wèn)題。

1 測(cè)量原理

將介質(zhì)材料制成圓柱形樣品，置于兩塊上下平行金屬板之間，通過(guò)圓環(huán)與外電路耦合，如圖1所示[2]。

根據(jù)麥克斯韋方程組和邊界條件可以推導(dǎo)出TE011模滿(mǎn)足下列方程組[2]：

（1）～（3）式中λ0和λg分別為自由空間波長(zhǎng)和相波長(zhǎng)，εr和D分別為樣品的相對(duì)介電常數(shù)和直徑，u，v分別為與波數(shù)有關(guān)的變量，J0(u)和J1(u)分別為零階和一階第一類(lèi)貝塞爾函數(shù)，K0(v)和K1(v)分別為零階和一階第二類(lèi)變宗量貝塞爾函數(shù)。

由于是TE011模，λg=2L，L為樣品的高度。

要想得到εr，必須求解含貝塞爾函數(shù)的超越方程的（3）式。該方程用C語(yǔ)言編程，工作量很大。用Matlab求解，則較簡(jiǎn)單。而且該方程是多值函數(shù)，即一個(gè)v值對(duì)應(yīng)多個(gè)u值。圖2是用Matlab畫(huà)的圖。

已知v值，可以從圖2可讀出u值，但精度不高，可用Matlab編程精確求解。

介質(zhì)損耗角由下式計(jì)算[2]：

（4）式中Q0是諧振器的無(wú)載Q值（注：國(guó)標(biāo)當(dāng)作有載Q值），由諧振頻率f0，3dB帶寬△f，f0處插入損耗IL.計(jì)算[2]：

（4）式中RS是諧振器的表面電阻，計(jì)算公式[5]：

σr是金屬板的電導(dǎo)率與國(guó)際標(biāo)準(zhǔn)退火銅的電導(dǎo)率（在25℃時(shí)σ0=5.8×107S/m）之比。

σr一般采取已知介電損耗的介質(zhì)材料校準(zhǔn)得到，本文通過(guò)測(cè)量與TE011模相同頻率的TE013模諧振器的Q值得到[5]。

Q01和Q03分別為T(mén)E011模和TE013模諧振器的無(wú)載Q值。

tanδ和σr的計(jì)算均與含貝塞爾函數(shù)的F（u）、G（v）有關(guān)。F（u）、G（v）也可用Matlab畫(huà)出其相應(yīng)的波形，如圖3所示。

從上圖可知，F(xiàn)（u）、G（v）分別隨u、v的變化明顯，因此精確求解u和v的值非常重要。

2 實(shí)驗(yàn)過(guò)程

采用電子陶瓷工藝，分別制作了4種短圓柱狀介質(zhì)諧振器（簡(jiǎn)稱(chēng)ε20、ε38、ε74和ε88），它們分別由介電常數(shù)為20的(Mg,Ca)TiO3材料、介電常數(shù)為38的(Zr,Sn)TiO4材料、介電常數(shù)為74的BaO-TiO2-Sm2O3材料和介電常數(shù)為88的BaO-TiO2-Nd2O3材料制成的。

2.1 樣品尺寸

對(duì)TE011模的介質(zhì)諧振器，其尺寸必須滿(mǎn)足下式[5]：

u01是貝塞爾函數(shù)J0(u)零點(diǎn)的根，如圖4所示。

2.2 模式判定

將測(cè)試夾具（見(jiàn)圖5）接入矢量網(wǎng)絡(luò)分析儀（Agilent Analyzer E570B），調(diào)節(jié)耦合環(huán)的間距（水下方向），使諧振器與輸入輸出環(huán)弱耦合，諧振器的頻響曲線(xiàn)（S21）如圖6所示。

從圖中看出有很多諧振峰，根據(jù)文獻(xiàn)［5］，第二個(gè)峰是TE011模，還可以輕微升高測(cè)試夾具的上金屬板判斷，TE011?；静蛔兓?，第1個(gè)峰變化明顯，且往高頻方向漂移，不符合TE011模的特點(diǎn)。

表1 介質(zhì)諧振器的測(cè)試數(shù)據(jù)Tab.1 Measured data of dielectric resonators

2.3 Rs的測(cè)定

由于TE013模介質(zhì)諧振器的高度很高，加工比較困難，故只選擇了ε88一種諧振器來(lái)測(cè)定σr的值。用公式（12）計(jì)算得σr=0.2448。

2.4 測(cè)試數(shù)據(jù)與計(jì)算結(jié)果

測(cè)試數(shù)據(jù)如表1。中QL是直接從網(wǎng)絡(luò)分析讀出的諧振器的有載Q值，與無(wú)載Q值的區(qū)別在于公式（9）中有無(wú)分母（1-10-IL/20），有載Q值沒(méi)有分母（1-10-IL/20）。其實(shí)當(dāng)IL大于25dB時(shí)，兩者的差別很小。

下面討論表1中的數(shù)據(jù)處理問(wèn)題。表中v的值直接用公式（2），用Matllab語(yǔ)句：v=sqrt((pi*D*f0/300) ^2*((300/(2*f0*L))^2-1))，就能得到計(jì)算結(jié)果。關(guān)鍵是如何求u的值。最簡(jiǎn)單的辦法是將v的值代公式（3），再用語(yǔ)句：fplot(‘函數(shù)名’,［取值范圍］)，作出含u的曲線(xiàn)，如圖7所示為表中ε20的曲線(xiàn)。

曲線(xiàn)表明u有許多值，取第一個(gè)值（對(duì)應(yīng)TE011模），大約為3，如何得到精確值？只需用一條fzero指令，就能得到u的精確值，見(jiàn)表1。有了v和u的值，直接用Matllab寫(xiě)公式就能計(jì)算εr和tanδ，計(jì)算結(jié)果見(jiàn)表1。

實(shí)際上，可以一次性編程來(lái)計(jì)算εr和tanδ，由于篇幅太長(zhǎng)，本文未列出。

3 結(jié)論

（1）取樣品的尺寸D/L在1.9～2.3范圍，TE011易與其它模式分開(kāi)，頻響曲線(xiàn)中的第二個(gè)峰即為T(mén)E011模的諧振峰

（2）超越方程中的u值，通過(guò)Matlab的fplot和fzero指令能輕松得到精確解。

（3）金屬板的相對(duì)電導(dǎo)率σr通過(guò)測(cè)量與TE011模相同頻率的同種材料制成的TE013模的Q值，由公式（11）～（12）計(jì)算得到。

（4）該方法一次測(cè)量能計(jì)算得到微波介質(zhì)材料的相對(duì)介電常數(shù)和介電損耗，具有快速簡(jiǎn)單的特點(diǎn)。

1 FIEDZIUSZKO S J,HUNTER I C,et al.Dielectric materials, devices and circuits,IEEE Trans.on MTT,2002,50(3): 706～720

2陳嘉禾,卞建江.無(wú)機(jī)介質(zhì)材料的微波介電特性測(cè)量.電子元件與材料,Vol.26(2),2007,1～4

3倪爾瑚著.介質(zhì)諧振器的微波測(cè)量.北京:科學(xué)出版社,2006

4徐得名,李兆年.微波介質(zhì)測(cè)量?jī)x.儀器儀表學(xué)報(bào),1984,vol.5 (4):416～419

5 YOSHIO K,SHUZO T.Modes of a dielectric rod resonator short-circuited at both ends by parallel conducting plates.IEEE Trans.on MTT,1980,28(10):1077～1085