離心場(chǎng)中含旋轉(zhuǎn)梯度影響的彈性體動(dòng)力特性分析

劉占芳，顏世軍，馮曉偉

(重慶大學(xué) 資環(huán)學(xué)院工程力學(xué)系，重慶 400044)

離心場(chǎng)中含旋轉(zhuǎn)梯度影響的彈性體動(dòng)力特性分析

劉占芳，顏世軍，馮曉偉

(重慶大學(xué) 資環(huán)學(xué)院工程力學(xué)系，重慶 400044)

以含偶應(yīng)力的彈性理論為基礎(chǔ)，考慮小變形狀態(tài)下彈性體的平動(dòng)變形與旋轉(zhuǎn)梯度，推導(dǎo)并給出了離心環(huán)境中一般彈性體運(yùn)動(dòng)與變形耦合動(dòng)力學(xué)方程，以轉(zhuǎn)角為獨(dú)立變量，利用罰方法得到方程組的約束變分形式，構(gòu)造了8結(jié)點(diǎn)48自由度的實(shí)體等參元，建立了離心場(chǎng)中含旋轉(zhuǎn)梯度的一般彈性體動(dòng)力特性分析的有限元模型。對(duì)繞中軸線旋轉(zhuǎn)的懸臂梁進(jìn)行動(dòng)力特性分析，頻率隨轉(zhuǎn)速的關(guān)系表明離心力和科氏力降低了該梁的一階頻率，但科氏力導(dǎo)致了二階頻率的上升，旋轉(zhuǎn)梯度效應(yīng)提高了彈性體的靜力剛度，導(dǎo)致各階頻率出現(xiàn)剛化效應(yīng)。

旋轉(zhuǎn)梯度;剛?cè)狁詈?固有頻率;有限元分析

隨著現(xiàn)代機(jī)械系統(tǒng)中材料輕質(zhì)柔性化以及機(jī)構(gòu)的運(yùn)行速度加快和運(yùn)行精度要求的提高，柔性體運(yùn)動(dòng)與變形耦合動(dòng)力學(xué)問(wèn)題已成為當(dāng)前科學(xué)研究領(lǐng)域的重要課題。對(duì)柔性體大范圍運(yùn)動(dòng)與變形的耦合動(dòng)力行為研究始于20世紀(jì)60年代，經(jīng)過(guò)50多年的發(fā)展，國(guó)內(nèi)外學(xué)者［1－7］建立了比較成熟的剛?cè)狁詈蟿?dòng)力學(xué)模型，并對(duì)柔性結(jié)構(gòu)特別是板梁結(jié)構(gòu)的初應(yīng)力及幾何非線性下的動(dòng)力剛化效應(yīng)進(jìn)行了深入研究。然傳統(tǒng)柔性體運(yùn)動(dòng)與變形耦合動(dòng)力學(xué)模型基于經(jīng)典連續(xù)介質(zhì)力學(xué)，由于介質(zhì)均勻化假設(shè)，經(jīng)典連續(xù)介質(zhì)力學(xué)得出質(zhì)點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)只與該點(diǎn)的變形與材料特性有關(guān)，而忽略了旋轉(zhuǎn)梯度引起的偶應(yīng)力的影響。隨著連續(xù)介質(zhì)力學(xué)的發(fā)展，旋轉(zhuǎn)梯度引起的偶應(yīng)力理論［8－10］得到了廣泛的重視，相比經(jīng)典彈性體，考慮旋轉(zhuǎn)梯度效應(yīng)的彈性體擁有更多的材料參數(shù)，該理論考慮質(zhì)點(diǎn)間相互作用，得到了非對(duì)稱應(yīng)力張量，迄今已在彈性體應(yīng)力集中［11］、裂紋擴(kuò)展及微結(jié)構(gòu)［12－14］靜力分析中得到了廣泛應(yīng)用，并取得了豐碩的成果，但對(duì)考慮旋轉(zhuǎn)梯度的偶應(yīng)力彈性理論框架下的柔性體運(yùn)動(dòng)與變形耦合研究尚顯不足，該領(lǐng)域的研究對(duì)現(xiàn)代高新技術(shù)領(lǐng)域中具有強(qiáng)烈尺度效應(yīng)的微機(jī)電系統(tǒng)的發(fā)展具有重要意義。

考慮旋轉(zhuǎn)梯度的偶應(yīng)力彈性理論由于涉及到位移二階導(dǎo)數(shù)的求解，為有限元數(shù)值分析帶來(lái)了困難，構(gòu)造滿足C0型連續(xù)性要求的低階元以及直接構(gòu)造滿足C1型連續(xù)性要求的高階元是目前對(duì)偶應(yīng)力理論進(jìn)行數(shù)值求解的主要途徑。Wood［15］和 Herrmann［16］通過(guò)轉(zhuǎn)化求解變量，利用拉格朗日乘子法構(gòu)造了混合單元。肖其林等［17］將彈性力學(xué)中的約束變分原理推廣到偶應(yīng)力理論，并以罰函數(shù)的形式引入約束條件，提出了一種雜交/混合單元。黃若煜等［18］考慮到偶應(yīng)力理論與Mindlin板理論之間的對(duì)偶關(guān)系，構(gòu)造了以應(yīng)力函數(shù)為變量的單元。Soh等［19］借用薄板有限單元格式進(jìn)行組合疊加得到了一種滿足C1連續(xù)性要求的18結(jié)點(diǎn)平面三角形單元。王衛(wèi)東等［20］通過(guò)采用non－Sibsonian插值方法構(gòu)造了近似的位移場(chǎng)向量，發(fā)展了計(jì)算偶應(yīng)力理論的無(wú)網(wǎng)格法。

對(duì)含旋轉(zhuǎn)梯度影響的一般彈性體在離心場(chǎng)中的動(dòng)力學(xué)問(wèn)題，本文基于Mindlin偶應(yīng)力彈性理論，推導(dǎo)并給出了小變形狀態(tài)下一般彈性體運(yùn)動(dòng)與變形耦合動(dòng)力學(xué)方程，應(yīng)用約束變分原理，考慮轉(zhuǎn)角為獨(dú)立變量，構(gòu)造了8結(jié)點(diǎn)48自由度的六面體等參元，采用有限元方法分析了離心場(chǎng)中懸臂梁的離心軟化效應(yīng)以及科氏力的作用，考察了旋轉(zhuǎn)梯度效應(yīng)對(duì)離心場(chǎng)中彈性體動(dòng)力特性的影響。

1 離心場(chǎng)中一般彈性體的動(dòng)力學(xué)方程

圖1 離心場(chǎng)中彈性體的運(yùn)動(dòng)與變形Fig.1 Motion parameters and deformation of the elastic body in centrifugal field

考慮彈性體繞一固定旋轉(zhuǎn)軸做回轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)如圖1，e1'e2'e3'為固定坐標(biāo)系，e1e2e3為固結(jié)在彈性體中某一點(diǎn)的浮動(dòng)坐標(biāo)系，彈性體旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)形成慣性力，慣性力與彈性力的相互轉(zhuǎn)換導(dǎo)致彈性體的振動(dòng)，在小變形假設(shè)上彈性體內(nèi)任一點(diǎn)在固定坐標(biāo)系下的矢徑為：

其中：r'0為浮動(dòng)坐標(biāo)系原點(diǎn)在固定坐標(biāo)系下的矢徑，x0、u為彈性體中任意一點(diǎn)在浮動(dòng)坐標(biāo)系下的初始位置和變形。R為矢量從浮動(dòng)坐標(biāo)系到固定坐標(biāo)系下的轉(zhuǎn)換矩陣。在恒轉(zhuǎn)速離心場(chǎng)中，矢徑r'對(duì)時(shí)間的一階和二階導(dǎo)數(shù)可得彈性體上任意一點(diǎn)在固定坐標(biāo)系下的速度 v'和加速度a'為：

其中：ω'，ω分別為固定坐標(biāo)系和浮動(dòng)坐標(biāo)系描述的彈性體剛體轉(zhuǎn)動(dòng)角速度矢量。

在浮動(dòng)坐標(biāo)系下，對(duì)于彈性體中的任意一點(diǎn)，由連續(xù)介質(zhì)力學(xué)，動(dòng)量平衡方程為：

式中：t為彈性體上任意一點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的非對(duì)稱應(yīng)力，ρ為密度，f為體力，a為浮動(dòng)坐標(biāo)所描述的彈性體任意一點(diǎn)的加速度矢量。由式(3)可得彈性體上任意一點(diǎn)的加速度項(xiàng)在浮動(dòng)坐標(biāo)系下的矢量為：

式中：r0為浮動(dòng)坐標(biāo)描述的矢徑r'0。結(jié)合式(4)和式(5)可得浮動(dòng)坐標(biāo)系下彈性體內(nèi)微分形式的動(dòng)量守恒方程為：

為方便起見(jiàn)右端項(xiàng)計(jì)為廣義慣性力 Fg，則式(6)可寫(xiě)為：

在浮動(dòng)坐標(biāo)系下，基于連續(xù)介質(zhì)力學(xué)，彈性體中的任意一點(diǎn)的動(dòng)量矩平衡方程為：

其中：m為偶應(yīng)力張量，b為采用浮動(dòng)坐標(biāo)描述的體力偶向量，∈為置換張量。由非對(duì)稱應(yīng)力t可分解為對(duì)稱與反對(duì)稱應(yīng)力兩部分t=σ+τ，將其代入式(8)，并對(duì)式(8)兩邊同乘置換張量∈可得反對(duì)稱應(yīng)力τ為：

而對(duì)稱應(yīng)力張量與置換張量的雙點(diǎn)積為零，由式(9)求得反對(duì)稱應(yīng)力代入式(7)得動(dòng)量守恒方程的另一種形式：

其中：ε為應(yīng)變張量，λ為拉梅常數(shù)，μ為剪切模量，I為二階單位張量，η為描述偶應(yīng)力與曲率張量的關(guān)系系數(shù)，本文稱為旋轉(zhuǎn)模量，與材料內(nèi)秉長(zhǎng)度l和剪切模量有關(guān)η=μl2，對(duì)一般金屬材料，內(nèi)秉長(zhǎng)度為微米量級(jí)，其大小取決于材料的微結(jié)構(gòu)。

2 有限元離散

由虛功原理，式(10)和式(11)的變分形式寫(xiě)為：

應(yīng)用格林－高斯公式式(13)的變分形式修正為：

由于旋轉(zhuǎn)梯度為位移的二階導(dǎo)數(shù)，有限元法分析時(shí)要求單元結(jié)點(diǎn)位移滿足C1連續(xù)，為此考慮轉(zhuǎn)角φ為獨(dú)立變量，基于約束變分原理，令彈性體內(nèi)的旋轉(zhuǎn)矢量與宏觀轉(zhuǎn)角相等，則在單元內(nèi)滿足約束條件

采用線性Serendipity六面體單元對(duì)彈性體進(jìn)行離散，并令單元內(nèi)轉(zhuǎn)角分布的型函數(shù)與位移型函數(shù)一致，則單元內(nèi)任意點(diǎn)的位移向量de=［ueφe］T，ue=［uxuyuz］，φe=［φxφyφz］，由單元結(jié)點(diǎn)位移插值可得：

由曲率張量與偶應(yīng)力張量的非對(duì)稱性，令應(yīng)變和應(yīng)力向量及曲率張量和偶應(yīng)力向量分別為：

結(jié)合式(16)，單元內(nèi)應(yīng)變－曲率張量和單元結(jié)點(diǎn)位移－轉(zhuǎn)角的關(guān)系為：

D1為經(jīng)典的三維線彈性本構(gòu)矩陣，D2=4ηI9，I9為9×9的單位陣。

對(duì)廣義慣性力項(xiàng)，定義與轉(zhuǎn)角向量φ對(duì)應(yīng)的反對(duì)稱矩陣Ω，滿足Ω·v=ω×v，v為任意矢量，則式(15)的廣義慣性力項(xiàng)的矩陣形式為：

其中：Lu為經(jīng)典的應(yīng)變與位移關(guān)系矩陣，Lφ為旋轉(zhuǎn)梯度與轉(zhuǎn)角的關(guān)系矩陣。

對(duì)罰函數(shù)項(xiàng)，位移與轉(zhuǎn)角的關(guān)系可寫(xiě)為：

其中：Lα為罰函數(shù)項(xiàng)與位移和轉(zhuǎn)角關(guān)系矩陣。

3 離心場(chǎng)中懸臂梁動(dòng)力特性分析

采用構(gòu)造的六面體等參元對(duì)繞中軸線旋轉(zhuǎn)的懸臂梁進(jìn)行離散，應(yīng)用給出的有限元分析模型計(jì)算梁的動(dòng)力學(xué)特性，考察旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)與變形耦合的離心力和科氏力效應(yīng)，并分析旋轉(zhuǎn)梯度對(duì)離心場(chǎng)中懸臂梁動(dòng)力特性的影響。

圖2 懸臂梁幾何參數(shù)Fig.2 Geometries of the rotating cantilever beam

如圖2所示的繞中軸線旋轉(zhuǎn)的懸臂梁，左端固定，其材料參數(shù)參考文獻(xiàn)［10］，其中彈性模量 E=209 GPa，泊松比 v=0.31，旋轉(zhuǎn)模量 η =2.88 Pa·m2，密度ρ=7.8×103kg/m3。梁長(zhǎng)度為L(zhǎng)，梁高度H，梁寬度B。

圖3為L(zhǎng)=1 m，H=0.1 m，B=0.1 m時(shí)梁頻率隨轉(zhuǎn)速的變化關(guān)系，可以看出由旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)與變形耦合的離心力效應(yīng)導(dǎo)致了該梁的一階和二階頻率隨轉(zhuǎn)速的增加而減小，對(duì)結(jié)構(gòu)剛度具有軟化作用，而科氏力對(duì)一階和二階頻率的影響則截然不同，懸臂梁旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)與變形耦合的科氏力效應(yīng)導(dǎo)致該梁的一階頻率隨轉(zhuǎn)速的增加而降低，而二階頻率則隨轉(zhuǎn)速的增加而升高。由于該梁前兩階頻率所對(duì)應(yīng)的振動(dòng)為沿梁截面高度和寬度方向的彎曲振動(dòng)，二階頻率梁振動(dòng)產(chǎn)生的變形將激起一階頻率所對(duì)應(yīng)的振動(dòng)方向的正科氏力，即相當(dāng)于增加了附加慣性力阻礙該方向的振動(dòng)，從而降低該方向下的振動(dòng)頻率，相反一階頻率下所對(duì)應(yīng)的梁的振動(dòng)引起的變形將激起二階頻率所對(duì)應(yīng)的振動(dòng)方向上的負(fù)的科氏力，從而提高該方向下的振動(dòng)頻率。由此可知，科氏力效應(yīng)在振動(dòng)方程中雖然具有阻尼的形式，但是其與阻尼對(duì)振動(dòng)的貢獻(xiàn)并不相同。

圖3 懸臂梁固有頻率隨轉(zhuǎn)速的關(guān)系Fig.3 The natural frequency for the beam varying with the rotating speed

圖4為L(zhǎng)=0.5 mm，H=0.05 mm，B=0.05 mm時(shí)，考慮旋轉(zhuǎn)梯度效應(yīng)下的彈性理論與經(jīng)典彈性理論得到的無(wú)量綱頻率隨轉(zhuǎn)速的變化，其中無(wú)量綱頻率定義為離心場(chǎng)中考慮離心力和科氏力效應(yīng)的計(jì)算所得頻率與懸臂梁固有頻率之比，ω為懸臂梁轉(zhuǎn)速，f1、f2為懸臂梁的一階與二階固有頻率。結(jié)果表明旋轉(zhuǎn)梯度效應(yīng)總體上提高了該梁在不同轉(zhuǎn)速的離心環(huán)境下的共振頻率，從而提高了旋轉(zhuǎn)系統(tǒng)的臨界轉(zhuǎn)速。由于Mindlin偶應(yīng)力理論忽略了介質(zhì)中的微轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，旋轉(zhuǎn)梯度產(chǎn)生的偶應(yīng)力只提高了彈性體的靜力剛度，考慮旋轉(zhuǎn)梯度影響的彈性理論計(jì)算所得頻率與轉(zhuǎn)速的關(guān)系相比于經(jīng)典的彈性理論的計(jì)算結(jié)果具有一致性。

圖6 兩種內(nèi)尺度下一階固有頻率隨截面高度的變化Fig.6 The first natural frequency of the beam varying with the depth of section for the inner scale

對(duì)圖2所示懸臂梁模型，在梁旋轉(zhuǎn)頻率與經(jīng)典彈性理論所得固有頻率之比為0.05的離心環(huán)境下，圖5和圖6分別考察了旋轉(zhuǎn)模量以及尺寸效應(yīng)對(duì)梁頻率的影響。圖5給出了不同彈性模量與旋轉(zhuǎn)模量比E/η下梁的無(wú)量綱頻率，其中無(wú)量綱頻率定義為離心場(chǎng)中含旋轉(zhuǎn)梯度影響的彈性理論計(jì)算所得頻率與經(jīng)典彈性理論所得固有頻率之比，可知考慮離心力和科氏力效應(yīng)的一階與二階頻率與該梁固有頻率隨旋轉(zhuǎn)模量的變化趨勢(shì)一致，旋轉(zhuǎn)梯度效應(yīng)只提高彈性體的靜力剛度，當(dāng)E/η小于107時(shí)，旋轉(zhuǎn)梯度效應(yīng)對(duì)頻率的影響已有所體現(xiàn)，隨著比值的減小影響愈發(fā)明顯。圖6為兩種內(nèi)秉長(zhǎng)度下離心場(chǎng)中考慮旋轉(zhuǎn)梯度效應(yīng)的一階無(wú)量綱頻率隨梁截面尺寸的變化，可見(jiàn)隨著梁高度減小至30 μm時(shí)，相對(duì)于經(jīng)典彈性理論解，旋轉(zhuǎn)梯度效應(yīng)明顯提高該梁的振動(dòng)頻率，材料內(nèi)秉長(zhǎng)度越大，這種影響愈明顯。

4 結(jié)論

基于Mindlin偶應(yīng)力彈性理論，推導(dǎo)并建立了離心場(chǎng)中計(jì)旋轉(zhuǎn)梯度的一般彈性體運(yùn)動(dòng)與變形耦合動(dòng)力學(xué)分析方程，以約束變分原理為基礎(chǔ)，考慮轉(zhuǎn)角為獨(dú)立變量，使用罰函數(shù)方法引入約束條件，構(gòu)造了8結(jié)點(diǎn)48自由度的滿足C0連續(xù)性要求的六面體等參元，給出了計(jì)旋轉(zhuǎn)梯度影響的一般彈性體運(yùn)動(dòng)與變形耦合的有限元方程。對(duì)繞中軸線旋轉(zhuǎn)的懸臂梁的動(dòng)力特性分析表明，離心力體現(xiàn)為降低彈性體的總體剛度，對(duì)結(jié)構(gòu)起軟化作用，科氏力效應(yīng)在有限元分析模型中雖然具有阻尼的形式，但是對(duì)結(jié)構(gòu)動(dòng)力特性的貢獻(xiàn)則有別于結(jié)構(gòu)阻尼，導(dǎo)致了懸臂梁一階頻率的降低，但提高了二階頻率。旋轉(zhuǎn)梯度是彈性體發(fā)生變形時(shí)的必然結(jié)果，對(duì)于宏觀上的一般金屬材料，描述偶應(yīng)力與旋轉(zhuǎn)梯度的旋轉(zhuǎn)模量很小，旋轉(zhuǎn)梯度引起的偶應(yīng)力對(duì)彈性體總體力學(xué)性能影響可以忽略，但對(duì)特征尺寸接近材料內(nèi)秉長(zhǎng)度的微結(jié)構(gòu)，由于旋轉(zhuǎn)場(chǎng)較位移場(chǎng)數(shù)值上高出數(shù)個(gè)量級(jí)，旋轉(zhuǎn)梯度效應(yīng)將總體提高該彈性體的靜力剛度，導(dǎo)致固有頻率的上升，進(jìn)而影響離心場(chǎng)中彈性體的動(dòng)力特性。

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Dynamic analysis of elasitc body with rotation gradient effects in centrifugal field

LIU Zhan－fang，YAN Shi－jun，F(xiàn)ENG Xiao－wei

(College of Resource and Environmental Sciences，Chongqing University，Chongqing 400044，China)

The flexible body in a centrifugal field was analyzed dynamically，considering the rotation gradient effects.Based on the couple－stress theory，the kinetic equations were derived.A hexahedron solid isoparametric element was constructed，with the rotating angle as an independent variable，and the finite element model was established using the constrained variation principle.Dynamic characteristics of a cantilever beam revolving around the neutral axis were investigated.The relations between the natural frequencies and rotating speed were exploed，which describe that centrifugal and coriolis forces lead the first natural frequency to decrease，however the coriolis force results in the increase of second natural frequency.The stiffness of the flexible body is increased，as a result of the rotation gradient effects in microstructure field，and the resonant frequency is raised，comparing with the classic elasticity results.

rotation gradient;rigid－flexible coupling;resonant frequency;finite element analysis

O313.7

A

國(guó)家自然科學(xué)基金(11072276);重慶市科技攻關(guān)計(jì)劃項(xiàng)目(CSTC2008AC3105)

2011－03－17 修改稿收到日期：2011－06－08

劉占芳 男，博士，教授，1963年生

顏世軍 男，博士，1983年生