基于Preisach理論的形狀記憶合金溫度－位移遲滯仿真研究

劉旺中，陳照波，侯守武，沈那偉，焦映厚

(哈爾濱工業(yè)大學(xué) 機(jī)電工程學(xué)院，哈爾濱 150001)

基于Preisach理論的形狀記憶合金溫度－位移遲滯仿真研究

劉旺中，陳照波，侯守武，沈那偉，焦映厚

(哈爾濱工業(yè)大學(xué) 機(jī)電工程學(xué)院，哈爾濱 150001)

智能材料如形狀記憶合金(Shape Memory Alloy，SMA)已經(jīng)廣泛應(yīng)用于驅(qū)動(dòng)器和傳感器的設(shè)計(jì)，實(shí)現(xiàn)定位和主動(dòng)控制目的。然而，受遲滯影響，SMA驅(qū)動(dòng)器的工作精度大大降低，限制了其應(yīng)用。多數(shù)智能材料中，選擇Preisach理論成為遲滯建模工具，近年來，也涉及到SMA材料系統(tǒng)。討論運(yùn)用Preisach模型描述SMA驅(qū)動(dòng)器系統(tǒng)的遲滯行為，尤其針對驅(qū)動(dòng)器系統(tǒng)的模型建立過程，修正經(jīng)典Preisach模型的幾何解釋和數(shù)值實(shí)現(xiàn)方法。最后，引入Gobert給出的Preisach平面的辨識(shí)函數(shù)執(zhí)行仿真計(jì)算，數(shù)值結(jié)果表明該模型能夠很好地描述SMA驅(qū)動(dòng)器的遲滯行為。

形狀記憶合金;Preisach理論;遲滯;驅(qū)動(dòng)器;參數(shù)辨識(shí);Matlab程序;數(shù)值試驗(yàn)

遲滯現(xiàn)象常見于許多科學(xué)領(lǐng)域，如物理材料中的磁性材料，壓電陶瓷和形狀記憶合金等［1－2］。遲滯系統(tǒng)為典型的非線性系統(tǒng)，實(shí)際應(yīng)用中，由智能材料形成的驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)，需要消除這類非線性，它的存在不僅降低系統(tǒng)的控制精度，還會(huì)產(chǎn)生與輸入信號幅度相關(guān)的相位移和諧波失真，從而削弱閉環(huán)系統(tǒng)中的反饋?zhàn)饔?，甚至造成系統(tǒng)的不穩(wěn)定，因此完成遲滯非線性的建模十分重要［3］。

如圖1所示，一個(gè)簡單的遲滯結(jié)構(gòu)可表示為簡單的遲滯系統(tǒng)轉(zhuǎn)換器X(t)、系統(tǒng)的輸入信號u(t)及轉(zhuǎn)換器的狀態(tài)即輸出信號x(t)的組合形式，假設(shè)遲滯函數(shù)是瞬時(shí)的，附加的動(dòng)力學(xué)在x(t)和u(t)之間單獨(dú)建立［4］。本文u(t)視為SMA絲驅(qū)動(dòng)器的溫度，溫度的變化引起SMA材料的晶格相變，加熱和冷卻兩個(gè)階段，材料參數(shù)和狀態(tài)變化不發(fā)生重疊，即具有遲滯效應(yīng)，類似于圖2中的曲線變化軌跡。這類遲滯轉(zhuǎn)換器的輸入－輸出關(guān)系具有多分支非線性特性，分支結(jié)構(gòu)的轉(zhuǎn)換點(diǎn)發(fā)生在輸入極值點(diǎn)處，遲滯狀態(tài)的變化不僅受制于系統(tǒng)的輸入－輸出的瞬態(tài)值，而且還與系統(tǒng)輸入的歷史值有關(guān)［5］。

圖1 遲滯系統(tǒng)的組成圖Fig.1 Schematic representation of hysteretic systems

見圖2，遲滯系統(tǒng)的特征表現(xiàn)為相同的輸入可能會(huì)得到不同的輸出，同樣，相同輸出也可由不同輸入決定，輸入－輸出表現(xiàn)為多映射關(guān)系。O點(diǎn)為初始時(shí)刻的輸入點(diǎn)值，對應(yīng)輸出為0，假設(shè)第一次輸入到達(dá)t1時(shí)刻的A點(diǎn)，滿足實(shí)際驅(qū)動(dòng)器的輸出飽和值，曲線OA形成系統(tǒng)的邊界區(qū)域，稱作遲滯曲線的主環(huán);終點(diǎn)tn時(shí)刻的B點(diǎn)處于次環(huán)位置，同樣輸入u(tn)映射了系統(tǒng)的多值輸出［6］。

圖2 多個(gè)－分支非線性的遲滯例子，遲滯分支也被稱為轉(zhuǎn)換曲線Fig.2 An example of hysteresis multi－branching nonlinearity.Hysteresis branches are also called transition curves

依據(jù)描述遲滯效應(yīng)不同的角度，系統(tǒng)模型可粗略劃分為基于物理機(jī)理和唯象型，前者典型例子如廣泛用于鐵磁材料的Jiles－Atherton模型［7］，認(rèn)為遲滯源于材料缺陷位置疇壁之間的相互牽制作用;后者如用于磁性材料遲滯描述的Preisach理論，模型具有較強(qiáng)的數(shù)學(xué)泛化能力，經(jīng)典Preisach模型常用于描述率無關(guān)遲滯行為［8］;修正經(jīng)典模型，考慮動(dòng)力學(xué)行為的影響，描述更高階遲滯，如 Moving Preisach 模型［9］、Generalized Preisach 廣義模型［10］和動(dòng)力學(xué)遲滯模型［11］。鑒于 Preisach理論的廣泛應(yīng)用和所表現(xiàn)出來的局部記憶性和次環(huán)全等性兩個(gè)重要特性，探討用于SMA絲驅(qū)動(dòng)器的遲滯建模的原理和實(shí)現(xiàn)過程，為后續(xù)嵌入SMA絲驅(qū)動(dòng)的應(yīng)用系統(tǒng)分析和設(shè)計(jì)打下基礎(chǔ)。

1 遲滯轉(zhuǎn)換器的數(shù)學(xué)模型

1.1 Preisach模型

Preisach理論中，最基本的假設(shè)是將系統(tǒng)看作一組連續(xù)雙穩(wěn)態(tài)遲滯單元γαβ的權(quán)重并聯(lián)總和，如圖3所示。給定隨時(shí)間變化的輸入，影響所有遲滯單元的輸出狀態(tài)，輸出值和μ(α，β)乘積之和提供系統(tǒng)的輸出，μ(α，β)為 γαβ的權(quán)重系數(shù)［12］。

式中：權(quán)重函數(shù)μ(α，β)定義為Preisach分布函數(shù)，形成的函數(shù)集合 μ(αi，βi)描述了遲滯單元(αi，βi)對系統(tǒng)輸出的貢獻(xiàn)量。

為所有基本遲滯單元施加相同輸入值u(t)，單元輸出與權(quán)重函數(shù)μ(α，β)乘積，即等價(jià)于區(qū)域內(nèi)的雙重積分得到系統(tǒng)輸出。

1.2 Preisach模型的幾何說明

圖4中的平面S上每一點(diǎn)(αi，βi)有一特別的基本遲滯算子 γαiβi，表明遲滯單元 γαβ與(α，β)點(diǎn)之間的一一對應(yīng)關(guān)系。平面 S稱為Preisach平面，γαβ記為Preisach單元，多數(shù)研究將遲滯單元表示成輸入－輸出的矩形環(huán)形式，雙穩(wěn)態(tài)參數(shù)分別記為數(shù)值量“+1”和“－1”，S 平面外，γαβ值均為“0”，則單元的輸出狀態(tài)也為零;輸出狀態(tài)量由系統(tǒng)輸入控制，單元符號α和β表示輸入值的“上”和“下”。變化的輸入極值點(diǎn)形成的折線L(t)將三角區(qū)域平面S劃分成S+和S－，分別包含不同狀態(tài)的離散遲滯單元點(diǎn)及對應(yīng)的權(quán)重函數(shù)值;這個(gè)三角圖形S平面的頂點(diǎn)坐標(biāo)，表示輸入u(t)的最大值。

2 SMA絲驅(qū)動(dòng)器的溫度－位移遲滯

2.1 模型建立

考慮SMA絲驅(qū)動(dòng)器中的遲滯曲線的形成，為簡單起見，將SMA驅(qū)動(dòng)器所需驅(qū)動(dòng)源的溫度量作為系統(tǒng)輸入u(t)，x(t)為輸出位移，當(dāng)溫度值為零時(shí)，系統(tǒng)輸出也為零;值得注意的是，SMA實(shí)際溫度值不為零，表現(xiàn)為自然環(huán)境的溫度值T∞，溫度值為零的狀態(tài)標(biāo)記無外界能量輸入的起始點(diǎn)。如圖5(a)，隨著輸入單調(diào)增加到α1值，激活部分遲滯算子，開關(guān)值α小于α1的單元輸出狀態(tài)顯示為“+1”;幾何意義上，形成狀態(tài)不同的區(qū)域集合，將三角平面S劃分成兩個(gè)區(qū)域：S+由點(diǎn)(α，β)構(gòu)成，對應(yīng)單元輸出值為+1和區(qū)域S－，遲滯單元由狀態(tài)輸出值“－1”的集合構(gòu)成。兩區(qū)域之間的界面為α=u(t)+β直線，由圖4中的符號L(t)表示，運(yùn)動(dòng)方向朝上，直至α1到達(dá)最大值時(shí)，運(yùn)動(dòng)停止。

如圖5(b)，輸入值從α1單調(diào)下降到某個(gè)值β1，所有在集合S+(t)帶有β開關(guān)值大于β1的遲滯算子轉(zhuǎn)換為“－1”值，進(jìn)入S+區(qū)域，S+和S－兩個(gè)區(qū)域之間由兩個(gè)分界線連接。隨著溫度從α1到β1單調(diào)減少，形成界面處的斜線形式為β=u(t)－α。當(dāng)輸入達(dá)到β1的最小值，斜線運(yùn)動(dòng)終止;圖5(c)，記錄下一步的兩組輸入變化值。由圖5給出的Preisach理論的幾何解釋表明Preisach平面上陰影和空白部分面積所構(gòu)成的集合值反映了系統(tǒng)輸入信息變化。

圖5 基于Preisach理論的SMA遲滯的幾何表示Fig.5 Geometrical interpretation of the SMA hysteresis based on Preisach theory

從上述分析可知，對應(yīng)增加和減少輸入兩類情形，得到以下結(jié)論：任意瞬時(shí)，三角區(qū)域S被分割成兩組：S+(t)和S－(t)，分別包含不同狀態(tài)值“+1”和“－1”的遲滯算子單元;連接S+(t)和S－(t)區(qū)域的是一條規(guī)則階梯線，記錄不同的α和β坐標(biāo)，坐標(biāo)點(diǎn)值包含著歷史輸入中的局部最大值和最小值的瞬時(shí)信息。

因此，任意瞬時(shí)，利用區(qū)域S+和S－的定義，輸出方程(1)的積分式可寫成：

其中：任意(α，β)∈S－(t)，γαβ［u(t)］= －1 和對于任意(α，β)∈S+(t)，γαβ［u(t)］=+1，S=S++S－。

式(2)表明Preisach模型的輸出大小與三角區(qū)域S的劃分動(dòng)態(tài)相關(guān)，函數(shù)L(t)定義了實(shí)時(shí)更新的界面信息，記錄歷史輸入的極限值［13］。

2.2 數(shù)值實(shí)現(xiàn)

經(jīng)典的Preisach模型直接用于SMA絲驅(qū)動(dòng)器遲滯的表達(dá)，會(huì)遇到很多困難。首先，估計(jì)式(1)和式(2)中的雙重積分;其次，決定Preisach平面的遲滯算子γαβ數(shù)量和獲得相應(yīng)的Preisach分布函數(shù)μ(α，β)等;這些問題導(dǎo)致模型的執(zhí)行程序和處理過程不但消耗計(jì)算資源，不符合實(shí)時(shí)控制要求，且?guī)磔^大的累積誤差，其中，權(quán)系數(shù)的辨識(shí)函數(shù)的要求也更加苛刻。文獻(xiàn)［14］表明，直接處理經(jīng)典的Preisach理論模型的數(shù)學(xué)公式，以參數(shù)辨識(shí)方法找到等價(jià)函數(shù)形式，可有效解決上述問題，且由于減少求導(dǎo)獲取權(quán)函數(shù)的環(huán)節(jié)，不僅可以減少數(shù)值計(jì)算誤差，且簡化了Preisach模型的處理。

按照文獻(xiàn)［15］的遲滯模型辨識(shí)方法，求解等價(jià)函數(shù)的基本思路為，定義等價(jià)函數(shù)：

其中：xα1是從負(fù)飽和值單調(diào)上升到當(dāng)前值α1時(shí)的系統(tǒng)輸出，xα1β1是從 α1值減少至 β1(β1＜ α1)時(shí)的系統(tǒng)輸出。遲滯環(huán)中，定義上述形式的一次單調(diào)升降的曲線為一階轉(zhuǎn)換曲線(First Order Descending Curves，F(xiàn)OD)，根據(jù)SMA絲驅(qū)動(dòng)器的輸入－輸出量設(shè)計(jì)，曲線形成過程如下：輸入溫度是從零單調(diào)增加至設(shè)定值α1，然后減少至某個(gè)大于零的值β1;“一階”隱含單個(gè)曲線成形于系統(tǒng)輸入的一次反向的特點(diǎn)，等價(jià)函數(shù)則定義為這組曲線的輸出增量。

事實(shí)上，如圖6所示，區(qū)域S(α1，β1)的積分等于當(dāng)前值α1和β1的遲滯輸出的差值。

圖6 Preisach理論數(shù)值與遲滯曲線的對應(yīng)關(guān)系Fig.6 The relations between hysteresis and Presiach theoretical value

將集合S+(t)劃分成n(t)個(gè)梯形點(diǎn)Tk，顯然，結(jié)果由式(5)的數(shù)學(xué)表達(dá)式計(jì)算，n(t)表示梯形點(diǎn)數(shù)量，以時(shí)間的函數(shù)的形式記錄著動(dòng)態(tài)變化的極值點(diǎn)集合的更新，如圖5中所示。

每個(gè)梯形點(diǎn)Tk可表示為兩個(gè)三角S(Mk，mk－1)和S(Mk，mk)的差值，其中Mk和mk表示輸入歷史的最大和最小值點(diǎn)，因此，

聯(lián)立上述表達(dá)式，離散的等價(jià)函數(shù)所表示的遲滯非線性的輸出x(t)為：

需要注意的是，傳統(tǒng)的Preisach模型關(guān)于原點(diǎn)對稱，但在SMA絲輸入溫度是高于環(huán)境溫度，為正值，與磁性材料不同，不滿足原點(diǎn)對稱性質(zhì)，需要引入一個(gè)偏置項(xiàng)，滿足當(dāng)系統(tǒng)輸入處于負(fù)飽和值時(shí)，系統(tǒng)輸出為零。

式中：xsat+和xsat－分別表示輸出的極限飽和值，umax和umin分別對應(yīng)最大和最小的輸入值。

3 仿真試驗(yàn)

3.1 SMA遲滯模型

根據(jù)已有研究，所給出的SMA絲驅(qū)動(dòng)器各變量之間的作用關(guān)系如圖7所示，相變機(jī)制引起的馬氏體相變，導(dǎo)致SMA材料復(fù)雜的熱力學(xué)行為［16］。定義馬氏體體積分?jǐn)?shù)(ξ)為內(nèi)部狀態(tài)變量，為外部應(yīng)力和溫度的作用函數(shù)，正逆相變過程中，體積分?jǐn)?shù)的變化函數(shù)不同，導(dǎo)致材料的參數(shù)變量之間的路徑差異，即遲滯現(xiàn)象，定義溫度與驅(qū)動(dòng)器位移輸出之間的遲滯關(guān)系，即是下一節(jié)的研究重點(diǎn)，間接反映了SMA驅(qū)動(dòng)器的輸入電流與應(yīng)變的關(guān)系。

圖7 SMA參數(shù)遲滯示意圖Fig.7 Schematic view of hysteresis among SMA variables

3.2 等價(jià)函數(shù)辨識(shí)

文獻(xiàn)［17］提出了從試驗(yàn)數(shù)據(jù)決定Preisach權(quán)重表面函數(shù)的辨識(shí)技術(shù)。首先，測試得到SMA絲驅(qū)動(dòng)器的輸入輸出數(shù)據(jù)點(diǎn)集，生成一系列“FOD”曲線;根據(jù)SMA絲驅(qū)動(dòng)器的遲滯曲線的主、次環(huán)形式，定義辨識(shí)函數(shù)的參數(shù)形式。由一系列數(shù)據(jù)溫度點(diǎn)，得到的穩(wěn)態(tài)位移輸出數(shù)據(jù)，形成FOD數(shù)據(jù)組，通常，所得到的FOD曲線為三維形式，則擬合函數(shù)也需滿足三維形式。根據(jù)上一節(jié)的討論，省略權(quán)重函數(shù)的辨識(shí)環(huán)節(jié)，直接將Preisach平面分布函數(shù)結(jié)果，代入遞推式(10)得到遲滯系統(tǒng)的輸出。

根據(jù)經(jīng)驗(yàn)，指數(shù)類型函數(shù)可用于FOD曲線的擬合，文獻(xiàn)［18］給出用于表示SMA的主遲滯曲線的指數(shù)函數(shù);文獻(xiàn)［19］引用同樣形式的函數(shù)得到次遲滯環(huán)行為，并取得了很好的匹配效果。Gobert從耗散理論及穩(wěn)定性角度討論SMA驅(qū)動(dòng)器的遲滯建模及其控制，且基于試驗(yàn)數(shù)據(jù)得到多種類型驅(qū)動(dòng)方式下的SMA絲驅(qū)動(dòng)中的Preisach平面函數(shù)，較好地描述SMA絲驅(qū)動(dòng)器的非線性遲滯行為，本文引用其中的函數(shù)定義式(11)，相關(guān)變量和數(shù)字定義見文獻(xiàn)［20］。

等價(jià)函數(shù)是辨識(shí)過程的結(jié)果，對所需建模的系統(tǒng)執(zhí)行測試試驗(yàn)，收集辨識(shí)數(shù)據(jù)。根據(jù)SMA絲熱驅(qū)動(dòng)的特點(diǎn)，變化的溫度作為輸入，按照頻率要求，可動(dòng)態(tài)測試驅(qū)動(dòng)器的穩(wěn)態(tài)位移輸出。設(shè)計(jì)以下的輸入溫度序列：

基于溫度的SMA驅(qū)動(dòng)器，可以選擇任意的輸入?yún)⒖贾担绛h(huán)境溫度。Preisach平面的“零”表示對應(yīng)這個(gè)參考的輸入值，Preisach溫度輸入為T－T∞。由測試數(shù)據(jù)形成的FOD曲線，如圖8所示，數(shù)據(jù)曲線的多少由輸入溫度點(diǎn)的設(shè)置最大數(shù)決定，由一系列FOD曲線，可以得到遲滯系統(tǒng)數(shù)值實(shí)現(xiàn)的等價(jià)函數(shù)F(α，β)。

圖8 SMA遲滯建模的辨識(shí)函數(shù)解釋Fig.8 Explanation of identified functions for SMA hysteresis

圖9 Preisach平面擬合曲面Fig.9 Preisach plane surface fitting

由圖8的FOD曲線形成辨識(shí)的離散數(shù)據(jù)點(diǎn)集，在溫度序列各點(diǎn)形成的穩(wěn)態(tài)位移輸出，構(gòu)成三維數(shù)據(jù)點(diǎn)，文獻(xiàn)中根據(jù)這個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)辨識(shí)得到圖9的等價(jià)函數(shù)曲面形式。

3.3 遲滯仿真

根據(jù)FOD數(shù)據(jù)測試試驗(yàn)和辨識(shí)方法得到的等價(jià)函數(shù)，編制Matlab環(huán)境中程序，建立SMA絲驅(qū)動(dòng)器的溫度－位移的遲滯模型如圖10所示。觀察形式如圖10(a)的衰減正弦信號作用下，驅(qū)動(dòng)器的遲滯表現(xiàn)能力，從圖10(b)可以看出，Preisach理論能夠表現(xiàn)系統(tǒng)的遲滯關(guān)系，并且充分體現(xiàn)次遲滯環(huán)的作用，在建模過程中，省去權(quán)重函數(shù)的辨識(shí)過程，直接利用等價(jià)函數(shù)，按數(shù)值遞推公式(9)構(gòu)建的遲滯框架是有效的，且引入式(10)中的偏置項(xiàng)，能夠很好解決經(jīng)典Preisach理論開發(fā)的應(yīng)用于磁性材料的對稱特性，SMA絲驅(qū)動(dòng)器驅(qū)動(dòng)輸入都為正值，且輸入起始點(diǎn)溫度值為T∞以上。

圖10 基于Preisach理論的遲滯模型Fig.10 Preisach－based hysteresis model

4 結(jié)論

Preisach理論是一種針對遲滯特性的通用數(shù)學(xué)工具，本文利用該算子建立了形狀記憶合金作動(dòng)器輸入溫度與輸出位移關(guān)系模型。討論了模型實(shí)現(xiàn)方法和建模過程，給出了模型的離散遞推方法，避免了傳統(tǒng)Preisach模型中先求解權(quán)系數(shù)，以及最后求和計(jì)算中的雙積分式，使得計(jì)算簡化，便于實(shí)際應(yīng)用中的實(shí)時(shí)控制。最后采用Robert給出的Preisach平面辨識(shí)函數(shù)，即等價(jià)函數(shù)形式，利用Matlab軟件編制遲滯模型程序，表明Preisach模型能較好地模擬記憶合金驅(qū)動(dòng)器的遲滯特性，且說明了次環(huán)的作用。

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Simulation on modeling of temperature-displacement hysteresis in SMA based on Preisach theory

LIU Wang-zhong，CHEN Zhao-bo，HOU Shou-wu，SHEN Na-wei，JIAO Ying-hou
(School of Mechatronics Engineering，Harbin Institute of Technology，Harbin 150001，China)

Smart materials such as shape memory alloys(SMA)are being widely used as actuators and sensors to achieve positioning and active control purposes.However，a major limitation of SMA actuators is their lack of accuracy due to hysteresis.The Preisach theory has emerged as a modeling tool for many smart materials and has recently been applied to the modeling of SMA material systems.The adaptation of the Preisach model to describe the hysteresis behavior of SMA actuator system was discussed and a modified geometric interpretation and numerical implementation method for the classical Preisach model were presented，especially for the hysteresis modeling of SMA actuator system.Finally，one of the assumed functions in Presiach planes given by Gobert was introduced to implement the simulation.Numerical results show that the model can better describe the hysteresis in SMA.

shape memory alloy;Preisach theory;hysteresis;actuator;parameter identification;Matlab code;numerical realization

TH39

A

國家自然科學(xué)基金項(xiàng)目(10972065)

2011－01－28 修改稿收到日期：2011－08－03

劉旺中 男，博士，1982年4月生