動中找定 巧妙解題

●馮菊英 (金壇市第一中學(xué) 江蘇常州 213200)

動中找定 巧妙解題

●馮菊英 (金壇市第一中學(xué) 江蘇常州 213200)

動點問題、任意性問題能較好地考查學(xué)生的閱讀、轉(zhuǎn)化、化歸、探索等能力，因此備受命題者的青睞．動點問題、任意性問題又與定點、定值、臨界位置等相對不變量有關(guān)，因此在數(shù)學(xué)解題中應(yīng)適時實現(xiàn)動與定的相互轉(zhuǎn)化，充分挖掘題目中的隱含條件，巧妙解題．利用動定關(guān)系進行解題大體可分3類:(1)動中找定;(2)以靜制動;(3)動靜互化．本文對動中找定問題的常見類型進行歸納總結(jié)．

探索動點問題、任意性問題，常需研究曲線上的動點、函數(shù)中的變量等，解決的策略一般是:把握點運動的全過程，用運動與變化的眼光去觀察研究，抓住其中的等量關(guān)系和變量關(guān)系．另外還應(yīng)特別關(guān)注一些不變量、不變關(guān)系和特殊關(guān)系，抓住動態(tài)變化中暫時靜止的某一瞬間，將其鎖定在某一位置，化動為靜，由特殊情形(特殊值、特殊點、特殊位置、特殊圖形等)過渡到一般情形，問題的實質(zhì)就容易顯現(xiàn)出來，從而解決問題．

1 直接找到特殊位置

(3)極限法．將直線運動到與y軸重合的位置，此時弦的2個端點，一個在原點，一個在無窮遠處，與的值一個是4a，一個是0，很快得出要求的結(jié)果．

注極端化策略在進行某些數(shù)學(xué)過程的分析時，具有獨特作用，恰當(dāng)應(yīng)用極端原則能提高解題效率，使問題化難為易、化繁為簡．極端化方法是特殊值法的延伸，著眼極端，把握過程，以靜制動，用來解選擇題、填空題往往思維深刻，過程簡單明快，頗有舉重若輕之感．

例2如圖1所示，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，點M是DD1的中點，點O是底面ABCD的中心，點P是棱A1B1上任一點，則直線OP與直線AM 所成角為 ＿＿．

分析因為點P是A1B1上任一點，所以O(shè)P是一條動直線，而要求的直線OP與直線AM所成角為定值，這實際上也是研究運動中不變量的問題．讓直線OP運動起來，找到極端位置A1O，易知A1N是OP在面ADD1A1的射影，由正

方形的性質(zhì)知A1N與AM垂直，再由三垂線定理得OP與直線AM所成角為90°．進一步，OP掃過的面A1B1O與AM垂直，從而得到更一般的結(jié)論．

對于此類在運動中探討定值的問題，通常從運動中推測出事物將會達到的相對靜止的局面，用靜的方法來處理動的數(shù)量和形態(tài)，即直接找到特殊位置，再采用特殊法、極限法巧妙解決．由一般到特殊到極限是思維層次的提高，既省時又省力．

2 假定特殊位置、特殊值

圖1

例3如圖2所示，已知2條直線 l1:2x－3y+2=0，l2:3x－2y+3=0，有一動圓(圓心和半徑都在變動)與 l1，l2相交，且l1，l2被截在圓內(nèi)的2條線段的長度分別是26和24，求圓心M的軌跡方程．

圖2

分析該題中的圓是一個動圓，故可設(shè)定某個特殊位置，根據(jù)直線與圓的位置關(guān)系，再利用半徑、半弦長、弦心距構(gòu)成直角三角形，輕松解決問題!

注 求軌跡問題難在動點之“動”，如果能先讓軌跡上的動點先“靜止”(假定特殊位置)，繼而尋找該點所滿足的相關(guān)條件，用坐標(biāo)列出其關(guān)系，再激活“靜點”使其動起來，即得到所求的軌跡方程．注意學(xué)會從本質(zhì)上認(rèn)識問題，強化轉(zhuǎn)化意識．

注假定變量為定值，是放縮法常采取的技巧．在用放縮法解題時，常因放縮過度而苦惱，采用極值放縮能達到放縮有度、順應(yīng)目標(biāo)之效．

3 整合條件找定量

例5已知實數(shù)a，b，c成等差數(shù)列，點P(－1，0)在動直線ax+by+c=0上的射影為點M，點N的坐標(biāo)為(2，1)，則線段 MN 長度的取值范圍是＿．

分析由a，b，c成等差數(shù)列及ax+by+c=0為動直線可知，直線ax+by+c=0恒過定點，這樣就將直線限制在繞定點旋轉(zhuǎn)的區(qū)域內(nèi)．在直線繞定點旋轉(zhuǎn)的過程中結(jié)合射影這一條件再次尋找運動中的定量，從而解決問題．

解由a，b，c成等差數(shù)列知2b=a+c，代入直線方程得

在運動變化中探索問題，要善于在運動中抓住不變量，可以先取定特殊值或假定特殊位置，再考慮變量或點的運動，也可在點的運動過程中找到特殊位置或極限位置，還可整合條件找到條件中蘊藏的定量．由一般到特殊再到一般，是思維層次不斷提升的過程，對培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)思維能力、優(yōu)化學(xué)生思維品質(zhì)大有裨益．