解排列組合問題的“幾先幾后”

☉山東省日照實驗高級中學 孫先進

解排列組合問題的“幾先幾后”

☉山東省日照實驗高級中學 孫先進

學生在求解排列組合問題時，最常犯的錯誤是分類、分步不清，重復或遺漏計數(shù)等，且這些錯誤的發(fā)生不易被檢驗出來，造成這種現(xiàn)象的原因是對解決排列組合問題的相關(guān)策略沒有理解到位，下面提出幾種策略，供參考.

一、先考慮分類，后考慮分步

對排列組合問題的設置，經(jīng)常伴有一些約束條件，解決這類問題應先按元素性質(zhì)進行分類，再按事情發(fā)生的連續(xù)過程分步處理.

例1 如圖1，用6種不同的顏色給圖中的4個格子涂色，每個格子涂一種顏色，要求最多使用3種顏色且相鄰的兩個格子顏色不同，則不同的涂色方法共有____種.（用數(shù)字作答）

解析：由題意可分兩類：

二、先考慮順序后考慮計算

兩個計數(shù)原理是解決此部分內(nèi)容的重要工具，元素是否重復，有無順序，是判斷一個問題的解決是用計數(shù)原理還是用排列組合數(shù)公式的依據(jù).

例2 已知正五棱柱ABCDEA′B′C′D′E′（如圖2），現(xiàn)從10個頂點中任意取5個頂點，則可組成多少個不同的四棱錐？

錯解：（1） 第一步，從A、B、C、D、E中任意取4個點組成四棱錐的底面，有5種不同的方法；

（2）第二步，從A′、B′、C′、D′、E′中任意取1個點組成四棱錐的頂點，有5種不同的方法.由分步乘法計數(shù)原理，不同的取法共有N＝5×5＝25（種）.

同理，從A′、B′、C′、D′、E′中任意取4個點組成四棱錐的底面，從A、B、C、D、E中任意取1個點組成四棱錐的頂點，也有25個.

所以共有50個不同的四棱錐.

剖析：四棱錐的特點是其中底面四個頂點在同一平面內(nèi)，另一點不在平面內(nèi)即可.而錯解中忽略了例如A、B、A′、B′，A、C、C′、A′，A、B、E′、C′等也在同一平面內(nèi)的情況.

正解：在錯解的基礎上，另外還有以ABA′B′為底面，從C、D、E、C′、D′、E′中任取一點為頂點，有6個四棱錐.同理，以BCB′C′、CDC′D′、DED′E′、AEA′E′為底面分別有6個四棱錐，則共有30個四棱錐；以ACC′A′為底面，從B、E、D、B′、E′、D′中任取一點為頂點，有6個四棱錐，同理，以BDD′B′、CEE′C′、DAA′D′、EBB′E′為底面分別有6個四棱錐，則共有30個四棱錐；以ABE′C′為底面，從C、D、E、A′、B′、D′中任取一點為頂點，有6個四棱錐.同理，以BCD′A′、CDE′B′、DEA′C′、EAB′D′、A′B′EC、B′C′DA、C′D′EB、D′E′AC、E′A′BD為底面分別有6個四棱錐，則共有60個四棱錐.所以共有N=25+25+30+30+60=170（個）.

共有170個不同的四棱錐.

三、先考慮定性，后考慮定量

當題目的條件比較籠統(tǒng)、不明確時，一般應先分好明確的類別或者步驟，再用相應的原理解決.

例3 從5名男生和4名女生中任選3人，要求至少有男生和女生各一人的選法有（ ）種.

A.70 B.140 C.84 D.35

剖析：事實上，不妨設5名男生分別為甲、乙、丙、丁、戊，4名女生分別為A、B、C、D.當先分別選1名男生和1名女生時，選到了男甲女A，再在剩下的7人中任選1人時，選到了男乙，從而選到三人的一種方式為男甲女A男乙.當先分別選1名男生和1名女生時，若選到了男乙女A，再在剩下的7人中任選1人時，選到了男甲，這時選到三人的一種方式為男甲女A男乙.這兩種方式是同一種選法，因此，上述解法中有重復現(xiàn)象，從而是錯誤的.要想正確解答該題，關(guān)鍵在于應對題設條件“至少有男生和女生各一人”給出具體的分類，明確到底有幾名男生，幾名女生.

正解：完成事件分為兩類：選1名男生、2名女生和選2名男生、1名女生.

四、先考慮特殊，后考慮一般

某些排列組合問題中帶有特殊元素或特殊位置的排列組合題，對此類問題的處理一般應先考慮特殊情況，本著特殊者優(yōu)先的原則處理.

例4 用0到9這10個數(shù)字，可以組成沒有重復數(shù)字的三位偶數(shù)的個數(shù)為（ ）.

A．324 B．328 C．360 D．648

解析：因為“0”是特殊元素，它不能排在最前面，所以分兩種情況考慮.

因此由分類計數(shù)原理，符合題意的偶數(shù)共有72+256=328（個）.故選擇B.

對于受限制的特殊元素（或位置）的排列組合問題，要先安排“特殊”元素（或位置），再安排其他沒有限制的元素或位置.因此特殊元素（位置）用優(yōu)先法.

例5 某地奧運火炬接力傳遞路線共分6段，傳遞活動分別由6名火炬手完成．如果第一棒火炬手只能從甲、乙、丙三人中產(chǎn)生，最后一棒火炬手只能從甲、乙兩人中產(chǎn)生，則不同的傳遞方案共有________種．

五、先考慮組合，后考慮排列

對于排列組合的混合問題，一般采取先選出元素即分組，再進行排列的原則解決問題.

例6 將4個不同的小球放入編號為1、2、3、4的四個盒子中，則恰有一個空盒的方法有_______種.

解析：這是一個排列組合的混合問題.因恰有一個空盒，所以必有一個盒子要放2個球.故可分兩步進行.第一步，先分組.從4個球中任選2個球，有種選法，從4個盒子中選出3個，有種選法.

第二步，進行排列.把選出的2個球視為一個元素，與其余的2個球共3個元素對選出的3個盒子作全排列，有種排法.

六、先考慮總體，后考慮個體

例7 在某種信息傳輸過程中，用4個數(shù)字的一個排列（數(shù)字允許重復）表示一個信息，不同排列表示不同信息，若所用數(shù)字只有0和1，則與信息0110至多有兩個對應位置上的數(shù)字相同的信息個數(shù)為（ ）.

A.10 B.11 C.12 D.15

解析：此題用直接法進行分類求解較為復雜，故想到排除法，先求出與0110有三個位置或四個位置上的數(shù)字相同的排法，再用允許數(shù)字重復的總排列數(shù)相減即可.用0和1進行排列，允許數(shù)字重復共有16種排法，因為與0110有三個位置上的數(shù)字相同的排法有四種：1110、0010、0100、0111，與0110有四個位置上的數(shù)字相同的只有一種排法，所以與信息0110至多有兩個對應位置上的數(shù)字相同的信息個數(shù)有16-4-1=11（種）.故選擇B.

有些問題從正面直接考慮比較復雜，而從它的反面往往比較容易思考時，可以先求出它的反面，再從整體中排除.因此至少或至多問題應采用排除法.