圖像的超小波稀疏表示

李春華，秦志英

(河北科技大學(xué)a.信息科學(xué)與工程學(xué)院;b.機(jī)械電子與工程學(xué)院，河北 石家莊050018)

圖像稀疏表示旨在確保圖像精度的前提下，用數(shù)量最少的基函數(shù)組合近似表示圖像，使圖像的特征用盡量少的變換系數(shù)表達(dá)出來(lái)，在圖像壓縮、特征提取、圖像檢索、圖像去噪和圖像復(fù)原等應(yīng)用中具有重要作用。Vinje和Gallant通過(guò)生理學(xué)的實(shí)驗(yàn)顯示［1］，主視覺皮層的神經(jīng)元在接受自然圖像作為輸入刺激時(shí)，其響應(yīng)是滿足稀疏性的，證實(shí)了圖像稀疏表示模型能夠有效匹配人類的視覺感知特性。

Mallat和Zhang將Coimfan和Wickerhauesr等提出的信號(hào)稀疏分解概念推廣到圖像處理領(lǐng)域［2-3］。在圖像稀疏表示中，基函數(shù)的選擇是關(guān)鍵?；瘮?shù)與圖像信號(hào)的結(jié)構(gòu)越匹配，越容易形成圖像的稀疏表示。隨著多尺度幾何分析的興起，出現(xiàn)了Ridgelet，Curvelet，Contourlet，Wedgelet等一系列圖像稀疏表示的超小波方法。它們放寬了正交基表示圖像的嚴(yán)格條件限制，采用框架(超完備基)來(lái)表示圖像，獲得更好的圖像表示效果。本文針對(duì)Fourier變換和小波變換用于圖像表示應(yīng)用存在的不足，研究了各種新興起的超小波變換稀疏表示圖像的方法，分析了它們各自的特點(diǎn)與優(yōu)勢(shì)，并對(duì)未來(lái)發(fā)展進(jìn)行了展望。

1 Fourier變換和小波變換表示圖像存在的問(wèn)題

經(jīng)典的Fourier變換可以對(duì)平穩(wěn)信號(hào)形成最優(yōu)表示，但表示圖像這種非平穩(wěn)信號(hào)時(shí)，只能把圖像分解成具有不同強(qiáng)度和不同頻率的分量組合，而不能同時(shí)表示出頻率分量在圖像上出現(xiàn)的位置，喪失了圖像的空間分析特性。小波基具有良好的空間-頻率局部化特性，較好地解決了Fourier變換在時(shí)域分析和頻域分析之間的矛盾，被靜止圖像編碼新標(biāo)準(zhǔn)JPEG2000選用。但是圖像表示通常采用二維可分離小波基，基函數(shù)各向同性，只能有效表示零維奇異點(diǎn)。這是因?yàn)槎S可分離小波基是由一維小波基通過(guò)張量積的方式推廣得到的，支撐區(qū)間在不同分辨力下，表現(xiàn)為不同尺寸大小的正方形，不具有各向異性特征。它在表示圖像邊緣時(shí)，相當(dāng)于用一系列的“點(diǎn)”去捕捉圖像中的“線”。這種維度的差異嚴(yán)重影響了小波的逼近效率，導(dǎo)致在邊緣輪廓處聚集了大量的大幅度小波系數(shù)。而且可分離二維小波變換在表示圖像時(shí)，只能表達(dá)出水平、垂直和對(duì)角3個(gè)方向的圖像信息，不利于完整表達(dá)自然圖像［4］。為了克服實(shí)數(shù)小波變換的時(shí)移敏感性和方向性缺乏的缺陷，Kingsbury提出了復(fù)數(shù)小波稀疏表示圖像的方法［4］，用兩個(gè)實(shí)數(shù)濾波器分別近似逼近復(fù)小波的實(shí)部和虛部，具有近似的平移不變性和更多的方向選擇性。復(fù)小波變換采用雙樹結(jié)構(gòu)，一樹生成變換的實(shí)部，一樹生成虛部［4-5］，變換后產(chǎn)生了6個(gè)方向的高頻子圖像，分別指向±15°，±45°，±75°。但是分析方向數(shù)目還是無(wú)法滿足自然圖像角度分辨力的要求。由此看來(lái)，小波變換只能最優(yōu)描述零維奇異目標(biāo)函數(shù)，表示二維或更高維奇異性信號(hào)存在明顯缺陷。

2 超小波圖像稀疏表達(dá)方法

最近幾年，出現(xiàn)了一些新的圖像變換表示方法:如脊波(Ridgelet)、曲波(Curvelet)、輪廓波(Contourlet)、線波(Beamlet)、楔波(Wedgelet)、板波(Platelet)等。這些方法的基本思想是為了使基函數(shù)能更好地表現(xiàn)圖像特征，放寬了對(duì)基函數(shù)的正交性要求，改用一組超完備的框架基作為圖像稀疏表示的原子。事實(shí)證明，基于超小波變換的圖像表示方法可以更加稀疏地表示圖像。

超小波關(guān)注如何表達(dá)圖像的不連續(xù)性(或奇異性)，沿襲小波的理論模式，構(gòu)造出一些列能夠多分辨力表達(dá)圖像的“基”或“標(biāo)架”，這些超小波的母函數(shù)具有各向異性的特點(diǎn)，通過(guò)靈活地調(diào)整基的方向和支撐區(qū)間的形狀，可以用較少的系數(shù)快速有效地捕捉圖像的奇異信息。它們具有下列共同特點(diǎn):

1)具有幾何規(guī)則性，能夠逼近圖像中任意方向的線、曲線的不連續(xù)性;

2)有容易計(jì)算的分析(正變換)和綜合(反變換)表達(dá);

3)對(duì)分析(變換)域的結(jié)果有明確的物理解釋，便于實(shí)施去噪、壓縮的近似處理，以及超分辨重建的進(jìn)一步工作。

2.1 Ridgelet變換與Curvelet變換

脊波理論由Emmanuel J Candes在1998年提出［6］，一個(gè)典型的Ridgelet母函數(shù)如圖1所示，具有各向異性的特點(diǎn)。小波變換是逐點(diǎn)刻畫點(diǎn)的奇異性，而Ridgelet變換是沿脊線刻畫線的奇異性。因此，Ridgelet變換在方向選擇和識(shí)別方面，比小波變換性能優(yōu)越，可以更有效地表示信號(hào)的一維方向奇異特征。

用脊波作為基函數(shù)來(lái)檢測(cè)直線特征，可以有效地捕獲各個(gè)尺度、各個(gè)位置和各個(gè)方向上的信息，逼近直線型奇異函數(shù)具有優(yōu)越性。然而自然圖像的邊緣不一定都是直線型的，脊波變換不能很好地處理曲線奇異性，這樣脊波變換就滿足不了要求。

圖1 Ridgelet母函數(shù)

為了表示圖像中的曲線奇異性，文獻(xiàn)［7］提出了單尺度脊波變換，把圖像固定尺度均勻剖分，每個(gè)剖分塊中的曲線近似看作直線。在剖分塊中，再對(duì)每個(gè)分塊進(jìn)行脊波變換。單尺度Ridgelet變換巧妙地將曲線奇異轉(zhuǎn)化為直線奇異來(lái)處理。

以單尺度Ridgelet變換為基礎(chǔ)，E.J.Candes和D.L.Donoho構(gòu)造了多尺度Ridgelet，也就是第一代Curvelets變換［8］。第一代Curvelet先對(duì)圖像作小波變換，然后對(duì)不同尺度的子帶圖像采用不同大小的尺寸分塊后進(jìn)行脊波變換。Curvelets變換能在所有可能的尺度上進(jìn)行Ridgelet變換，克服了單尺度脊波變換固定尺度的缺陷，對(duì)曲線狀奇異特征具有稀疏表示的能力。

但是Curvelet變換存在數(shù)字實(shí)現(xiàn)復(fù)雜、數(shù)據(jù)冗余量巨大的缺陷。而且，由于Curvelet變換是基于塊剖分的變換，重構(gòu)圖像中存在塊邊界效應(yīng)。為了解決這一問(wèn)題，需要預(yù)先對(duì)各剖分塊進(jìn)行疊加處理。這樣不僅運(yùn)算復(fù)雜度增大，還加大了變換系數(shù)的冗余度。于是，Candes等人又提出了實(shí)現(xiàn)更簡(jiǎn)單、更便于理解的第二代Curvelet變換［9］。定義徑向窗函數(shù)W(r)和角度窗函數(shù)V(t)，它們滿足可允許條件

對(duì)于每一個(gè)j≥j0，定義傅里葉頻率的頻率窗:Uj(r，，其中?」表示下取整，Uj的支撐區(qū)間是受W和V支撐區(qū)間限制獲得的楔形區(qū)域，方向數(shù)目隨尺度隔層加倍。對(duì)應(yīng)的時(shí)域支撐區(qū)域具有各向異性，如圖2所示。Curvelet變換能用極少的非零系數(shù)精確表達(dá)圖像邊緣，可以在確保低均方誤差的約束下，實(shí)現(xiàn)圖像表示數(shù)據(jù)精簡(jiǎn)性與精確性的平衡。

圖2 Curvelet變換

2.2 Contourlet變換與Shearlet變換

鑒于Curvelet變換是一種頻率定義的方法，導(dǎo)致笛卡兒坐標(biāo)與極坐標(biāo)間轉(zhuǎn)換需要插值計(jì)算。M.N.Do和Martin Vetterli直接從離散時(shí)間域提出一種與Curvelet類似的方向性多分辨變換——Contourlet變換［10］，更適合數(shù)字圖像表示。

Contourlet變換作為Curvelet變換的另一種快速數(shù)字實(shí)現(xiàn)方式，繼承了Curvelet變換支撐區(qū)間各向異性的多尺度關(guān)系特點(diǎn)。如圖3所示，它將多尺度分析和方向分析分拆進(jìn)行，首先用拉普拉斯塔形分解方法搜索邊緣奇異點(diǎn)，再用方向?yàn)V波器組將位置相近的奇異點(diǎn)集結(jié)成輪廓線段。Contourlet變換基的支撐區(qū)間是“長(zhǎng)條形”結(jié)構(gòu)，其長(zhǎng)寬比隨尺度變化，如圖4所示。Contourlet表示圖像邊緣的系數(shù)能量更加集中，對(duì)于曲線有更“稀疏”的表達(dá)。圖5、圖6分別為小波變換和Contourlet變換用相同數(shù)量的系數(shù)重建圖像的效果。

2007年，Guo和Labate等人提出了一種新的接近最優(yōu)的多維函數(shù)表示方法——剪切波(Shearlet)變換［11］。相對(duì)于輪廓波變換來(lái)說(shuō)，Shearlet變換具有完備的理論和數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，它與小波變換類似，通過(guò)一個(gè)基本函數(shù)的膨脹、剪切和平移變換來(lái)構(gòu)造基函數(shù)，可以在廣義多分辨分析的框架下進(jìn)行研究，它在頻率空間沿斜率方向逐層加倍細(xì)分，并且對(duì)剪切操作在方向數(shù)目上沒有限制。Shearlet變換是一種更為靈活的數(shù)字圖像表示方法，可以對(duì)圖像進(jìn)行靈活的多分辨和多方向分解，對(duì)圖像中的邊緣和紋理等細(xì)節(jié)信息給出接近最優(yōu)的性能表示。

2.3 Beamlet變換與Wedgelet變換

為了確定圖像中線段的端點(diǎn)及長(zhǎng)度信息，Donoho提出了連續(xù)Beamlet變換及其在多尺度分析中的應(yīng)用［12］，Xiaoming Huo提出了離散Beamlet變換［13］。在文獻(xiàn)［14］中，Donoho用Beamlet分析的理論框架將Beamlet變換和Wedgelet變換統(tǒng)一為Beamlet多尺度幾何分析理論。

在n×n的二進(jìn)方塊內(nèi)連接邊界上任意兩個(gè)像素點(diǎn)就構(gòu)成了一條離散小線基，基上的像素點(diǎn)可通過(guò)插值法確定。各種方向、尺度和位置的小線基的集合形成小線庫(kù)。數(shù)字圖像在一條小線基上的離散Beamlet變換，就是這條小線基上各像素灰度值的和。Beamlet變換對(duì)線定位精確、簡(jiǎn)單易行，變換系數(shù)以金字塔方式組織，從而實(shí)現(xiàn)多尺度分析。

Donoho進(jìn)而提出了Wedgelet變換，與Beamlet變換結(jié)合，使用多尺度Wedgelet基對(duì)圖像輪廓進(jìn)行分段線性近似［15］。一個(gè)圖像子塊借助一條分割線分成兩個(gè)楔塊，每一個(gè)楔塊用唯一的特征值表示。Wedgelet變換使用線的位置、兩個(gè)楔塊的特征值近似描述了這個(gè)子塊的性質(zhì)。

在應(yīng)用中先利用Beamlet詞典生成Beamlet基，Wedgelet基在Beamlet基的基礎(chǔ)上生成。在Wedgelet變換中，圖像中的邊緣用所選取的最優(yōu)Beamlet基來(lái)分段近似表示。

3 結(jié)論

自然圖像是包含多種形態(tài)結(jié)構(gòu)成分(Morphological Diversity)的復(fù)雜信號(hào)，而現(xiàn)在常用的傅里葉變換和小波變換無(wú)法最優(yōu)地表達(dá)圖像中各種類型的結(jié)構(gòu)。本文針對(duì)傅里葉變換和小波變換稀疏表示圖像存在的問(wèn)題，較為全面地分析了近來(lái)新出現(xiàn)的各種超小波表示圖像方法。超小波建立在冗余框架下，用過(guò)完備字典分解圖像?；姆N類和個(gè)數(shù)有所增加，便于表示圖像中的各種幾何結(jié)構(gòu)，如邊緣、輪廓、角點(diǎn)、紋理等，為圖像稀疏表示提供了更好的選擇。

從圖像稀疏表示的發(fā)展進(jìn)程來(lái)看，圖像表示的基函數(shù)經(jīng)歷了從非冗余的正交基到適度冗余的緊框架變遷，正在向過(guò)完備字典演進(jìn)。過(guò)完備字典放棄了正交性約束，能夠凸顯圖像中有意義的局部特征，更好地抵御噪聲干擾。

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