Logistic模型的幾何凸性、彈性及其應(yīng)用

汪維剛

(桐城師范高等?？茖W(xué)校理工系，安徽桐城231402)

1．Logistic模型的幾何凸性、彈性

1．1 模型簡介

它是Malthus模型的拓展。該模型:N=N0en，與實(shí)際情況不夠吻合，為此，修改之，設(shè)r與N有關(guān)，不妨簡單設(shè)為 r(N)=r－ kN，由此得到 Logistic 模型。［1］

1．2 幾何凸性

1．2．1 幾何凸函數(shù)的概念

定義 設(shè)f(x)在區(qū)間I上有定義，如果對于任意x1那么稱f(x)是I上的幾何凸函數(shù)。

1．2．2 幾何凸函數(shù)的幾個(gè)性質(zhì)

性質(zhì)1 若g:(c，d)→(－∞，+∞)是連續(xù)的凸函數(shù)，則f(x)=eg(lnx)是(ec，ed)上的幾何凸函數(shù)。(證明見文獻(xiàn)［2］)

性質(zhì)2 設(shè)(a，b)?(0，+∞)，f:(a，b)→(0，+∞)，f則當(dāng)

x(f(x)f″(x) －(f′(x))2)+f(x)f′(x)≥0 時(shí)，f(x)是幾何凸函數(shù)(不等式反向時(shí)，f(x)為幾何凹函數(shù))，反之亦然。(證明見文獻(xiàn)［2］)

性質(zhì)3 幾何凸函數(shù)的倒數(shù)是幾何凹函數(shù)。［2］

性質(zhì)4 kf(x)(k＞0)與f(x)有相同的幾何凹凸性。［3］

1．2．3 Logistic 模型的幾何凸性

Logistic模型的一般形式為:

1．3 彈性［4］

1．3．1 彈性概念

f(x)的彈性是指函數(shù)的相對改變量與自變量的相對改變量的比值的極限，反映f(x)對x的變化的反應(yīng)的強(qiáng)烈程度和靈敏度。其計(jì)算公式為:

1．3．2 彈性性質(zhì)

定理 設(shè)(a，b)?(0，+∞)，f:(a，b)→(0，+∞)，f二階可導(dǎo)，則 f(x)是幾何凸(凹)函數(shù)的充要條件是f(x)的彈性是單調(diào)增加(減少)的。

1．3．3 Logistic 模型的彈性

若 f(x)的彈性單調(diào)增加，則 E′(x)≥0，則 x(f(x)f″(x) －(f′(x))2)+f(x)f′(x)≥0，則 f(x)是幾何凸函數(shù)。

若 x(f(x)f″(x) － (f′(x))2)+f(x)f′(x)≥0，則 E′(x)≥0，則 f(x)的彈性單調(diào)增加。

而Logistic模型為幾何凸函數(shù)(見上面證明)，所以Logistic模型的彈性單調(diào)增加。

2．Logistic模型幾何凸性、彈性的應(yīng)用

2．1 人口預(yù)測問題［5］

首先，國策之英明，解決了中國的生存大問題，試想若沒有解決好這個(gè)問題，國家談何發(fā)展，更談不上抓住機(jī)遇，為人類做出自己更大的貢獻(xiàn)。但是，現(xiàn)在的國情有所變化，那就是，人口老年化步伐越來越快，根據(jù)最近幾次的人口普查資料，發(fā)現(xiàn)幾乎符合Logistic模型，在這里，是凸函數(shù)，所以根據(jù)“幾何凸(凹)函數(shù)的充要條件是f(x)的彈性是單調(diào)增加(減少)的”的性質(zhì)得知其彈性單調(diào)增加。彈性反映Logistic模型函數(shù)對變量時(shí)間t的變化的反應(yīng)的強(qiáng)烈程度和靈敏度，隨著時(shí)間的推移，人口老年率將越來越大，勢必影響國家的長治久富久強(qiáng)，人口老年化到達(dá)一定程度，甚至連非老年人創(chuàng)造的財(cái)富和國家積余財(cái)富之和都將不能承受。為此，只有降低老年率，而降低老年率的有效措施就是增加非老年人，從國外輸入人口是不現(xiàn)實(shí)的，因?yàn)橹袊丝诨鶖?shù)仍然是很大的，所以筆者認(rèn)為，從現(xiàn)在開始可以在全國范圍內(nèi)，暫時(shí)改變計(jì)劃生育政策，那就是允許國家工作人員可以生二胎，一段時(shí)間后，必將減慢老年化步伐，雖然人口總數(shù)在上漲，但只要在國家資源所能承受范圍內(nèi)，還是可以執(zhí)行的。(考慮到國家人口基數(shù)較大，所以現(xiàn)在這三十年內(nèi)還不能允許生三胎。)

2．2 房價(jià)預(yù)測問題

對當(dāng)前熱門話題之一——房價(jià)問題，筆者談?wù)勔恍┫敕?根據(jù)最近幾次的房地產(chǎn)行情調(diào)查資料［6］，發(fā)現(xiàn)幾乎符合Logistic模型，如果房子需求函數(shù)符合Logistic模型，就可以利用幾何凸性與彈性的關(guān)系，即“幾何凸(凹)函數(shù)的充要條件是f(x)的彈性是單調(diào)增加(減少)的?！?/p>

如果房子供給函數(shù)符合Logistic模型，就可以利用幾何凸性與彈性的關(guān)系，即“幾何凸(凹)函數(shù)的充要條件是f(x)的彈性是單調(diào)增加(減少)的?！痹谶@里，它是凸函數(shù)，所以彈性單調(diào)增加。所以大中城市地區(qū)房地產(chǎn)開發(fā)，可以采取價(jià)格遞減策略，因?yàn)樵撃Ｐ蛷椥允菃握{(diào)增加的，這樣供給對價(jià)格變動的反應(yīng)靈敏度就大，從而就必然有不少供給者的退出開發(fā)行為發(fā)生，從而使房地產(chǎn)產(chǎn)業(yè)發(fā)展與國家的民生政策處在一個(gè)平衡點(diǎn)上。

［1］張學(xué)良．Malthus和Logistic模型及其醫(yī)學(xué)應(yīng)用［J］．?dāng)?shù)理醫(yī)藥學(xué)雜志，2008(5)．

［2］鄭寧國．趨勢外推法數(shù)學(xué)模型的幾何凸性分析［J］．高等數(shù)學(xué)研究，2007(1)．

［3］李世杰，張小明．關(guān)于連續(xù)函數(shù)的T幾何凸性問題［J］．浙江萬里學(xué)院學(xué)報(bào)，2006(2)．

［4］黃金瑩．彈性函數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)及其應(yīng)用［J］．佳木斯大學(xué)學(xué)報(bào):自然科學(xué)版，2005(1)．

［5］陳汝棟，于延榮．?dāng)?shù)學(xué)模型與數(shù)學(xué)建模［M］．北京:國防工業(yè)出版社，2006．

［6］魏巍賢，李陽．我國房地產(chǎn)需求的地區(qū)差異分析［J］．統(tǒng)計(jì)研究，2005(9):56－60．

［7］趙樹嫄，胡顯佑，陸啟良．微積分學(xué)習(xí)與考試指導(dǎo)［M］．北京:中國人民大學(xué)出版社，1997．