非線性剛度軸支撐碰摩轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的混沌控制

吳敬東， 李 濤， 金 瑩， 王 娜

(沈陽(yáng)化工大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院，遼寧沈陽(yáng)110142)

轉(zhuǎn)子動(dòng)力學(xué)問(wèn)題絕大多數(shù)都是非線性的，在一定的參數(shù)范圍內(nèi)，均有混沌運(yùn)動(dòng)發(fā)生.研究故障轉(zhuǎn)子的混沌運(yùn)動(dòng)及其控制，對(duì)于設(shè)備的故障診斷、保證生產(chǎn)的安全和提高生產(chǎn)效率等都具有重要的意義.自從20世紀(jì)90年代，Ott、Grebogi和Yorke［1］提出了OGY混沌控制方法以來(lái)，混沌的控制方法［2－5］在許多科學(xué)領(lǐng)域內(nèi)得到了應(yīng)用和發(fā)展.但對(duì)于轉(zhuǎn)子碰摩中的混沌控制研究還很少，張進(jìn)思、路啟韶等［6］采用變量延遲反饋控制法(DVFC法)，將轉(zhuǎn)子碰摩運(yùn)動(dòng)鎮(zhèn)定到擦邊周期1軌道上，從而對(duì)碰摩轉(zhuǎn)子映射系統(tǒng)進(jìn)行了有效的控制.梁?；?、鄭偉峰［7］采用非線性反饋混沌控制方法，將碰摩轉(zhuǎn)子映射系統(tǒng)的混沌運(yùn)動(dòng)控制到有規(guī)則的擦邊周期1軌道和單點(diǎn)碰摩周期2軌道.于洪吉、呂和祥［8－9］小參數(shù)瞬態(tài)干擾反饋?zhàn)顑?yōu)控制算法，有效地控制了動(dòng)態(tài)油膜力作用下的柔性轉(zhuǎn)子系統(tǒng)中出現(xiàn)的混沌運(yùn)動(dòng).本文采用文獻(xiàn)［8－9］的最優(yōu)參數(shù)控制方法，對(duì)非線性剛度軸支撐的碰摩轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的可調(diào)參數(shù)施以很小的瞬態(tài)干擾反饋，借助一個(gè)小的參數(shù)干擾反饋序列，將轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的混沌運(yùn)動(dòng)控制在嵌入其中的某一不穩(wěn)定的周期軌道上，從而使非線性剛度軸支撐的碰摩轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的不穩(wěn)定運(yùn)動(dòng)得到有效控制.

1 最優(yōu)參數(shù)控制基本思想

一個(gè)離散時(shí)間動(dòng)力系統(tǒng)可描述如下:

式中:Z∈Rn是一個(gè)n維變量，u∈Rm是一個(gè)m維系統(tǒng)可調(diào)參數(shù).對(duì)于連續(xù)時(shí)間變量動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)，可由Poincare映射轉(zhuǎn)化為離散時(shí)間動(dòng)力系統(tǒng).假定當(dāng)u=u0時(shí)，系統(tǒng)處于混沌狀態(tài)，對(duì)系統(tǒng)啟動(dòng)一個(gè)瞬態(tài)小參數(shù)干擾，以便將系統(tǒng)的混沌運(yùn)動(dòng)穩(wěn)定在某一個(gè)不穩(wěn)周期軌Z*=F(Z*，u0)上.依據(jù)混沌的各態(tài)歷經(jīng)性，混沌軌在某一時(shí)刻可接近不穩(wěn)定周期軌，落入到該軌的任意小的鄰域，引入?yún)?shù)干擾△uk=uk－u0，控制混沌軌朝向該不穩(wěn)定周期軌.利用映射(1)的一個(gè)線性逼近

式中D—n×n雅可比矩陣.

G—n×m梯度矩陣.

uk—對(duì)u0作一個(gè)適當(dāng)小改變的控制參數(shù)，參數(shù)uk的調(diào)整被限制在如下范圍內(nèi):

式中Δumax—參數(shù)的最大調(diào)整量.為了控制混沌軌在周期軌Z*上，定義用于測(cè)量的距離:

那么所采用的最優(yōu)控制策略如下:

在控制過(guò)程中，如果出現(xiàn)|Δuk|＞Δumax的情況，動(dòng)力系統(tǒng)的輸出Zk將會(huì)以混沌軌的形式在Z*點(diǎn)處漫游，由混沌軌的各態(tài)歷經(jīng)性，在有限的時(shí)間內(nèi)，該混沌軌會(huì)返回Z*任意小的鄰域，此時(shí)再對(duì)混沌軌實(shí)施小參數(shù)干擾控制，將混沌軌導(dǎo)向并穩(wěn)定在Z*上.

2 非線性剛度碰摩轉(zhuǎn)子系統(tǒng)混沌運(yùn)動(dòng)的最優(yōu)控制

2.1 非線性剛度軸支撐碰摩轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的混沌運(yùn)動(dòng)分析

非線性剛度軸支撐的Jeffcott轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的轉(zhuǎn)子與碰摩力模型如圖1所示.

圖1 Jeffcott轉(zhuǎn)子(a)與碰摩力模型(b)Fig.1 Jeffcott rotor(a)and rubbing force model(b)

具有非線性剛度和線性阻尼的轉(zhuǎn)子系統(tǒng)局部碰摩運(yùn)動(dòng)微分方程［10］為:

式中:m為轉(zhuǎn)子的質(zhì)量，c為軸的阻尼系數(shù)，u為質(zhì)量偏心量，ω為轉(zhuǎn)子角速度，F(xiàn)1x、F1y為碰摩力.

引入無(wú)量綱參數(shù):

進(jìn)行無(wú)量綱變換，則得轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的無(wú)量綱局部碰摩運(yùn)動(dòng)微分方程，省略上標(biāo)“－”，方程為:

現(xiàn)利用定步長(zhǎng)四階Runge-Kutta法，對(duì)式(9)進(jìn)行數(shù)值分析，計(jì)算中每一周期積分步長(zhǎng)為1/512，共計(jì)算2 200個(gè)周期，舍棄前2 000個(gè)周期，取后200個(gè)周期，誤差小于10－5.轉(zhuǎn)子系統(tǒng)參數(shù)為:ω=1.3，α=0.5，β=3.0，δ=0.001 6，f=0.12.在上述參數(shù)下，研究轉(zhuǎn)子參數(shù)變化對(duì)系統(tǒng)動(dòng)力響應(yīng)的影響.

圖2為碰摩轉(zhuǎn)子穩(wěn)態(tài)響應(yīng)位移隨轉(zhuǎn)子偏心量u變化的分岔圖和最大Lyapunov指數(shù)圖.圖3為碰摩轉(zhuǎn)子穩(wěn)態(tài)響應(yīng)位移隨轉(zhuǎn)子阻尼ξ變化的最大Lyapunov指數(shù)圖.

圖2 轉(zhuǎn)子位移隨偏心u的分岔圖和最大Lyapunov指數(shù)圖Fig.2 The rotor displacement of the bifurcation with eccentric u diagram and the biggest Lyapunov index figure

圖3 關(guān)于阻尼ξ的最大Lyapunov指數(shù)圖Fig.3 The biggest ξ about damping Lyapunov index figure

2.2 混沌運(yùn)動(dòng)控制

利用Poincare映射，對(duì)上述系統(tǒng)的軌跡進(jìn)行頻閃采樣［8］，找出滿足式

的閉合回路Zj，1、Zj，2.定義

當(dāng)u=0.126、ξ=0.15時(shí)的Poincare映射圖和相跡圖如圖4、圖5所示，可知其處于混沌狀態(tài).另外可計(jì)算該點(diǎn)的最大Lyapunov指數(shù)為0.022 88，是正數(shù)，也表明系統(tǒng)呈現(xiàn)混沌狀態(tài).

圖4 轉(zhuǎn)子系統(tǒng)混沌的Poincare截面圖Fig.4 Rotor system of chaos Poincare section graph

圖5 轉(zhuǎn)子系統(tǒng)混沌的相軌跡圖Fig.5 Rotor system chaos phase track graph

下面對(duì)3種情況分別進(jìn)行探討:①對(duì)u和ξ同時(shí)進(jìn)行小參數(shù)控制;②只對(duì)ξ進(jìn)行小參數(shù)控制;③只對(duì)u進(jìn)行小參數(shù)控制.

2.2.1 對(duì)u和ξ同時(shí)進(jìn)行小參數(shù)控制

對(duì)上述混沌系統(tǒng)實(shí)施瞬態(tài)參數(shù)Δu和Δξ干擾控制.采樣混沌運(yùn)動(dòng)的時(shí)間歷程，當(dāng)一個(gè)采樣點(diǎn)靠近ˉZ*時(shí)，即本文在i=22步時(shí)，一個(gè)采樣點(diǎn)落入ˉZ*的鄰域，此時(shí)開(kāi)動(dòng)最優(yōu)瞬態(tài)小參數(shù)干擾，經(jīng)過(guò)一段時(shí)間最終穩(wěn)定下來(lái).圖6顯示了系統(tǒng)控制后的Poincare映射點(diǎn)，圖7顯示了系統(tǒng)控制后的相軌跡圖.可見(jiàn)，此混沌軌經(jīng)過(guò)控制最終穩(wěn)定在十倍周期軌道上.

圖6 控制后的Poincare截面圖Fig.6 After control Poincare graph

圖7 控制后的相軌跡圖Fig.7 After control phase track graph

圖8(a)、(b)分別是小參數(shù)干擾反饋△u和△ξ與控制步i的關(guān)系圖.可看到△u在0.13和－0.23之間變化，最終穩(wěn)定在－0.05上;△ξ在0.03與－0.05之間變化，最終穩(wěn)定在0.011 2上.如果控制參數(shù)取得過(guò)小，將不能穩(wěn)定到周期軌上來(lái).

圖8 控制過(guò)程中參數(shù)調(diào)整與控制步i的關(guān)系Fig.8 The relationship between the parameterand control steep i

2.2.2 只對(duì)ξ進(jìn)行小參數(shù)控制

對(duì)上述混沌系統(tǒng)實(shí)施瞬態(tài)參數(shù)Δξ干擾控制，也可將混沌運(yùn)動(dòng)最終穩(wěn)定下來(lái).圖9顯示了系統(tǒng)控制后的Poincare映射點(diǎn)，圖10顯示了系統(tǒng)控制的相軌跡圖.可見(jiàn)，此混沌軌經(jīng)過(guò)控制最終穩(wěn)定在多倍周期軌道上.其控制效果不如上述同時(shí)對(duì)u和ξ進(jìn)行控制的效果.圖11是小參數(shù)干擾反饋△ξ與控制步i的關(guān)系圖.可見(jiàn)，△ξ在0.15與－0.20之間變化，最終穩(wěn)定在－0.051 3上.若△ξ取得過(guò)小將不能穩(wěn)定到周期軌上來(lái).

圖9 控制后的Poincare截面圖Fig.9 After control Poincare graph

圖10 控制后的相軌跡圖Fig.10 After control phase track graph

圖11 控制過(guò)程中參數(shù)調(diào)整與控制步i的關(guān)系Fig.11 The relationship between the parameterand control steep i

2.2.3 只對(duì)u進(jìn)行小參數(shù)調(diào)整

對(duì)上述混沌系統(tǒng)實(shí)施瞬態(tài)參數(shù)干擾控制Δu，也可將混沌最終穩(wěn)定下來(lái).控制參數(shù)u的調(diào)整量Δu取值范圍不同，其控制效果也不同.

如圖12(a)、(b)、(c)，圖13(a)、(b)、(c)，圖14(a)、(b)、(c)所示為偏心調(diào)整量Δu的最大值分別為0.05、0.01、0.005時(shí)，系統(tǒng)控制后的Poincare映射圖、相軌跡圖和調(diào)整量Δu隨控制步i變化的關(guān)系圖.

圖12 偏心調(diào)整量Δu的最大值為0.05時(shí)的控制圖Fig.12 The maximum eccentric Δu is 0.05 graph

圖13 偏心調(diào)整量Δu的最大值為0.01的控制圖Fig.13 The maximum eccentric Δu is 0.01 graph

圖14 偏心調(diào)整量Δu的最大值為0.005的控制圖Fig.14 The maximum eccentric Δu is 0.005 graph

經(jīng)過(guò)計(jì)算可知，Δumax大于0.003時(shí)，能夠?qū)⒒煦邕\(yùn)動(dòng)控制在不穩(wěn)定的周期軌上.當(dāng)Δumax小于0.003時(shí)不能將混沌控制住.

3 結(jié)論

利用控制混沌力學(xué)特性的小參數(shù)瞬態(tài)干擾反饋?zhàn)顑?yōu)控制方法，對(duì)非線性剛度軸支撐碰摩轉(zhuǎn)子系統(tǒng)外部可調(diào)參數(shù)偏心量u和阻尼ξ同時(shí)制作一個(gè)小的干擾反饋序列進(jìn)行控制，及分別只對(duì)偏心量u或阻尼ξ作一個(gè)小的干擾反饋序列控制，有效地將系統(tǒng)的混沌運(yùn)動(dòng)逐步控制到不穩(wěn)定周期軌上，并使之穩(wěn)定下來(lái).結(jié)果表明:對(duì)兩參數(shù)分別控制不如同時(shí)對(duì)兩個(gè)參數(shù)控制的效果好，同時(shí)也說(shuō)明該控制算法對(duì)非線性剛度軸支撐碰摩轉(zhuǎn)子系統(tǒng)混沌控制是有效的.

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