異體互對偶變換

文欽若

(河北大學(xué) 河北 保定 071002)

1 引言

有一種對稱性可稱為對偶對稱性，而對偶對稱性又可分為兩種，即兩個(gè)體系之間的相互對偶與同一個(gè)體系自身的對偶，此文只討論兩個(gè)體系之間的相互對偶，也可稱為異體互對偶.異體互對偶主要表現(xiàn)在圖形與關(guān)系式兩個(gè)方面，在物理學(xué)中首先注意的往往是關(guān)系式.如果兩個(gè)物理體系A(chǔ)與B互對偶，則體系A(chǔ)中物理量之間的關(guān)系式與體系B中對偶物理量之間的關(guān)系式通常具有相同的形式.但應(yīng)注意，如果體系A(chǔ)與體系B具有某些形式相同的關(guān)系式，則并不表示這兩個(gè)物理體系就一定是互對偶的.對于異體互對偶而言，所謂對偶原理是指由一個(gè)體系中的規(guī)律可以推知對偶體系中的規(guī)律.如果不能由一個(gè)體系中的規(guī)律全面而正確地推知另一個(gè)體系中的規(guī)律，則即使這兩個(gè)體系中存在某些形式相同的關(guān)系式，也不能認(rèn)為這兩個(gè)體系是互對偶的.對于互對偶的兩個(gè)物理體系，構(gòu)成這兩個(gè)體系的各元素以及描寫這兩個(gè)體系的各物理量都有一一對應(yīng)的對偶關(guān)系，根據(jù)這些對偶關(guān)系便可以將其中的一個(gè)物理體系變換為另一個(gè)物理體系，這種變換便稱為互對偶變換.

2 互對偶的線性電路

2.1 耗能元件與儲(chǔ)能元件

電阻R是耗能元件，設(shè)流過R的電流為I，則R所消耗的功率為

P=RI2

(1)

電阻的倒數(shù)稱為電導(dǎo)，電導(dǎo)G′也可視為耗能元件，設(shè)G′兩端的電壓為U′，則G′所消耗的功率為

P′=G′U′2

(2)

式(1)與式(2)有相同的形式.電感L是儲(chǔ)存磁場能的元件，設(shè)流過L的電流為I，則L所儲(chǔ)存的能量為

(3)

電容C′是儲(chǔ)存電場能的元件，設(shè)C′兩端的電壓為U′，則C′所儲(chǔ)存的能量為

(4)

式(3)與式(4)具有相同的形式.可認(rèn)為(1)～(4)式為引入對偶量提供了重要依據(jù).

2.2 基爾霍夫定律

由于線性放大器以及線性雙口網(wǎng)絡(luò)(也稱為四端網(wǎng)絡(luò))可以用等效電路代替，所以只考慮由電阻R，電感L，電容C以及電壓源、電流源所構(gòu)成的線性網(wǎng)絡(luò)[1].對于一個(gè)完整的線性網(wǎng)絡(luò)A，其物理規(guī)律可以用基爾霍夫方程組描寫

(5)

l=m+n-2

(6)

通過對偶變換可以得到網(wǎng)絡(luò)A的對偶網(wǎng)絡(luò)B.A與B的元件數(shù)應(yīng)相等.由(1)～(4)式可推知基爾霍夫第一定律與第二定律應(yīng)互對偶，則從A變到B的對偶變換應(yīng)為

(7)

將上式應(yīng)用到(5)式得

(8)

上式便是描寫網(wǎng)絡(luò)B的基爾霍夫方程組.

類似于一個(gè)帶小孔的彈性球面可以展開為一個(gè)平面，有一些電路圖也可以展開為平面電路圖.平面電路圖的特點(diǎn)是：在平面上沒有交疊的元件與交疊的連線.對于兩個(gè)對偶的平面電路圖，如果將這兩個(gè)圖A與B疊在一起，由于A與B的元件數(shù)相等，則總可以使對偶元件彼此交疊，這時(shí)便可看出，A圖中的每一個(gè)網(wǎng)孔中必有B圖中的一個(gè)節(jié)點(diǎn)；B圖中的每一個(gè)網(wǎng)孔中也必有A圖中的一個(gè)節(jié)點(diǎn)，即節(jié)點(diǎn)與網(wǎng)孔對偶，且節(jié)點(diǎn)處的支路數(shù)與對偶網(wǎng)孔的支路數(shù)(邊數(shù))相等.因此，從已知網(wǎng)絡(luò)A可以用下述作圖方法求出其對偶網(wǎng)絡(luò)B：在A圖的每一個(gè)網(wǎng)孔中取一點(diǎn)作為B圖的節(jié)點(diǎn)，用與A圖中各元件交疊的對偶元件將A圖中對應(yīng)元件兩邊網(wǎng)孔中的節(jié)點(diǎn)連接在一起便可以得到B圖.

對于兩個(gè)電阻(或其他兩個(gè)線性元件)串聯(lián)的電路，此電路有兩個(gè)端點(diǎn)，所以不是完整的電路圖.為了得到此電路的對偶電路，可以用一條波浪線將兩個(gè)端點(diǎn)連在一起而構(gòu)成一個(gè)完整電路，這條波浪線便代表一條未知的支路.然后用上述方法便可得到其對偶電路圖，從而得知兩個(gè)電阻的串聯(lián)與兩個(gè)電導(dǎo)的并聯(lián)是互對偶的電路.對于Π型(或T型等)線性雙口網(wǎng)絡(luò)，可以用一條波浪線(代表未知的輸入支路)將輸入口的兩端連在一起，用另一條波浪線(代表未知的負(fù)載支路)將輸出口的兩端連在一起，從而構(gòu)成完整網(wǎng)絡(luò).然后用上述方法也可得到其對偶電路圖，從而可得知Π型線性雙口網(wǎng)絡(luò)與T型線性雙口網(wǎng)絡(luò)互對偶.

2.3 對偶電路舉例

考慮互對偶的并聯(lián)調(diào)諧電路與串聯(lián)調(diào)諧電路.設(shè)并聯(lián)調(diào)諧電路如圖1所示.

圖1

上圖中，虛線表示其對偶電路的形狀.I0=Iasinωt，G0為正弦電流信號(hào)源I0的內(nèi)電導(dǎo)，RL為電感L的繞線電阻，電導(dǎo)Gc稱為電容C的電漏.根據(jù)圖1中的虛線與對偶變換可得到圖1的對偶電路圖2為

圖2

(9)

(10)

3 異體互對偶變換的特點(diǎn)

(1)對偶量的量綱不一定相同.在(7)式中，電壓與電流、電阻與電導(dǎo)、電感與電容的量綱都是不同的，但網(wǎng)孔數(shù)與節(jié)點(diǎn)數(shù)的量綱是相同的.此外，(1)式中P與(2)式中P′的量綱以及(3)式中W與(4)式中W′的量綱也是相同的.

(2)對偶量的值是無關(guān)的.例如，設(shè)體系A(chǔ)中的電阻R與體系B中的電導(dǎo)G′對偶，當(dāng)將體系A(chǔ)中的關(guān)系式變換到體系B中的對偶關(guān)系式時(shí)，R將以G′代替，而G′的值與R的值毫無關(guān)系.

(3)對偶物理量與對偶關(guān)系式之間的變換是以對偶圖形與對偶結(jié)構(gòu)為基礎(chǔ)的變換.A與B中各對偶元件具有一一對應(yīng)關(guān)系.

4 線性雙口網(wǎng)絡(luò)的對偶等效電路

4.1 線性雙口網(wǎng)絡(luò)的參數(shù)

放大器、衰減器、傳輸線、變壓器等大都可視為線性雙口網(wǎng)絡(luò)，其圖示如圖3.

圖3

上圖中，U1為輸入電壓，I1為輸入電流，U2為輸出電壓，I2為輸出電流.如果在輸入端接一條信號(hào)源支路，在輸出端接一條負(fù)載支路，則U1，I1，U2，I2便都是完全確定的.在輸入端的信號(hào)源支路中可以列出一個(gè)關(guān)于U1，I1的方程；在輸出端的負(fù)載支路中也可以列出一個(gè)關(guān)于U2，I2的方程.如果不考慮這兩個(gè)方程，則對于雙口網(wǎng)絡(luò)而言，U1，I1，U2，I2這四個(gè)變量中只有兩個(gè)是獨(dú)立的.從這四個(gè)量中取出兩個(gè)作為自變量的方法有6種，即C42=6，相應(yīng)地存在6種基本參數(shù)，下面只考慮其中的2種.

(1)微變h參數(shù)

在微變h參數(shù)中，取I1，U2為自變量，則U1，I2都是I1，U2的函數(shù)，即

dU1=u1dU2=u2dI1=i1dI2=i2

(11)

上式采用矩陣形式表示為

(12)

(13)

(2)微變g參數(shù)

在h參數(shù)中，自變量為I1，U2，因變量為U1，I2.如果將電壓與電流互換，則I1，U2與U1，I2互換.與這種互換對應(yīng)，在微變g參數(shù)中，取U1，I2為自變量，而I1，U2為應(yīng)變量.由類似于(12)式的推導(dǎo)可得

(14)

比較(12)式與(14)式可知，h與g應(yīng)互為逆矩陣，即

g=h-1h=g-1hg=1

(15)

4.2 兩個(gè)電路中雙口網(wǎng)絡(luò)的對偶等效電路

如果兩個(gè)電路A，B中都含有放大器等雙口網(wǎng)絡(luò)，則通常并不能直觀地看出這兩個(gè)電路是否是對偶的.這時(shí)，需要將A，B中的雙口網(wǎng)絡(luò)都用等效電路圖來代替，然后再討論A，B是否互對偶，當(dāng)然首先希望兩個(gè)雙口的等效電路圖是互對偶的.這時(shí)，兩個(gè)雙口網(wǎng)絡(luò)等效電路圖的對偶尚不是A，B兩個(gè)完整電路的對偶，而只是A，B中部分電路的對偶.

圖4

設(shè)體系A(chǔ)中的雙口網(wǎng)絡(luò)以h參數(shù)描寫，則根據(jù)(12)式可得其等效電路圖如圖4中(實(shí)線)所示.

為了使體系B中雙口網(wǎng)絡(luò)的等效電路圖與體系A(chǔ)中的雙口網(wǎng)絡(luò)的等效電路圖對偶，體系B中的雙口網(wǎng)絡(luò)應(yīng)以g′參數(shù)描寫.將(14)式中的量改為帶撇的量，得

(16)

(17)

5 交叉橋型雙口網(wǎng)絡(luò)的對偶網(wǎng)絡(luò)

5.1 無源交叉橋型雙口網(wǎng)絡(luò)

考慮不含信號(hào)源的交叉橋型雙口網(wǎng)絡(luò)，如圖5所示.

圖5

圖5中的Z描寫支路的阻抗，其對偶支路將以導(dǎo)納Y′描寫.上圖可以展開為平面電路圖，例如可展開為圖6的電路圖.

圖6

根據(jù)平面電路求對偶電路的作圖方法便可由上圖得到下述對偶電路,如圖7所示.

圖7

圖5與圖7互對偶.在圖5中，若Z2=0(短路)，則圖5化為圖8所示的Π型雙口網(wǎng)絡(luò).

圖8

圖9

5.2 網(wǎng)孔的選擇原則

上面已說到，Π型雙口網(wǎng)絡(luò)的對偶電路可以根據(jù)圖8得到，也可以根據(jù)圖6(取Z2=0)得到，兩者的差別可歸結(jié)為對網(wǎng)孔的選擇不同.為了能用作圖方法得到平面線性網(wǎng)絡(luò)的對偶網(wǎng)絡(luò)，對網(wǎng)孔的選擇有一個(gè)基本原則：網(wǎng)絡(luò)中的每一條支路只能且必須作為兩個(gè)網(wǎng)孔的邊.在滿足選擇網(wǎng)孔基本原則的前提下，網(wǎng)孔的選擇方法仍可能有多種，從而使得對于同一個(gè)線性電路可以得到多種形式的對偶電路，不過這多種形式的對偶電路實(shí)際上都是等效的.

參考文獻(xiàn)

1 秦曾煌.電工學(xué)(第四版).北京：高等教育出版社，1990

2 王惠蘭.電路中的對偶原理.物理通報(bào)，1994(8)