一道 “復(fù)合場”試題的三種解法

張會麗

(登封市第一高級中學(xué) 河南 鄭州 452470 )

帶電體在復(fù)合場中的運(yùn)動是高中物理電學(xué)部分的重點(diǎn)，也是難點(diǎn)，當(dāng)然也是高考的重要考點(diǎn)，在高中物理新課程中也必然占有重要的份量.學(xué)生要想靈活應(yīng)用這一部分的知識，就必須對帶電粒子單獨(dú)在重力場、電場和磁場中運(yùn)動的規(guī)律準(zhǔn)確地掌握,對力學(xué)的牛頓運(yùn)動定律、動能定理、能量守恒定律、動量定理等規(guī)律清楚地認(rèn)識.下面對一道關(guān)于復(fù)合場的高考題中三種解法進(jìn)行比較，旨在讓讀者對帶電粒子在復(fù)合場中的運(yùn)動認(rèn)識得更深刻，理解得更透徹.

【例】在場強(qiáng)為B的水平勻強(qiáng)磁場中，一質(zhì)量為m，帶正電q的小球,在O點(diǎn)靜止釋放，小球的運(yùn)動曲線如圖1所示．已知此曲線在最低點(diǎn)的曲率半徑為該點(diǎn)到x軸距離的2倍，重力加速度為g．求：

圖1

(1)小球運(yùn)動到任意位置P(x，y)的速率v;

(2)小球在運(yùn)動過程中第一次下降的最大距離ym;

解法1:常規(guī)解法

(1)由于小球在下落過程中，洛倫茲力總與速度方向垂直，不做功，只有重力做功,所以

(2)小球從O點(diǎn)運(yùn)動到最低點(diǎn)的過程中只有重力做功，所以

圖2

小球的受力情況如圖2所示.由牛頓第二定律

由以上兩式得

(3)小球受電場力和重力的合力向上，將向上運(yùn)動，同時(shí)受洛倫茲力，運(yùn)動類型和只受重力和洛倫茲力時(shí)相同，所以在最高點(diǎn)時(shí)速度最大，根據(jù)題意，可大膽地猜想得出，在最高點(diǎn)時(shí)曲率半徑仍為該點(diǎn)到x軸距離的2倍.所以

再由動能定理得

可得

解法2:從運(yùn)動的合成與分解的角度進(jìn)行分析

帶電粒子受到恒定的力F(忽略重力)在勻強(qiáng)磁場B中，從坐標(biāo)原點(diǎn)O無初速度的開始運(yùn)動，可從運(yùn)動分解的角度把初速度分解為一個(gè)沿x軸正方向的速度v和一個(gè)沿x軸負(fù)方向的速度v′=v，且qvB=F，這樣小球的運(yùn)動可看作是初速度為v′的勻速圓周運(yùn)動，向心力為qv′B,和圓心沿x軸正方向的速度為v的勻速直線運(yùn)動的合運(yùn)動.釋放點(diǎn)O為小球運(yùn)動的最高處，即圓周運(yùn)動的最高處，如圖1所示，當(dāng)小球運(yùn)動到最低點(diǎn)時(shí)，小球運(yùn)動的速度為2v，小球運(yùn)動的合外力為

式中的ρ為運(yùn)動軌跡最低處的曲率半徑.而在圓心參考系中，有

式中R為圓周運(yùn)動的圓半徑，由以上兩式可得ρ=4R，即得到在平行于y軸方向向下恒力F的作用下,小球從靜止開始在勻強(qiáng)磁場中做曲線運(yùn)動時(shí)，當(dāng)它運(yùn)動到最低處運(yùn)動軌跡的曲率半徑等于該點(diǎn)到x軸的2倍.可見，這種結(jié)論具有普適性.

解法3:用動量定理分析[主要分析第(2)問]

題上已知條件是小球運(yùn)動軌跡曲線在最低點(diǎn)時(shí)的曲率半徑為該點(diǎn)到x軸距離的2倍，事實(shí)上這個(gè)條件是可以證明出來的，是普適的.

證明如下:

小球在重力和洛倫茲力的作用下做曲線運(yùn)動，重力為恒力，洛倫茲力總與速度垂直，小球做曲線運(yùn)動.

運(yùn)動中任意位置的受力情況如圖2所示.在圖3中，v為這一時(shí)刻的瞬時(shí)速度，vx,vy為這一時(shí)刻的水平和豎直分速度.

qvyB,qvxB為這一時(shí)刻洛倫茲力的水平分量與豎直分量.

從這一時(shí)刻起，經(jīng)極短一段時(shí)間Δt，列水平方向的動量定理式子

qvyBΔt=mΔv

圖3

式中Δv為時(shí)間Δt內(nèi)水平方向的速度增量.對于小球，把它從O點(diǎn)到最低點(diǎn)的過程中，時(shí)間分成無數(shù)個(gè)Δt，對于每一個(gè)Δt都可以列出一個(gè)水平方向的動量定理方程，再把這些方程求和，即

可得

qBym=mv1

(1)

由動能定理

(2)

由式(1)、(2)可得

再由最低點(diǎn)牛頓第二定律得

(3)

聯(lián)立式(1)、(2)、(3)可得R=2ym

可見，當(dāng)小球運(yùn)動到最低點(diǎn)時(shí)，曲率半徑一定等于該點(diǎn)到x軸距離的2倍.

第(3)問和第(2)問方法相同，仍利用水平方向動量定理.

這道題是一個(gè)復(fù)雜的復(fù)合場的題目，筆者從3個(gè)方面用3種方法分析了這道題，當(dāng)然大家可能還有其他的解法，通過分析可以對這種題型有一個(gè)更加清晰的理解.教師在教學(xué)中也應(yīng)當(dāng)對重要的題型多加鉆研，鼓勵(lì)學(xué)生學(xué)會發(fā)散思維.經(jīng)常一題多解，可以鍛煉思維能力，擴(kuò)大視野，提高解題的靈活性.

參考文獻(xiàn)

1 李泓斌.對兩道高考題的分析及引發(fā)的思考.中學(xué)物理,2009,29(13):40