例析數(shù)列知識(shí)在動(dòng)量類問題中的應(yīng)用*①

葉玉琴

(安慶市第二中學(xué) 安徽 安慶 246000)

1 等差數(shù)列與動(dòng)量守恒定律的結(jié)合應(yīng)用

【例1】如圖1，一塊足夠長的木板，放在光滑水平面上；在木板上自左向右依次放有序號(hào)是1,2,3,…，n個(gè)木塊，所有木塊的質(zhì)量均相同，與板間的動(dòng)摩擦因數(shù)也相同.開始時(shí)木板靜止不動(dòng)，第1,2,3,…，n個(gè)木塊的初速度分別為v0,2v0,3v0,…，nv0，方向均向右，并同時(shí)開始運(yùn)動(dòng)，木板質(zhì)量等于所有木塊的總質(zhì)量，最終所有木塊與木板以共同速度勻速前進(jìn)，設(shè)物塊間均無碰撞，試求：

(1)所有木塊與木板的共同速度;

(2)第k(k

解析:(1)木塊和木板之間相互作用的過程中，系統(tǒng)水平方向不受外力作用，滿足動(dòng)量守恒定律，設(shè)所有木塊與木板最終的共同速度為v′，則有

mv0+m2v0+…+mnv0=(nm+nm)v′

即

mv0(1+2+…+n)=2nmv′

利用等差數(shù)列求和公式，則

所以

圖1

(2)第k(k

(km+nm)vk+m(v0+vk)+m(2v0+vk)+…+

m[(n-k)v0+vk]=mv0+m2v0+…+mnv0

整理得

2nmvk+mv0[1+2+…+(n-k)]=

mv0(1+2+…+n)

對(duì)等式兩邊應(yīng)用等差數(shù)列求和公式,得

解得第k號(hào)(k

2 等比數(shù)列與動(dòng)量定理的結(jié)合應(yīng)用

【例2】(2008年高考四川卷)如圖2,一傾角為θ=45°的斜面固定于地面，斜面頂端離地面的高度h0=1 m，斜面底端有一垂直于斜面的固定擋板.在斜面頂端自由釋放一質(zhì)量m=0.09 kg的小物塊(視為質(zhì)點(diǎn));小物塊與斜面之間的動(dòng)摩擦因數(shù)μ=0.2.當(dāng)小物塊與擋板碰撞后，將以原速返回.重力加速度g=10 m/s2.在小物塊與擋板的前4次碰撞過程中，擋板給予小物塊的總沖量是多少？

圖2

解析：設(shè)小物塊從高為h處由靜止開始沿斜面向下運(yùn)動(dòng)，到達(dá)斜面底端時(shí)速度為v.由功能關(guān)系得

(1)

以沿斜面向上為正方向，根據(jù)動(dòng)量定理可得碰撞過程中擋板給小物塊的沖量

I=mv-m(-v)

(2)

設(shè)碰撞后小物塊沿斜面上升所能達(dá)到的最大高度為h′，則

(3)

小物塊再次到達(dá)斜面底端時(shí)的速度為v′，碰撞過程擋板給小物塊的沖量為I′，同理有

(4)

I′=mv′-m(-v′)

(5)

由式(1)～(5)得

可知，小物塊前4次與擋板碰撞受到的沖量成等比級(jí)數(shù)，公比為

首項(xiàng)為

所以前4次碰撞過程中，擋板給予小物塊的總沖量為

I=I1+I2+I3+I4=I1(1+k+k2+k3)=

代入數(shù)據(jù)得

3 等比數(shù)列與動(dòng)量守恒定律的結(jié)合應(yīng)用

【例3】(2004年高考江蘇卷) 一個(gè)質(zhì)量為M的雪橇靜止在水平雪地上;一條質(zhì)量為m的愛斯基摩狗站在該雪橇上.狗向雪橇的正后方跳下，隨后又追趕并向前跳上雪橇；其后又反復(fù)地跳下、追趕并跳上雪橇.狗與雪橇始終沿一條直線運(yùn)動(dòng).若狗跳離雪橇?xí)r雪橇的速度為v，則此時(shí)狗相對(duì)于地面的速度為v+u(其中u為狗相對(duì)于雪橇的速度，v+u為矢量和，若以雪橇運(yùn)動(dòng)的方向?yàn)檎较颍瑒tv為正值，u為負(fù)值).設(shè)狗總以速度v追趕和跳上雪橇，雪橇與雪地間的摩擦忽略不計(jì).已知v的大小為5 m/s，u的大小為4 m/s，M=30 kg，m=10 kg.求：

(1)狗第一次跳上雪橇后兩者的共同速度；

(2)雪橇的最終速度和狗最多能跳上雪橇的次數(shù).

(供使用但不一定用到的對(duì)數(shù)值：lg2=0.301，lg3=0.477)

解析：本題的第2問，是一個(gè)比較有難度的數(shù)列問題.設(shè)雪橇運(yùn)動(dòng)的方向?yàn)檎较?，狗?次、第2次……第n次跳下雪橇后雪橇的速度分別為v1，v2，…，vn，對(duì)應(yīng)狗的速度分別為(v1+u)，(v2+u)，…，(vn+u)，由動(dòng)量守恒定律得

Mv1+m(v1+u)=0

同理,第2次狗跳離雪橇后，有Mv1+mv=Mv2+m(v2+u)，則

第3次狗跳離雪橇后，有Mv2+mv=Mv3+m(v3+u)，則

第n次狗跳離雪橇后，有

若狗追不上雪橇，則vn≥v，化簡整理得

兩邊取對(duì)數(shù)后便可求出n≥3.41，所以狗最多能跳上雪橇3次，將n=4代入vn的表達(dá)式，便可求出雪橇的最終速度為5.625 m/s.

4 非等差等比數(shù)列和動(dòng)量守恒定律的結(jié)合應(yīng)用

【例4】一個(gè)士兵坐在皮劃艇上，他連同裝備和皮劃艇的總質(zhì)量共120 kg.這個(gè)士兵用自動(dòng)步槍在2 s時(shí)間內(nèi)沿水平方向連續(xù)射出10發(fā)子彈，每發(fā)子彈的質(zhì)量是10 g，子彈離開槍口時(shí)相對(duì)步槍的速度是800 m/s.射擊前皮劃艇是靜止的[1].

(1)每次射擊后皮劃艇的速度改變多少？

(2)連續(xù)射擊后皮劃艇的速度是多大？

解析：本題屬于數(shù)列應(yīng)用問題，其中第1問是難度較大的數(shù)列遞推.設(shè)皮劃艇、槍(含子彈)及人整個(gè)系統(tǒng)的質(zhì)量為m，每發(fā)子彈的質(zhì)量為m0，子彈射出運(yùn)動(dòng)的反方向?yàn)檎较?，子彈相?duì)步槍的速度大小為u.

(1)設(shè)第1次射擊后皮劃艇的速度大小為v1，由動(dòng)量守恒定律有

0=(m-m0)v1+m0(v1-u)

于是解得

第2次射擊后

(m-m0)v1=(m-2m0)v2+m0(v2-u)

于是解得

第3次射擊后

(m-2m0)v2=(m-3m0)v3+m0(v3-u)

于是解得

……

第10次射擊后

(m-9m0)v9=(m-10m0)v10+m0(v10-u)

于是解得

所以，設(shè)射出子彈n發(fā)，則每次射擊后皮劃艇速度的改變量為

從表達(dá)式可看出，在射擊時(shí)子彈相對(duì)步槍口的速度不變時(shí)，則每次射擊后皮劃艇速度的改變量不一樣，第1次射擊后改變量最小，然后依次增加.

(2)連續(xù)射擊10次后，可得

從表達(dá)式可以看出，該數(shù)列既非等差數(shù)列也非等比數(shù)列，求和顯然很難.但仔細(xì)觀察不難發(fā)現(xiàn)，可以通過近似處理轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列，然后再求和.代入數(shù)據(jù)后得v10≈0.67 m/s.

參考文獻(xiàn)

1 課程教材研究所.普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書物理·選修3-5.北京：人民教育出版社，2010