一道幾何光學(xué)高考題的兩種新解法

羅聲苗 肖炯

(贛縣中學(xué) 江西 贛州 341100)

圖1

【題目】(2011年高考新課標(biāo)全國(guó)卷第34題)一半圓柱形透明物體橫截面如圖1所示，底面AOB鍍銀(圖中粗線)，O表示半圓截面的圓心，一束光線在橫截面內(nèi)從M點(diǎn)入射，經(jīng)過(guò)AB面反射后從N點(diǎn)射出.已知光線在M點(diǎn)的入射角為30°，∠MOA=60°，∠NOB=30°.求：

(1)光線在M點(diǎn)的折射角；

(2)透明物體的折射率.

方法1:原解

圖2

如圖2，透明物體內(nèi)部的光路為折線MPN，Q,M點(diǎn)相對(duì)于底面EF對(duì)稱，Q,P和N三點(diǎn)共線.

設(shè)在M點(diǎn)處，光的入射角為i，折射角為r，∠OMQ=α，∠PNF=β.根據(jù)題意有

α=30°

(1)

由幾何關(guān)系得，∠PNO=∠PQO=r，∠ONF=60°，

于是

β+r=60°

(2)

根據(jù)反射定律可以知道∠MPE=∠NPF,由幾何關(guān)系容易得

α+r=β

(3)

由式(1)～(3)得

r=15°

(4)

根據(jù)折射率公式有

(5)

代入數(shù)據(jù)得

點(diǎn)評(píng)：筆者認(rèn)為，原解所用到的數(shù)學(xué)知識(shí)本身并不是很難，但是作圖的過(guò)程中所作的輔助線比較多，而且要把半圓的下半部分補(bǔ)充完整，這種情況在數(shù)學(xué)中見(jiàn)得比較多，在物理中應(yīng)用得很少，所以,學(xué)生在考試的時(shí)候，不容易想到這種方法.

方法2：巧用幾何關(guān)系EF=EO+OF=EP+PF求解

如圖3，光線從M點(diǎn)的入射，經(jīng)過(guò)AB面反射后從N點(diǎn)射出,透明物體內(nèi)部的光路為折線MPN.過(guò)M，N點(diǎn)作垂線交底面AB于E，F(xiàn).根據(jù)反射定律，可以知道，∠MPE=∠NPF=θ.由幾何關(guān)系得

EF=EO+OF=EP+PF

(6)

圖3

其中有

EO+OF=Rcos60°+Rcos30°

(7)

(8)

由式(6)～(8)得

θ=45°

(9)

入射角為i，折射角為r， ∠MOE=60°，根據(jù)三角形外角等于相臨兩內(nèi)角和，即

θ+r=60°

(10)

由式(9)、(10)得折射角r=15°，再根據(jù)折射率公式有

點(diǎn)評(píng)：這種方法充分應(yīng)用EF=EO+OF=EP+PF，結(jié)合反射定律，列出等式求出θ角的大小，再應(yīng)用外角與內(nèi)角和的關(guān)系求出r的大小.整個(gè)過(guò)程中所作的輔助線少，用到的都是最簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)知識(shí)，應(yīng)該說(shuō)達(dá)到了用簡(jiǎn)單知識(shí)解決復(fù)雜問(wèn)題的要求.

方法3：應(yīng)用正弦定理求解

如圖3，透明物體內(nèi)部的光路為折線MPN.設(shè)在M點(diǎn)處，入射角為i，折射角為r，在N點(diǎn)射出∠ONP為r′，根據(jù)反射定律有，∠MPE=∠NPF=θ.由題意知道∠MOA=60°，∠NOB=30°.根據(jù)三角形外角等于相臨兩內(nèi)角和得

r+θ=60°

(11)

r′+30°=θ

(12)

在△MOP中由正弦定理得

(13)

同理在△ONP中由正弦定理得

(14)

由式(13)、(14)得

r=r′

(15)

由式(11)、(12)、(15)可以求得r=15°，再根據(jù)折射率公式有

代入數(shù)據(jù)得

點(diǎn)評(píng)：求證r=r′的關(guān)系時(shí)，除了用到正弦定理、光的反射定律之外，并未有任何的附加條件.而正弦定理、光的反射定律都具有普遍性，所以,解題過(guò)程中得到的r=r′也具有普遍性.即在半圓形介質(zhì)中，光線進(jìn)入介質(zhì)經(jīng)底面反射再折射出來(lái)，也和圓形介質(zhì)一樣有這樣一個(gè)普遍結(jié)論即進(jìn)入介質(zhì)的入射角和最后出介質(zhì)的折射角大小總是相等.