一種阻尼振動規(guī)律的研究

姜付錦

(武漢市黃陂區(qū)第一中學(xué) 湖北 武漢 430030)

文獻[1]對在粗糙水平面上的彈簧振子的運動規(guī)律進行了定性和半定量的研究，但是沒有給出振子的振動圖像，不夠系統(tǒng)和完整；文獻[2]對這個模型的a-x,x-t圖像進行了定性和半定量研究，分析方法科學(xué)有效；文獻[3]從這個模型的“雙平衡位置”的角度出發(fā)展開了研究，并得到了a-x,x-t圖像和部分運動規(guī)律．筆者受到以上三篇文章中思想的啟發(fā)，借助MathCAD對這個問題也進行了分析研究，得到了和以上三篇文章中相同的結(jié)果并進行了有效補充，以下是分析過程，文中若有不當之處還請各位物理同仁批評指正．

[題目]如圖1所示，將一根勁度系數(shù)為κ的彈簧與一質(zhì)量為m的物塊相連，置于粗糙的水平面上，已知物塊與水平面的滑動摩擦力大小為f，彈簧處于原長時，物塊位于O點．用力向左緩慢推物塊從O點至A點，且使OA=L，之后撤去外力，物塊將在水平面上來回運動，試分析物塊的運動規(guī)律．

圖1

1 建立模型

如圖2所示，物塊在運動過程中會受到重力G、地面的支持力FN、彈簧的彈力F和地面的滑動摩擦力f作用，其中重力和支持力是一對平衡力．彈簧彈力F與摩擦力f是兩個變力．F的大小方向與彈簧的形變有關(guān)，f的大小一定，方向與振子的運動方向相反，若將f等效為重力則彈簧振子在振動過程中有兩個平衡位置(即文獻[3]中所指的“雙平衡位置”)．若以O(shè)點為坐標原點向右為正方向，建立坐標軸Ox，設(shè)在某一時刻物塊位于P點，偏離原點的位移為x，則物塊運動微分動力學(xué)方程如下

圖2

2 用MathCAD解微分動力學(xué)方程

為了研究問題的方便，不妨令L=10 m,κ=10 N/m,m=1 kg,f=2 N,g=10 m/s2，則上式可整理為

x(0)=-10x′(0)=0

i:=1:5000S:rkfixde (x,0,40,3000,D)

T:S<0>X:=S<1>V:=S<2>

圖3 彈簧振子振動x-t圖像

圖4 彈簧振子振動v-t圖像

圖5 彈簧振子速度v與位移x圖像

圖6 彈簧振子機械能E與位移x圖像

3 圖形分析

上圖中圖3為彈簧振子振動x-t圖像，圖4為彈簧振子振動速度v-t圖像，圖5為彈簧振子速度與位移v-t圖像，圖6為彈簧振子機械能E-x圖像，它們與文[2][3]中的圖一致．

圖7 彈簧振子的x-t圖像

圖8 彈簧振子的v-t圖像

圖9 彈簧振子的v-x圖像

4 彈簧振子的周期

5 彈簧振子振動規(guī)律的解析解

若令L=10 m,κ=10 N/m,m=1 kg,f=2 N,g=10 m/s2，則有

圖10 彈簧振子的x-t圖像

圖11 彈簧振子的v-t圖像

與前面的圖3、圖4、圖5相同，即振動方程為

6 結(jié)語

參考文獻

1 王興堂．粗糙水平面上彈簧振子運動的研究.物理通報，2011(12)：90～91

2 馮德強，黃雄.從一道題的錯解說彈簧振子.物理通報，2011(10)：89～91

3 陸天明.對一道雙平衡位置振動問題的討論.物理通報，2011(10)：92～93

4 姜付錦.此題還有一解——對《正確使用平均值》一文的補充.物理通報，2011(7)：94，98