巧借包絡(luò)線方程 解斜拋中的極值問題

張文理

(南京師范大學附屬中學 江蘇 南京 210003)

研究斜拋運動的常見方法是運動的合成與分解，把運動看作是兩個直線運動的疊加，根據(jù)不同的情景采用不同的分解方法，然后再進行數(shù)學處理．解斜拋中的極值問題，數(shù)據(jù)處理過程中會涉及到復雜的二次函數(shù)、三角函數(shù)極值運算，計算相當繁瑣．選擇合適的分解方法會在一定程度降低分析的難度，但無疑又對學生的思維和熟練程度提出了挑戰(zhàn)．那么，是否存在普適的方法呢？我們不妨嘗試借用包絡(luò)線方程，去求解斜拋中的極值問題．

模型：一大炮發(fā)射炮彈，初速度為v0，忽略空氣阻力和重力加速度變化的影響，求炮彈所能達到區(qū)域的邊界方程．

分析：如圖1所示，設(shè)定拋射點為坐標原點，在拋射平面(豎直平面)內(nèi)建立直角坐標系xOy，沿水平方向和豎直向上方向分別建立x，y軸，θ為初始拋射角，此時，斜拋運動在水平方向上的分運動是勻速直線運動，t時刻的水平位移

x=v0tcosθ

(1)

圖1

在豎直方向上的分運動是豎直上拋運動，t時刻的豎直位移

(2)

(3)

改變θ，將形成一簇拋物線，此拋物線所能達到的區(qū)域邊界曲線稱為拋物線簇的包絡(luò)線，拋物線與包絡(luò)線相切，炮彈是不可能達到包絡(luò)線以外的，如圖2所示．

圖2

將式(3)變形

(4)

式(4)即為包絡(luò)線方程，是一條拋物線．對于三維空間，邊界方程應(yīng)為包絡(luò)面方程，在此不作贅述．

研究包絡(luò)線方程所包含的物理意義，可以得出這樣的結(jié)論：在拋射速度v0確定的情況下，對于包絡(luò)線上的某點(x，y)，若x值確定，y值必為斜拋過程中豎直方向所能達到的最大值；若y值確定，x值必為斜拋過程中水平方向所能達到的最大值；若對應(yīng)于確定的某點(x，y)，v0則對應(yīng)最小值．包絡(luò)線方程所包含的物理意義為斜拋問題提供了思路和便捷．

1 “推擲鉛球”中的極值問題

【例1】如圖3所示,在擲鉛球的運動中,如果運動員出手時的高度為h,速度大小為v0,問速度的方向與水平成多大角時擲得最遠？最遠射程為多少？

圖3

解析：取拋出點為原點，建立如圖3所示的直角坐標系，則落地點y=-h.

根據(jù)包絡(luò)線方程

可得

解方程得

此值即為最遠射程.

拋射角為

2 “翻越固定障礙物”中的斜拋問題

【例2】如圖4所示，從A點以v0的初速度拋出一個小球，在離A點水平距離為s處有一堵高度為h的墻BC，要求小球能越過B點．問小球以怎樣的角度拋出，才能使v0最?。?/p>

圖4

解析：取拋出點為原點，包絡(luò)線經(jīng)過點(s，h)，根據(jù)包絡(luò)線方程

可得

解方程得

此值為拋射速度的最小值.此時拋射角滿足

3 “斜面”上的斜拋問題

【例3】如圖5所示，在仰角α=30°的雪坡上舉行跳臺滑雪比賽，運動員從高處滑下，能在O點借助于器材以大小為v0的速度跳起，最后落在坡上A點，假如v0大小不變，問速度方向以與斜面方向成怎樣的β角起跳能使OA最遠？最遠距離為多少？

圖5

解析：以拋出點為坐標原點，建立如圖6(a)所示的直角坐標系，包絡(luò)線方程為

斜面方程為

y=-xtanα

聯(lián)立可得

圖6

此解即為水平方向的最大射程，LOA為沿斜面方向的最遠距離，由幾何關(guān)系易求得沿斜面的最遠距離

此時拋射角θ(速度與水平方向的夾角)滿足

如進一步運算，還可以得出：速度方向與斜面的

傾角滿足

若改變拋射方式，從斜面底端拋射，如圖6(b)所示，參照以上解題過程，我們很容易得出沿斜面的最遠距離

速度方向與斜面的傾角滿足

4 結(jié)語

通過以上分析，可以體會到包絡(luò)線方程對解決斜拋中極值問題的廣泛適用性和思路的便捷性.方法、模型的遷移推廣，使學生極易掌握分析問題的一般方法，從而獲得成功的體驗．