用電容器的電阻和電容特性公式計(jì)算非平行板電容器的電容

葛松華 唐亞明

(青島科技大學(xué)數(shù)理學(xué)院 山東 青島 266042)

許多文章[1～6]對(duì)非平行板電容器的電容進(jìn)行了計(jì)算，方法不盡相同，但結(jié)論一致，這對(duì)教學(xué)討論來說是非常有意義的．本文再給出一種方法，就是根據(jù)電容器的電阻和電容特性公式，即電容器的漏電電阻R與電容C的乘積等于其間電介質(zhì)的電阻率ρ與電容率ε之積

RC=ρε

(1)

如果計(jì)算出電容器的漏電電阻R，則可得到其電容C，反之亦然.

1 電容器的電阻和電容特性公式

任何兩個(gè)導(dǎo)體，無論其形狀、尺寸如何，當(dāng)它們用絕緣體分隔時(shí)，就形成一個(gè)電容器，討論電容器的介電性和導(dǎo)電性，就是討論其電容和電阻[7]．

如圖1所示，設(shè)一電容器中間充滿各向同性的均勻電介質(zhì)，其電容率為ε，電阻率為ρ.電源連接在電容器上時(shí)，兩導(dǎo)體極板分別帶電+Q和-Q.

圖1 電容器示意圖

兩導(dǎo)體構(gòu)成兩個(gè)等勢(shì)面，其間存在靜電場，兩導(dǎo)體間的電勢(shì)差

導(dǎo)體上的電荷

Q=?SσdS=?SεEndS=ε?SE·dS

則其電容為

(2)

如果中間的電介質(zhì)不是理想的絕緣材料，兩導(dǎo)體間將形成通過絕緣材料的電流，則電介質(zhì)顯示出一定的電阻，這個(gè)電阻常稱為漏電電阻，用R表示．

由于兩導(dǎo)體間有電勢(shì)差

則電介質(zhì)中的電流

根據(jù)歐姆定律，導(dǎo)體間的電阻

(3)

由式(2)和式(3)可得

RC=ρε

上式即為電容器的電阻和電容特性公式，它對(duì)所有的電容器都成立．

2 非平行板電容器的電阻和電容

設(shè)非平行板電容器兩極板的長為l，寬為L，兩極板延長線交于O點(diǎn)，夾角為θ，其橫截面如圖2所示.極板窄端和寬端到原點(diǎn)O的距離分別為R1和R2,且L=R2-R1,極板的長和寬都遠(yuǎn)大于板間距離，可忽略邊緣效應(yīng).

圖2 非平行板電容器示意圖

如圖2，在兩極板間r處，取寬為dr的一段圓弧狀的小體積元，該小體積元的面積為ldr、長為rθ，其電阻

兩極板之間的電阻可視為無限多小體積元電阻的并聯(lián)，根據(jù)電阻的并聯(lián)公式可得

則非平行板電容器的漏電電阻

(4)

根據(jù)式(1)，得到非平行板電容器的電容

(5)

這與用其他方法所得結(jié)果相同.

3 結(jié)束語

電容器是電磁學(xué)中的一個(gè)重要模型，也是電子技術(shù)中的一個(gè)重要器件，根據(jù)電容器的電阻和電容特性，如果知道了電阻可求得其電容，反之亦然，尤其是對(duì)一些計(jì)算復(fù)雜的模型來說，此方法簡單易行．在教學(xué)過程中，用此種方法計(jì)算或估算一些電磁參數(shù)是非常有實(shí)際意義的. 另外，在實(shí)驗(yàn)中可以用穩(wěn)恒電流場的模擬法得到不同模型的電阻值，從而求出其電容[8].

參考文獻(xiàn)

1 鄭民偉.非平行板電容器電容和電場的一種計(jì)算.大學(xué)物理，2001,20(2)：17～18

2 秦德培.非平行板電容器電容和電場的簡化計(jì)算.大學(xué)物理，1995,14(1)：13～14

3 李建青，馬爭爭，田旭.非平行板電容器電容和電場的兩種計(jì)算方法之討論.大學(xué)物理，2008,27(8)：27～28

4 王利敏，李長群，趙雙義.非平行板電容器電容的又一算法.大學(xué)物理，2006,25(4)：13～14

5 葛松華.非平行板電容器電場和電容的另一種計(jì)算.大學(xué)物理，2004,23(11)：34，41

6 鄭民偉.非平行板電容器電場和電容的進(jìn)一步計(jì)算.大學(xué)物理，2010,29(12)：10～11

7 賈起民，鄭永令，陳暨耀.電磁學(xué)(第二版).北京： 高等教育出版社，2001. 378～379

8 (美)William H.Hayt,(美)Jr. John A. Buck著.徐安士，周樂柱譯.工程電磁學(xué)(第六版). 北京： 電子工業(yè)出版社，2004. 134～136