矩估計法的理論注釋

范 光，李廣明

（1.十堰職業(yè)技術(shù)學(xué)院公共課部湖北十堰442000；2.丹江口實驗中學(xué)湖北丹江口）

估計理論是數(shù)理統(tǒng)計學(xué)的重要內(nèi)容之一，隨機(jī)變量 的數(shù)字特征同它的概率分布中的參數(shù)有一定關(guān)系，因而，對數(shù)字特征的估計問題，稱之為參數(shù)的估計問題。

矩法估計量：設(shè)總體ξ的分布函數(shù)F（x；θ1，…，θl）中有l(wèi)個未知參數(shù)，假定總體ξ的l階原點矩E（ξl）存在，并記

（k＝1，2，…，l），由下列方程組

對總體ξ進(jìn)行n次重復(fù)的、獨立的觀察，得到總體ξ的一個簡單隨機(jī)樣本ξ1，ξ2，…，ξn，這n個隨機(jī)變量相互獨立，并且與總體ξ服從相同的分布。

定義1 設(shè)ξ1，ξ2，…，ξn是n個隨機(jī)變量，F(xiàn)ξ1，ξ2，…，ξn（x1，x2，…，xn）及Fξi（xi）分別為（ξ1，ξ2，…，ξn），ξi（i ＝ 1，2，…，n）的 分 布 函 數(shù)， 若 對 任 意 實 數(shù) x1，x2，…，xn， 有 Fξ1，ξ2，…，ξn（x1，x2，…，xn）＝Fξ1（x1）Fξ2（x2）…Fξn（xn）則稱ξ1，ξ2，…，ξn是相互獨立的［1］133。

由ξ1，ξ2，…，ξn的獨立性可知根據(jù)定義1，ξk1，ξk2，…，ξkn相互獨立。

定理2 （辛欽定理）［2］對于獨立同分布隨機(jī)變量序列ξ1，ξ2，…，ξn，…如果數(shù)學(xué)期望Eξi＝μ（i＝1，2，…）存在，則

定義2 設(shè)ξ1，ξ2，…，ξn，…為一隨機(jī)變量序列，若對于任意S個隨機(jī)變量ξi1，ξi2，…，ξin，…相互獨立，則稱隨機(jī)變量序列ξ1，ξ2，…，ξn，…是相互獨立的隨機(jī)變量序列［1］133。

顯然，如果ξi與ξ同分布，那么與ξk同分布。

其次，

因此，樣本k階原點矩是總體k階原點矩μk的無偏估計量［3］。

綜合以上，得到矩估計法：

設(shè)總體ξ的分布中含有未知參數(shù)θ1，θ2，…，θk，ξ1，ξ2，…，ξn是來自總體ξ的一個樣本，取樣本矩作為總體矩的估計量，注意到總體矩是未知參數(shù)的函數(shù)，有

求這個方程組的解，得θi＝θi（ξ1，ξ2，…，ξn），（i＝1，2，…，n），于是未知參數(shù)θi的估計量為＝θi（ξ1，ξ2，…，ξn），（i＝1，2，…，n）。

例 假設(shè)隨機(jī)變量X服從區(qū)間［a，b］上的均勻分布，參數(shù)a，b未知，X1，…，Xn是來自X的一個樣本，求參數(shù)a與b的矩估計。

解 首先，我們需要將被估計的參數(shù)a與b分別表示為總體矩的函數(shù)。記EX＝μ，DX＝σ2則有

于是可以建立關(guān)于a與b的方程組

解出

因此 a與b矩估計分別為

其中

當(dāng)進(jìn)行矩估計時，如果被估計的參數(shù)不是總體矩本身而是總體矩的函數(shù)時，應(yīng)該首先將被估計的未知參數(shù)θ表示為總體矩的函數(shù)，然后再用樣本相應(yīng)矩的同一函數(shù)θ作為該參數(shù)θ的矩估計，這往往是矩估計方法的關(guān)鍵所在。

［1］中山大學(xué)數(shù)學(xué)力學(xué)系.概率論及數(shù)理統(tǒng)計［M］.北京：高等教育出版社，1980.

［2］周概容.概率論與數(shù)理統(tǒng)計［M］.北京：高等教育出版社，1984：378.

［3］盛 驟.概率論與數(shù)理統(tǒng)計［M］.北京：高等教育出版社，2004：189.