矩法估計的幾點注記

宋立新，孔祥騫

(吉林師范大學(xué) 數(shù)學(xué)學(xué)院，吉林 四平 136000)

矩法估計的幾點注記

宋立新，孔祥騫

(吉林師范大學(xué) 數(shù)學(xué)學(xué)院，吉林 四平 136000)

矩法估計是一種常用的點估計方法，具有一定的優(yōu)良性和廣泛的實用性．在矩法估計的基本內(nèi)容之外，明確提出矩法估計幾個需要注意的問題．

樣本；參數(shù)點估計；矩法估計

0 引言

矩法估計是最古老的參數(shù)點估計方法之一，它是由英國統(tǒng)計學(xué)家卡爾·皮爾遜(Karl·Pearson)于1894年提出的[1]．一直以來，矩法估計都是統(tǒng)計學(xué)者們研究的熱點問題，文獻(xiàn)[7]討論了兩種矩法定義的比較；文獻(xiàn)[8]給出了一些矩法估計的理論注釋；文獻(xiàn)[10]對矩法估計的若干問題進(jìn)行了討論.由于矩法估計原理簡單，使用方便，因此在實際問題中應(yīng)用較多.但還有一些問題需要重點強調(diào).

1 幾點注記

1.1 矩法估計的原理

矩法估計的原理是替換原則[8]，即用樣本矩去替換總體矩，用樣本矩的某函數(shù)去替換相應(yīng)的總體矩的函數(shù)[1]．替換原則的實質(zhì)就是用經(jīng)驗分布函數(shù)去替換總體分布函數(shù)[1，2，3]，它的理論基礎(chǔ)就是格里紋科定理．

需要說明的是，各種大數(shù)定律也是替換原則的理論依據(jù)[9]．

1.2 矩方程的階數(shù)和個數(shù)

首先說明矩估計可能不唯一．

例1：X～P(λ)，λ>0且未知,抽取容量為n的樣本，求λ的矩估計．

這說明了矩估計可能不唯一．

其次說明當(dāng)矩估計不唯一時，應(yīng)該要求用到矩的階數(shù)盡可能的小，從而對總體的要求盡可能的少．這是因為在概率論中，隨機變量的高階矩存在，則比其低的階的矩都存在．而低階矩存在，較高階的矩卻未必存在．

三是要注意未必參數(shù)是一維的就一定用一階矩來估計．

便是θ的矩估計量.

四是注意到，還有的時候，求一個參數(shù)的矩估計要同時用一階矩和二階矩來估計．

1.3 矩估計不能充分利用總體的信息

矩法估計只涉及到總體的一部分信息，并未涉及到總體的分布．

例4：設(shè)總體X的均值E(X)以及方差D(X)都存在，但是均未知，又設(shè)x1,x2,…,xn是來自總體的子樣，求E(X)和D(X)的矩估計量．

解：因為E(X2)=D(X)+[E(X)]2所以根據(jù)替換原則可得矩方程組

解得E(X)和D(X)的矩估計量分別為

從這個例子可以看出，不管總體是哪一種分布，總體均值的矩估計都是子樣均值，總體方差的矩估計都是子樣方差，所以它不能很好的利用樣本帶來的總體信息；

另一方面，由于柯西分布的原點矩不存在，所以矩估計不能夠使用．

1.4 矩估計是以大樣本為應(yīng)用對象的

雖然矩法估計具有一定的優(yōu)良性，但是這種優(yōu)良性只有在樣本容量n較大的時候才能夠保障．隨著樣本容量n的增大，經(jīng)驗分布函數(shù)越來越接近總體分布函數(shù)，當(dāng)容量n相當(dāng)大的時候，經(jīng)驗分布函數(shù)是總體分布函數(shù)的一個良好的近似．矩估計是以格里紋科定理為理論基礎(chǔ)的，而格里紋科定理是大樣本結(jié)論，所以矩估計是以大樣本為應(yīng)用對象的．

1.5 替換原則

替換原則不僅可以用原點矩，而且可以用中心矩，還可以用頻率、樣本偏度、樣本峰度、樣本中位數(shù)或樣本P分位數(shù).

根據(jù)替換原則，在一些總體分布形式未知的場合也可以對各種參數(shù)做出估計，例如：用事件A出現(xiàn)的頻率去估計事件A發(fā)生的概率；用樣本的p分位數(shù)估計總體的p分位數(shù)．

例6：X～N(μ,1)，現(xiàn)觀測n次，其中有k個值為正，求μ的矩估計

實際上，在具體實踐操作上，總體矩總是未知的，而樣本偏度，樣本峰度等樣本矩是較容易得到的，所以用樣本矩去替換總體矩，用樣本矩的某函數(shù)去替換相應(yīng)的總體矩的函數(shù)是一種行之有效的方法．

以上，就是關(guān)于矩估計的幾點注記，在學(xué)習(xí)與應(yīng)用的過程中需要注意，以更好的理解和使用矩估計．

[1]茆詩松，王靜龍，濮曉龍.高等數(shù)理統(tǒng)計[M]第二版.北京：高等教育出版社，2006.

[2]茆詩松，程依明，濮曉龍.概率論與數(shù)理統(tǒng)計教程[M].第二版.北京:高等教育出版社,2011.

[3]陳希孺.數(shù)理統(tǒng)計引論[M].北京：科學(xué)出版社，1981．

[4]劉玉霜,宋立新.定數(shù)截尾試驗下雙參數(shù)威布爾分布尺度參數(shù)的EB估計[J].吉林師范大學(xué)學(xué)報(自然科學(xué)版),2004(2):16～18.

[5]李振福.長春市城市人口的Logistic模型預(yù)測[J].吉林師范大學(xué)學(xué)報(自然科學(xué)版),2003,(1):16～19.

[6]劉銀萍,高 敏,王 艷.定時截尾情形具有部分缺失數(shù)據(jù)兩個幾何總體參數(shù)的估計與檢驗[J].吉林師范大學(xué)學(xué)報(自然科學(xué)版),2013,34(3):10～14.

[7]楊 凱，宋立新.關(guān)于兩種矩法定義的異同比較[J].渤海大學(xué)學(xué)報,2012,(3):208～211.

[8]范 光,李廣明.矩估計法的理論注釋[J].十堰職業(yè)技術(shù)學(xué)院學(xué)報,2012,(1):98～100.

[9]張永利.矩估計的基本原理及其解題方法[J].巢湖學(xué)院學(xué)報,2005,(3):47～49.

[10]王宗堯,姜紅燕,朱紅波.矩估計法的若干問題討論[J].菏澤學(xué)院學(xué)報,2013,(2):10～13.

SomeNotesontheMomentMethodofEstimation

SONGLi-xin,KONGXiang-qian

(College of Mathematics,Jilin Normal University,Siping 136000,China)

The moment method of estimation is a commonly used point estimation,it has good and extensive practicability.In addition to the basic content of moment method of estimation，the several issues about the moment method of estimation which should be paid attention to have been clearly stated.

sample;parameter point estimation;moment method of estimation

梁懷學(xué))

2013-09-02

吉林省教育廳科技十二五規(guī)劃資助項目(吉教科合字[2012]369號)

宋立新(1954-)，男，吉林省乾安縣人，吉林師范大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院教授，碩士生導(dǎo)師，研究方向：數(shù)理統(tǒng)計．

O212.1

A

1674-3873-(2014)03-0082-03