基于 AR（1）－GARCH（1，1）模型的SHIBOR利率波動(dòng)性研究

馬鵬程，吳莎莎，韓振芳

（河北北方學(xué)院理學(xué)院，河北 張家口075000）

0 引 言

利率的時(shí)間序列數(shù)據(jù)一般具有方差時(shí)變的特點(diǎn)，即在某一時(shí)期其波動(dòng)劇烈而另一時(shí)期又相對(duì)平緩，表現(xiàn)出 “波動(dòng)聚集，高峰厚尾，持久記憶”等現(xiàn)象.經(jīng)典的時(shí)間序列模型 （例如ARMA模型）已不能較好地?cái)M合此類數(shù)據(jù)，Engle（1982）提出自回歸條件異方差 （ARCH）模型［1，2］，把方差和條件方差區(qū)分開，讓條件方差作為過去誤差的函數(shù)而變化，為解決異方差提供新的途徑.Bollerslev（1986）在此基礎(chǔ)上提出廣義自回歸條件異方差 （GARCH）模型［3，4］，讓條件方差作為過去誤差和滯后條件方差的函數(shù)而變化，更好地體現(xiàn)出波動(dòng)聚集效應(yīng).

作為國家重點(diǎn)推出的基準(zhǔn)利率，上海銀行間同業(yè)拆放利率 （SHIBOR）已成為貨幣市場(chǎng)乃至整個(gè)資本市場(chǎng)價(jià)格波動(dòng)的風(fēng)向標(biāo)［5，6］.因此，對(duì)SHIBOR利率的動(dòng)態(tài)特性進(jìn)行研究，其理論價(jià)值和現(xiàn)實(shí)意義是不言而喻的.鑒于此，本文使用隔夜拆借利率數(shù)據(jù)為樣本，利用AR（1）－GARCH（1，1）［7］模型對(duì)SHIBOR市場(chǎng)利率的動(dòng)態(tài)特性進(jìn)行研究，以期對(duì)投資和風(fēng)險(xiǎn)管理進(jìn)行指導(dǎo)［8－10］.

1 模型設(shè)定

ARMA（p，q）模型的一般形式定義為：

（1）式中 ｛Yt｝是實(shí)平穩(wěn)時(shí)間序列，Yt－i是Yt的滯后期隨機(jī)變量 （i＝1，Λ，p），誤差項(xiàng)εt是白噪聲（j＝1，Λ，q），μ是常數(shù)項(xiàng)，φi，θj為參數(shù).

GARCH （p，q）模型［9，10］的一般形式定義為：

（2）式中ht＝E｜Ωt－1），Ωt－1是時(shí)刻t－1及t－1之前的全部信息，φi、φi、ω、γi、αj為參數(shù).γt≥0，αj≥0且 ＜1，（i＝1，2，Λ，p，j＝1，2，Λ，q），et是均值為0，方差為1的白噪聲.稱 （2）式為自回歸帶有自相關(guān)誤差的廣義自回歸條件異方差模型，記為AR（k）－AR（m）－GARCH（p，q）模型；當(dāng)γi＝0，i＝1，2，Λ，p時(shí)，稱為 AR（k）－AR（m ）－ARCH（q）模型；而當(dāng)φi＝0，i＝1，2，Λ，m 時(shí)，稱為AR（k）－GARCH（p，q）模型.

2 數(shù)據(jù)描述

本文選取2006年10月8日至2009年9月4日間的SHIBOR隔夜拆借利率日數(shù)據(jù)為樣本對(duì)SHIBOR利率動(dòng)態(tài)特性進(jìn)行研究，樣本容量為733.圖1和圖2分別為SHIBOR市場(chǎng)隔夜拆借利率及其一階差分圖，圖3則給出了利率分布的柱狀圖及基本統(tǒng)計(jì)量.

圖1 SHIBOR市場(chǎng)隔夜拆借利率

圖2 SHIBOR市場(chǎng)隔夜拆借利率一階差分

圖3 SHIBOR市場(chǎng)隔夜拆借利率分布柱狀圖及基本統(tǒng)計(jì)量

由圖1和2可以看出，SHIBOR市場(chǎng)隔夜拆借利率波動(dòng)明顯呈現(xiàn)出波動(dòng)聚集和長期記憶效應(yīng)，而由圖3可看出隔夜拆借利率分布明顯呈現(xiàn)尖峰厚尾的特征.以上分析顯示隔夜拆借利率序列具有明顯的條件異方差特點(diǎn)，為對(duì)此判斷進(jìn)行驗(yàn)證，本文進(jìn)一步對(duì)隔夜拆借利率序列進(jìn)行ARCH檢驗(yàn)，結(jié)果如表1所示：

表1 隔夜拆借利率序列ARCH L M檢驗(yàn)結(jié)果

由表1可知，隔夜拆借利率序列具有明顯的條件異方差結(jié)構(gòu)，因此本文利用GARCH模型對(duì)其波動(dòng)特性進(jìn)行研究.

3 模型選擇

為對(duì)隔夜拆借利率序列進(jìn)行建模型，本文首先對(duì)其進(jìn)行ADF單位根檢驗(yàn)以避免出現(xiàn)假回歸，結(jié)果如表2所示：

表2 隔夜拆借利率序列ADF檢驗(yàn)結(jié)果

由表2可知，隔夜拆借利率序列不存在單位根，為平穩(wěn)序列，因此可對(duì)其利用時(shí)間序列方法進(jìn)行建模研究.利用AIC和SBC信息準(zhǔn)則以及對(duì)數(shù)似然值對(duì)時(shí)間序列模型進(jìn)行比較，發(fā)現(xiàn)AR（1）最為適合，結(jié)果如表3所示：

表3 各時(shí)間序列模型擬合效果對(duì)比

由表3可知，AR（1）模型的AIC和SBC信息準(zhǔn)則均為最小，且其對(duì)數(shù)似然值最大，因此AR（1）模型為最優(yōu)模型.

接下來，由于隔夜拆借利率序列具有條件異方差性，因此本文在AR（1）模型框架下利用GARCH模型對(duì)其波動(dòng)率進(jìn)行建模，并基于AIC和SBC信息準(zhǔn)則以及對(duì)數(shù)似然值選擇GARCH模型的階數(shù)，結(jié)果如表4所示：

表4 各階數(shù)GARCH模型擬合效果對(duì)比

由表3可知，AR（1）－GARCH（1，1）模型的AIC和SBC信息準(zhǔn)則均為最小，且其對(duì)數(shù)似然值最大，因此AR（1）－GARCH（1，1）模型為最優(yōu)模型，其模型估計(jì)結(jié)果如表5所示：

表5 AR（1）－GARCH（1，1）模型估計(jì)結(jié)果

由表5中φ1的取值可知，SHIBOR市場(chǎng)隔夜拆借利率的變動(dòng)與其前一期利率的變動(dòng)關(guān)系十分緊密；而由γ1和α1的取值可知，隔夜拆借利率波動(dòng)受前一期利率波動(dòng)的影響很大，具有很強(qiáng)的持續(xù)性.

圖4和表6分別給出了 AR（1）－GARCH（1，1）模型的數(shù)據(jù)擬合情況以及殘差的ARCH L M檢驗(yàn)結(jié)果.

由圖4可以看出，AR（1）－GARCH（1，1）模型對(duì)于隔夜拆借利率數(shù)據(jù)具有很好的擬合性，而表6中模型殘差的ARCH L M檢驗(yàn)結(jié)果表明標(biāo)準(zhǔn)殘差不存在額外的ARCH效應(yīng)，表明AR（1）－GARCH（1，1）模型很好地刻畫了隔夜拆借利率的條件異方差性.因此，可以使用該模型對(duì)隔夜拆借利率的未來波動(dòng)進(jìn)行預(yù)測(cè).圖5給出了樣本期內(nèi)模型的條件標(biāo)準(zhǔn)差預(yù)測(cè).

表6 AR （1）－GARCH （1，1）模型殘差的ARCH L M檢驗(yàn)結(jié)果

4 結(jié) 論

本文使用隔夜拆借利率數(shù)據(jù)為樣本，利用AR（1）－GARCH（1，1）模型對(duì)SHIBOR市場(chǎng)利率的動(dòng)態(tài)特性進(jìn)行研究.研究結(jié)果表明，首先，SHIBOR隔夜拆借利率存在條件異方差性；其次，本文 所 使 用 的 AR （1）－GARCH（1，1）模型能夠很好地刻畫SHIBOR隔夜拆借利率序列的自相關(guān)性和條件異方差現(xiàn)象，進(jìn)而可以準(zhǔn)確地對(duì)其波動(dòng)性進(jìn)行估計(jì)和預(yù)測(cè)；再次，SHIBOR市場(chǎng)隔夜拆借利率的變動(dòng)與其前一期利率的變動(dòng)關(guān)系十分緊密，而隔夜拆借利率波動(dòng)受前一期利率波動(dòng)的影響很大，具有很強(qiáng)的持續(xù)性.

圖5 樣本期內(nèi)AR （1）－GARCH （1，1）模型的條件標(biāo)準(zhǔn)差預(yù)測(cè)

［1］ Ti m B.Generalized autoregressive conditional heteroskedasticity［J］.J Econo m，1986，（31）：307－327

［2］ 陳澤中，李鋒，楊啟智.中國股票市場(chǎng)的ARCH效應(yīng)研究 ［J］.浙江統(tǒng)計(jì)，2000，（04）：26－27

［3］ Engle RF.Autoregressive conditional heter oskedasticity with estimates of the variance of U.K.inflation ［J］.Econometrica，1982，（50）：987－1008

［4］ 劉國旗.非線性GARCH模型在中國股市波動(dòng)預(yù)測(cè)中的應(yīng)用研究 ［J］.統(tǒng)計(jì)研究，2000，（01）：49－52

［5］ Tor ben GA，Ti m B，F(xiàn)rancis XD，et al.The distribution of realized exchange rate volatility［J］.J Amer Stati Assoc，2001，96 （453）：42－55

［6］ Javiera A，Stefan N.Central bank intervention and exchange rates：the case of Sweden ［J］.J Inter n Financi Mar kets Instit Money，2000，（10）：303－322

［7］ 葉青.基于GARCH和半?yún)?shù)法的Va R模型及其在中國股市風(fēng)險(xiǎn)分析中的應(yīng)用 ［J］.統(tǒng)計(jì)研究，2000， （12）：25－29

［8］ Chris B，Si mon PB.Forecasting exchange rate volatility using conditional variance models selected by information criteria ［J］.Econo m Lett，1998，（61）：273－278

［9］ Ljung G，Box G.A measure of lack of fit in time series models［J］.Biometrika，1979，66 （02）：65－70

［10］ Jar que C，Bera A.Efficient tests for normality，honoskedasticity，and serial independence of regression residuals［J］.Econom Lett，1980，6 （02）：55－59