2－度量空間上具有唯一公共不動點的映射族的收縮型條件

嚴今石，樸勇杰，崔海蘭

（1.延邊教育出版社，吉林 延吉133000；2.延邊大學(xué)理學(xué)院 數(shù)學(xué)系，吉林 延吉133002；3.吉林市朝鮮族中學(xué)，吉林132021）

2－度量空間上具有唯一公共不動點的映射族的收縮型條件

嚴今石1，樸勇杰2＊，崔海蘭3

（1.延邊教育出版社，吉林 延吉133000；2.延邊大學(xué)理學(xué)院 數(shù)學(xué)系，吉林 延吉133002；3.吉林市朝鮮族中學(xué)，吉林132021）

利用新的收縮型條件，給出了完備的2－度量空間（X，d）上的自映射族｛Ti｝i∈N具有唯一公共不動點的定理.該結(jié)果推廣和改進了很多2－度量空間上的收縮型映射族的唯一公共不動點定理.

2－度量空間；柯西序列；收縮條件；公共不動點

有關(guān)在2－度量空間上的自映射族具有唯一公共不動點的定理已有許多報道［1－7］，其中大部分所得結(jié)論都是在非常弱的收縮型或擬收縮型假設(shè)下得到的，而且沒有附加映射族滿足交換律、序列連續(xù)及在某一點一致有界［3］等條件，這些結(jié)果推廣和改進了很多相關(guān)的結(jié)果.本文將引進一種新的收縮型條件，并給出當自映射族滿足一定條件時具有唯一公共不動點的定理，以進一步推廣和完善公共不動點理論.

1 基本概念

定義1 2－度量空間（X，d）是指1個集合和1個映射d∶X×X×X→［0，＋∞）滿足下列條件：① 對X中2個不同的元x，y，存在u∈X使得d（x，y，u）≠0；② 當x，y，z中至少有2個相等時，d（x，y，z）＝0；③d（x，y，z）＝d（u，v，w），其中｛u，v，w｝是｛x，y，z｝的1個排列；④d（x，y，z）≤d（x，y，u）＋d（x，u，z）＋d（u，y，z），對任何x，y，z，u∈X.

定義2 2－度量空間X的1個序列｛xn｝為柯西序列是指對任何ε＞0，存在正整數(shù)N使得n，m＞N時，d（xn，xm，a）＜ε；即limn，m→＋∞d（xn，xm，a）＝0，對任何a∈X.

定義3 序列｛xn｝收斂于x∈X是指對任何ε＞0，存在正整數(shù)N使得n＞N時，d（xn，x，a）＜ε；即limn→＋∞d（xn，x，a）＝0，對任何a∈X，并簡記為xn→x.

定義4 1個2－度量空間X被稱為完備的是指X中的每1個柯西序列都收斂.

下列引理可在文獻［4－7］中查到.

引理1 如果｛xn｝是2－度量空間的1個序列，并且存在h∈ ［0，1）滿足d（xn＋1，xn，a）≤hd（xn，xn－1，a），對任何a∈X和n＝1，2，…，則d（xn，xm，xl）＝0，對所有n，m，l∈N，且｛xn｝是柯西序列.

引理2 如果｛xn｝是2－度量空間中收斂于x的1個序列，則limn→＋∞d（xn，b，c）＝d（x，b，c），對任何b，c∈X.

2 定理及其證明

定理1 設(shè)（X，d）是完備的2－度量空間，｛Ti｝i∈N是X上的自映射族.如果存在使得對任何x，y，a∈X成立

其中ui，j（x，y，a）∈ ｛d（x，Tix，a），d（y，Tjy，a），d（x，Tjy，a），d（Tix，y，a），d（x，y，a）｝，則 自 映 射 族｛Ti｝i∈N在X中有唯一的公共不動點.

證明 任意選定x0∈X，并定義xn＋1＝Tn＋1xn，則可得到1個序列｛xn｝n∈N.對任何n∈N及a∈X，根據(jù)（1）式有

其 中un，n＋1（xn－1，xn，a） ∈ ｛d（xn－1，Tnxn－1，a），d（xn，Tn＋1xn，a），d（xn－1，Tn＋1xn，a），d（Tnxn－1，xn，a），d（xn－1，xn，a）｝.當un，n＋1（xn－1，xn，a）＝d（xn－1，Tnxn－1，a）＝d（xn－1，xn，a）時，（2）式變成d（xn，xn＋1，a）≤kd（xn－1，xn，a）.當un，n＋1（xn－1，xn，a）＝d（xn，Tn＋1xn，a）＝d（xn，xn＋1，a）時，（2）式變成d（xn，xn＋1，a）≤kd（xn，xn＋1，a）.因此，由k＜1可 知，d（xn，xn＋1，a）＝0 ≤kd（xn－1，xn，a）.當un，n＋1（xn－1，xn，a）＝d（x，Tx，a）＝d（x，x，a）時，由（2）式和條件 ④ 得

由于d（xn－1，xn，xn＋1）＝d（Tnxn－1，Tn＋1xn，xn－1）≤kun，n＋1（xn－1，xn，xn－1），其中un，n＋1（xn－1，xn，xn－1）∈｛d（xn－1，Tnxn－1，xn－1），d（xn，Tn＋1xn，xn－1），d（xn－1，Tn＋1xn，xn－1），d（Tnxn－1，xn，xn－1），d（xn－1，xn，xn－1）｝＝｛d（xn－1，xn，xn＋1），0｝，因此由k＜1可推出，d（xn－1，xn，xn＋1）＝0.于是（3）式變成d（xn，xn＋1，a）≤k［d（xn－1，xn，a）＋d（xn，xn＋1，a）］，并得到d（xn，xn＋1，a）≤k1－kd（xn－1，xn，a）.當un，n＋1（xn－1，xn，a）＝d（Tnxn－1，xn，a）＝d（xn，xn，a）＝ 0 時，（2）式 顯 然 變 成d（xn，xn＋1，a）＝ 0 ≤kd（xn－1，xn，a）.當un，n＋1（xn－1，xn，a）＝d（xn－1，xn，a）時，（2）式變成d（xn，xn＋1，a）≤kd（xn－1，xn，a）.綜合上述結(jié)果可得

其中un，m＋1（u，xm，a）∈｛d（u，Tnu，a），d（xm，Tm＋1xm，a），d（u，Tm＋1xm，a），d（Tnu，xm，a），d（u，xm，a）｝＝｛d（u，Tnu，a），d（xm，xm＋1，a），d（u，xm＋1，a），d（Tnu，xm，a），d（u，xm，a）｝.當un，m＋1（u，xm，a）＝d（u，Tnu，a）時，（4）式變成d（u，Tnu，a）≤kd（u，Tnu，a）＋d（u，xm＋1，a）＋d（u，Tnu，xm＋1）.令m→＋∞，則由引理2和條件 ② 可得d（u，Tnu，a）≤kd（u，Tnu，a）.于是由k＜1可得d（u，Tnu，a）＝0.當un，m＋1（u，xm，a）＝d（xm，xm＋1，a）時，（4）式變成d（u，Tnu，a）≤kd（xm，xm＋1，a）＋d（u，xm＋1，a）＋d（u，Tnu，xm＋1）.令m→＋∞，則由引理2、柯西條件和條件 ② 可得d（u，Tnu，a）＝0.當un，m＋1（u，xm，a）＝d（u，xm＋1，a）時，（4）式變成d（u，Tnu，a）≤kd（u，xm＋1，a）＋d（u，xm＋1，a）＋d（u，Tnu，xm＋1）.令m→＋ ∞，則由引理2和條件② 可得d（u，Tnu，a）＝0.當un，m＋1（u，xm，a）＝d（Tnu，xm，a）時，（4）式變成d（u，Tnu，a）≤kd（Tnu，xm，a）＋d（u，xm＋1，a）＋d（u，Tnu，xm＋1）.令m→＋∞，則由引理2和條件 ② 可得d（u，Tnu，a）≤kd（u，Tnu，a），于是由k＜1得d（u，Tnu，a）＝0.當un，m＋1（u，xm，a）＝d（u，xm，a）時，（4）式變成d（u，Tnu，a）≤kd（u，xm，a）＋d（u，xm＋1，a）＋d（u，Tnu，xm＋1）.令m→＋∞，則由引理2和條件 ② 可得d（u，Tnu，a）＝0.

綜合以上結(jié)果，得到d（u，Tnu，a）＝0，?n∈N.于是Tnu＝u，?n∈N，即證明了u是｛Ti｝n∈N的公共不動點.

如果v∈X也是｛T｝n∈N的公共不動點，由于u＝T1u，v＝T2v，因此根據(jù)條件（1）得到對任何a∈X有d（u，v，a）＝d（T1u，T2v，a）≤ku1，2（u，v，a），其中u1，2（u，v，a）＝ ｛d（u，T1u，a），d（v，T2v，a），d（u，T2v，a），d（T1u，v，a），d（u，v，a）｝＝ ｛0，d（u，v，a）｝.因此由k＜1可推出d（u，v，a）＝0，?a∈X，于是u＝v，即證明了u是｛Ti｝n∈N的唯一公共不動點.

注記 本定理中采用的收縮型條件不同于本文參考文獻及相關(guān)論文中給出的收縮型條件.文獻中的條件主要采用了線性組合形式的收縮型條件，或用某種多元函數(shù)限制的收縮型條件，因此可以說本文利用新的收縮型條件得到的2－度量空間上的公共不動點定理，是對公共不動點理論的進一步推廣和發(fā)展.

［1］Singh S L.Contractive type principles on 2－metric spaces and applications［J］.Math Sem Notes，1979，7：1－11.

［2］樸勇杰.2－度量空間上收縮型非交換自映射族的唯一公共不動點定理［J］.延邊大學(xué)學(xué)報：自然科學(xué)版，2006，32（1）：5－7.

［3］Yang Hansheng，Xiong Dasheng.A common fixed point theorem onp－metric spaces［J］.Yunnan Normal Univ：Natural Sci，2001，21（1）：9－12.

［4］樸勇杰.2－度量空間上具有唯一公共不動點的擬收縮型非交換自映射族［J］.黑龍江大學(xué)學(xué)報：自然科學(xué)版，2006，23（5）：655－657.

［5］Piao Yongjie.Unique common fixed point of a family of self－maps with same type contractive condition in 2－metric space［J］.Anal Theo Appl，2008，24（4）：316－320.

［6］樸勇杰.2－度量空間上具有相同擬收縮型條件的自映射族的唯一公共不動點定理［J］.南京大學(xué)學(xué)報：數(shù)學(xué)半年刊，2010，27（1）：82－87.

［7］Piao Yongjie.Uniqueness of common fixed points for a family of mappings withφ－contractive condition in 2－metric spaces［J］.Applied Mathematics，2012，3（1）：73－77.

A contractive condition of mappings having an unique common fixed point on 2－metric spaces

YAN Jin－shi1，PIAO Yong－jie2＊，CUI Hai－lan3
（1.YanbianEducationPublishingCompany，Yanji133000，China；2.DepartmentofMathematics，Collegeof
Science，YanbianUniversity，Yanji133002，China；3.JilinKoreanNationalityMiddleSchool，Jilin132021，China）

A ne wcontractive condition is considered，and an unique common fixed point theorem for self－mappings｛Ti｝i∈Non a 2－metric space（X，d）is given.The result generalizes and improves many unique common fixed point theorem for mappings with contractive conditions on 2－metric spaces.

2－metric space；Cauchy sequence；contractive condition；unique common fixed point

O189.11

A

1004－4353（2012）01－0017－03

2012－02－27＊通信作者：樸勇杰（1962—），男，理學(xué)博士，教授，研究方向為非線性分析.

吉林省教育廳“十二五”科學(xué)技術(shù)研究項目（吉教科字號第2011［434］）