變進(jìn)數(shù)VCN概述

葉球?qū)O 劉用麟

(武夷學(xué)院 數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)系，福建 武夷山354300)

1 引言

文獻(xiàn)[1][2]提出創(chuàng)新廣義數(shù)——變進(jìn)數(shù)(VCN,Variable Carrying Numbers)基本概念，標(biāo)志著傳統(tǒng)數(shù)論中曾經(jīng)一直習(xí)慣而常穩(wěn)態(tài)研究的恒進(jìn)數(shù) (FCN,Fixed Carrying Numbers)，可以逐步走出世人對(duì)數(shù)的研究、發(fā)展及使用已深陷停滯不前多年的困惑境界。然而，十多年來(lái)，一直少有專(zhuān)家學(xué)者能對(duì)VCN饒有興趣而更加深入地做繼續(xù)的研究與探索。

深感無(wú)憾的是，對(duì)VCN研究一直保持情有獨(dú)鐘的原創(chuàng)作者，仍在進(jìn)行堅(jiān)持不懈的努力和忠貞不渝的探究；更覺(jué)欣慰的是，2003年第10屆中國(guó)人工智能學(xué)術(shù)大會(huì)即CAAI-10后，創(chuàng)新廣義數(shù)VCN，先后分別得到學(xué)術(shù)界泰斗而世界著名數(shù)學(xué)家、CAAI指導(dǎo)委員會(huì)名譽(yù)主席吳文俊資深院士和人工智能 (AI,Artificial Intelligence)學(xué)專(zhuān)家、CAAI榮譽(yù)理事長(zhǎng) (原理事長(zhǎng))、CAAI指導(dǎo)委員會(huì)主席涂序彥教授等權(quán)威專(zhuān)家們充分肯定與熱情支持的手跡書(shū)面意見(jiàn)。這對(duì)VCN理論技術(shù)提出和倡導(dǎo)者[1]，以及此后對(duì)VCN理論技術(shù)有興趣的研究和應(yīng)用者，無(wú)疑都將是一個(gè)巨大精神鼓勵(lì)。

吳文俊院士認(rèn)為，葉球?qū)O所提出VCN，是創(chuàng)新而更為廣義概念上的數(shù)，有獨(dú)到觀點(diǎn)，這些觀點(diǎn)確有許多潛在科學(xué)研究及應(yīng)用價(jià)值。涂序彥榮譽(yù)理事長(zhǎng)則認(rèn)為，葉所提及VCN，不僅可用于密碼通信與信息安全方面，而且可用于各種變結(jié)構(gòu)、變參數(shù)、復(fù)雜系統(tǒng)建模、分析與綜合，研究開(kāi)發(fā)AI新理論、新方法和新技術(shù)。

目前，在理論上，VCN定性為廣義概念上的數(shù)，其研究、發(fā)展及應(yīng)用前景行將特別看好；在實(shí)用上，已形成了一些獨(dú)特問(wèn)題求解新方法、新技術(shù)，并極有潛力拓展成為今后AI技術(shù)新理論及其應(yīng)用研究重要技術(shù)支柱之一。本文旨在介紹VCN基本概念、理論數(shù)值計(jì)算技術(shù)及其潛在研究、發(fā)展與應(yīng)用前景。

2 基本概念

2.1 數(shù)/數(shù)制

數(shù)(N,Numbers)，其研究對(duì)象基本上是用來(lái)描述客觀物質(zhì)或抽象概念量值的多與少,或物質(zhì)現(xiàn)象發(fā)生頻率的高與低[2]。如魚(yú)、水、火和聲響、城市、水災(zāi) 、火燙傷等。用數(shù)來(lái)描述這些物質(zhì)、概念或物質(zhì)現(xiàn)象多少量值時(shí)，就可以這樣說(shuō)：1尾魚(yú)、2噸水、3場(chǎng)大火、4回聲響、5個(gè)城市、6次水災(zāi)、7處火燙傷，如此等等。

計(jì)數(shù)制或簡(jiǎn)稱(chēng)數(shù)制 (NDR,Numbers’Describing Rules)，就是描述物質(zhì)、概念或現(xiàn)象量值多少過(guò)程中，必須遵循某一特定換算關(guān)系的一種規(guī)則，主要有兩大類(lèi)別：離散換算制(DCR,Dispersed Computation Rules)和進(jìn)位換算制(CCR,Carrying Computation Rules)。人類(lèi)社會(huì)發(fā)展早期，DCR中大多數(shù)采用保持標(biāo)致物/標(biāo)志符方法來(lái)描述物質(zhì)或現(xiàn)象量值大小的離散計(jì)數(shù)制，如用1顆小黃豆表示5只羊，1顆鷹嘴豆 (綠豆)表示10顆小黃豆(50只羊),等等；用DCR表示數(shù)稱(chēng)離散數(shù)(DCN,Dispersed Computation Numbers)。但所有DCR均有著難以普及和推廣應(yīng)用重大缺陷：保持標(biāo)致物有困難或標(biāo)志符共識(shí)有障礙，DCR因此逐漸被淘汰。于是，后來(lái)就只能在這些DCR中，不得不完全摒棄了標(biāo)致物保持法而優(yōu)選了共識(shí)標(biāo)志符來(lái)做不同排列組合的進(jìn)位計(jì)數(shù)制CCR新方法來(lái)描述客觀物質(zhì)或現(xiàn)象量值多少,用CCR表示數(shù)稱(chēng)進(jìn)制數(shù)(CCN,Carrying Computation Numbers),簡(jiǎn)稱(chēng)CN或N。

2.2 數(shù)字/即位數(shù)字

數(shù)字/即位數(shù)字(Figures/Numerals)，它是構(gòu)成任意進(jìn)制數(shù)最基本單元代碼(共識(shí)標(biāo)志符)，或說(shuō)它是數(shù)制為實(shí)現(xiàn)數(shù)描述中不可或缺的砝碼,但這些最基本單元代碼或砝碼本身也有一定量值，可以描述一定量物質(zhì)。如：阿拉伯字符1,2,3…,英字母A,B,C,…等半角字符。

2.3 權(quán)值/位權(quán)值/模值

進(jìn)制數(shù)中某即位數(shù)字取亞小值“1”時(shí)，其所表示量值大小數(shù)值就稱(chēng)為權(quán)值(P,Power value)，簡(jiǎn)稱(chēng)為權(quán)(P,Power)；即位數(shù)字與其權(quán)值乘積稱(chēng)位權(quán)值(FW,Figures’WeightValue)，簡(jiǎn)稱(chēng)位權(quán)FW；允許表示數(shù)范圍大小的值稱(chēng)為模值(M,Module)，即位數(shù)字模值(FM，F(xiàn)igures’Module)是指該位所允許使用即位數(shù)字基代碼個(gè)數(shù)，或?yàn)樵摷次粩?shù)字最大值加1；而進(jìn)制數(shù)模值(NM,Numbers’Module)是指所允許使用n位進(jìn)制數(shù)的數(shù)值個(gè)數(shù)或n個(gè)FM值的卷積(連乘)值，或?yàn)樵撨M(jìn)制數(shù)最大值加1。因此，一個(gè)任意位數(shù)進(jìn)制數(shù)大小值可表示為其所有位權(quán)值之和(即權(quán)值展開(kāi)式∑FWs)。

2.4 恒進(jìn)數(shù)FCN/變進(jìn)數(shù)VCN

根據(jù)數(shù)制概念，描述物質(zhì)量值大小規(guī)則應(yīng)當(dāng)可以是多種多樣的，即所謂特定換算關(guān)系機(jī)制可以是無(wú)窮無(wú)盡的。NDR主流是CCR，它又可分為恒進(jìn)制(FCR,Fixed Carrying Rules)和變進(jìn)制(VCR,Variable Carrying Rules)兩大類(lèi)。在某一進(jìn)制數(shù)中，相鄰位與位之間即位數(shù)字的進(jìn)退變換關(guān)系總是恒守“同一”規(guī)則的，稱(chēng)為FCR，采用FCR描述數(shù)稱(chēng)為恒進(jìn)制數(shù)，簡(jiǎn)稱(chēng)恒進(jìn)數(shù)FCN。常用FCN有十進(jìn)制數(shù)(D,Decimal numbers)、十六進(jìn)制數(shù) (H,Hexadecimal numbers)、八進(jìn)數(shù)(Q,Octonal numbers)、二進(jìn)數(shù)(B,Binary numbers)等。事實(shí)上，“不變”只是相對(duì)的、短暫的，“變化”才是絕對(duì)的、永恒的。CCN規(guī)則CCR也不例外。在某CCN中，相鄰位與位之間即位數(shù)字的進(jìn)退變換關(guān)系并不總是恒守 “同一”規(guī)則的，其規(guī)則有時(shí)是可以任意設(shè)定和不斷變化的，可稱(chēng)其為VCR，采用VCR描述數(shù)稱(chēng)為變進(jìn)制數(shù)，簡(jiǎn)稱(chēng)變進(jìn)數(shù)VCN。如，年份變換，并非每年(陰歷年)都是12個(gè)月，遇到閏年時(shí)便有13個(gè)月，多出1個(gè)月稱(chēng)為閏月；月份變換，也并非每月都是30天，月大時(shí)有31天，月小時(shí)卻只有30天或29天(甚至每逢平年時(shí)二月只有28天)；再如表示時(shí)間的秒、分、時(shí)和天，由秒到分、以及由分到時(shí)都是60進(jìn)制的，由小時(shí)到天則又是24進(jìn)制的。所以，表示年份數(shù)、月份數(shù)和天數(shù)等時(shí)間長(zhǎng)短數(shù)，其實(shí)質(zhì)上就是一些地道的VCN。

須特別指出，目前國(guó)際上數(shù)學(xué)、計(jì)算機(jī)科學(xué)及其它實(shí)際應(yīng)用諸多領(lǐng)域里，許多對(duì)數(shù)的研究、發(fā)展及使用均已深陷停滯不前多年的困惑境界里，如，某計(jì)算機(jī)器允許使用有效數(shù)字位數(shù)(稱(chēng)為數(shù)值分辨率或精度，取決于微處理器CPU字長(zhǎng))不夠(有限)而帶來(lái)數(shù)值計(jì)算的擾動(dòng)，從而必然導(dǎo)致了兩個(gè)難以克服重大缺陷：1)有著嚴(yán)密定義的高頻率的正向數(shù)學(xué)運(yùn)算的計(jì)算結(jié)果的誤差得到了延續(xù)不斷的放大；2)利用有著嚴(yán)密定義的高頻率的正向數(shù)學(xué)運(yùn)算的結(jié)果做反向的數(shù)學(xué)逆運(yùn)算時(shí)，輸出將無(wú)以復(fù)現(xiàn)輸入。其根本原因，就在于對(duì)數(shù)的應(yīng)用研究，只局限于習(xí)慣勢(shì)力已久的FCN恒進(jìn)計(jì)數(shù)規(guī)則FCR里，而無(wú)人問(wèn)津于VCR研究與應(yīng)用！他們大多數(shù)只感興趣于FCR計(jì)數(shù)制規(guī)則的FCN，或者只是選用不同F(xiàn)CR的FCN，僅此而已！如十進(jìn)數(shù)D恒守“逢十進(jìn)一，借一當(dāng)十”同一規(guī)則；二進(jìn)數(shù)B恒守“逢二進(jìn)一，借一當(dāng)二”同一規(guī)則；八進(jìn)數(shù)Q恒守“逢八進(jìn)一，借一當(dāng)八”同一規(guī)則；十六進(jìn)數(shù)H恒守“逢十六進(jìn)一，借一當(dāng)十六”同一規(guī)則；…任意(r+1)進(jìn)制數(shù)N(r+1)恒守“逢(r+1)進(jìn)一，借一當(dāng)(r+1)”同一規(guī)則，r∈ N，N={1,2,3,… }，且 r=Max(Figures)，F(xiàn)igures 稱(chēng)即位數(shù)字。

FCN中，最常用十進(jìn)數(shù)D，始于中國(guó)商代(公元前17世紀(jì)～公元前11世紀(jì))，但卻直到公元后第6世紀(jì)才推廣普及使用到世界各地[3]，至今已然長(zhǎng)期主導(dǎo)并且占據(jù)著全球的數(shù)的統(tǒng)治使用地位又達(dá)1500年！這與正常人的雙手或雙腳擁有10個(gè)手指頭或腳趾頭的自然天成，有著極為密切關(guān)系。二進(jìn)數(shù)B則是公元20世紀(jì)上半葉末所發(fā)明現(xiàn)代電子計(jì)算機(jī)(電腦)內(nèi)部占據(jù)統(tǒng)治使用地位的FCR中最低FM值的FCN，可謂電腦系統(tǒng)內(nèi)部世界就是二進(jìn)制世界(FM=2)。

2.5 人工智能AI與智模數(shù)IFN

AI是一門(mén)新興邊緣學(xué)科[4],它已引起眾多學(xué)科日益重視,并且有越來(lái)越重要實(shí)用意義。許多具有不同專(zhuān)業(yè)背景科學(xué)家和工程師正在從AI這門(mén)年輕學(xué)科中發(fā)現(xiàn)諸多新思想和新方法。另外,AI也是計(jì)算機(jī)科學(xué)中智能計(jì)算機(jī)系統(tǒng)設(shè)計(jì)研究一個(gè)重要分支,它將研究：如何設(shè)計(jì)智能計(jì)算機(jī)系統(tǒng),并讓這些系統(tǒng)投入實(shí)際運(yùn)行或應(yīng)用中,呈現(xiàn)出與人類(lèi)智能行為，如理解語(yǔ)言、自我學(xué)習(xí)、邏輯推理、自動(dòng)定理證明和問(wèn)題求解等有關(guān)特性。在過(guò)去三、四十年里,就已建立了一些AI計(jì)算機(jī)系統(tǒng)。這些系統(tǒng)運(yùn)用，其實(shí)就是在計(jì)算機(jī)上通過(guò)一特定計(jì)算機(jī)程序運(yùn)行，亦即吳文俊院士所稱(chēng)謂腦力勞動(dòng)機(jī)械化[5]辦法來(lái)實(shí)現(xiàn)。如,能求解微分方程,能與人下棋,能設(shè)計(jì)分析集成電路,會(huì)合成人類(lèi)自然語(yǔ)言,會(huì)檢索情報(bào),會(huì)做疾病診斷,可控制太空飛行器和水下機(jī)器人運(yùn)動(dòng),可模仿人獨(dú)立行走,并機(jī)智地避開(kāi)障礙物,足球機(jī)器人比賽,如此等等。

數(shù)是認(rèn)識(shí)世界和描述世界量化符號(hào)，數(shù)學(xué)是研究精密計(jì)算與深入分析的工具性科學(xué)。模糊數(shù)學(xué)是研究模糊性與精密性之間如何準(zhǔn)確定位的技術(shù)性科學(xué)，它與精密數(shù)學(xué)存在并不矛盾，均系數(shù)學(xué)研究的一個(gè)重要分支，其學(xué)術(shù)中心任務(wù)應(yīng)當(dāng)是：如何在模糊中求取精確(而并非在精確中求取模糊!)。在模糊數(shù)學(xué)研究過(guò)程中,大量運(yùn)用了集合論、不等式、函數(shù)和域等不少理論概念及其相關(guān)處理技術(shù)，并且已有了不少模糊控制類(lèi)產(chǎn)品的出現(xiàn)，如模糊空調(diào)等。VCN中數(shù)制變化是無(wú)窮無(wú)盡的，也是可以人工智能地設(shè)置的，因此VCN模糊性極強(qiáng)，利用VCN可以很好地架起精密數(shù)學(xué)與模糊數(shù)學(xué)相互轉(zhuǎn)換的橋梁。智能模糊變進(jìn)數(shù) (AI-Fuzzy VCN)就是一種其數(shù)制變進(jìn)關(guān)系規(guī)則可以人工智能地任意設(shè)置的變進(jìn)數(shù)[6，12],簡(jiǎn)稱(chēng)智模數(shù)IFN。

3 進(jìn)制數(shù)CCN處理技術(shù)

3.1 整型FCN特性及其計(jì)算

3.1.1 任意n位整型數(shù)FCN特性

1)等模性(SFM,Same Figures’Module):任意 i位上即位數(shù)字模FM均等,FM=FMi≡r+1;r∈N,N={1,2,3,…}

2)有界性(LFM,Limited Figures’Module):任意恒進(jìn)數(shù)的即位數(shù)字模FM=FMi≡ r+1≧2;r∈N,N={1,2,3,… }

3)冪權(quán)性(DPN，Different Powers on Numbers’module):n位恒進(jìn)數(shù)模 NM=(FM)n=(r+1)n;r∈N,N={1,2,3,…}

3.1.2 任意n位整型數(shù)FCN計(jì)算

設(shè)Fn-1Fn-2...F1F0為一任意n位r+1恒進(jìn)數(shù)FCN。其中，r∈ N,Fn-1∈ Fn,Fn-2∈ Fn… ,F0∈ Fn，N={1,2,3,… },Fn={0,1,2,…,r}。則一個(gè)n位r+1整型FCN數(shù)值計(jì)算公式(按權(quán)值展開(kāi)式)為

上式中r=Max(Figures)。顯然，n位r+1恒進(jìn)整型最大數(shù)的數(shù)值計(jì)算公式為

3.2 整型VCN特性及其計(jì)算

3.2.1 任意n位整型數(shù)VCN特性

1)可 拓 性/壓 縮 性(Extensibility/Compressibility):相同數(shù)值大小的數(shù)由低進(jìn)制向高進(jìn)制轉(zhuǎn)換時(shí)，其數(shù)據(jù)外在表示形式可以得到壓縮，從而節(jié)約不少計(jì)算機(jī)內(nèi)使用存儲(chǔ)空間，因而其數(shù)據(jù)表示[7]及存儲(chǔ)既可拓(Extensive)[8]，也可壓(Compressible)，故其容量溢出特性也是可變的，亦可稱(chēng)其為容量的變溢性(VCO,Variable Capacities of Overflowing)。如覺(jué)得 θ、1、2、3、4、5、6、7、8、9十個(gè)阿拉伯?dāng)?shù)字字符還不夠用，還可建議拓展用A、B、C、… … ，X、Y、Z 等 26 個(gè)英文字母分別表示 10、11、12、… … 、33、34、35 數(shù)值。這樣就可以得到 2～36 間任意VCN(含F(xiàn)CN：最小2進(jìn)數(shù)到最大36進(jìn)數(shù))。其中，用θ表示0,以示區(qū)別于O半角字母符。

2)模糊性/保密性(Fuzziness/Properties of keeping a secret):任意位上權(quán)值(或簡(jiǎn)稱(chēng)為權(quán))為其系列相鄰低位即位數(shù)字模值FM的卷積,其外表組合排列數(shù)字的數(shù)值大小也是難以精確估算而模糊的，頗具模糊性。外在數(shù)據(jù)表示數(shù)值大小模糊性越強(qiáng)，其對(duì)外保密性就越好，可用于純數(shù)值加密計(jì)算技術(shù)。

3)智能性/設(shè)密性(Intellectuality/Properties of making a secret):n位VCN中相鄰位即位數(shù)字間VCR規(guī)則又是可以事先以AI技術(shù)設(shè)定的，所以VCN精確換算又是可以靈活實(shí)現(xiàn)而智能的，頗具智能性[4]。

3.2.2 任意n位整型數(shù)VCN計(jì)算

設(shè)FnFn-1…F1為一任意n位變進(jìn)整型數(shù)VCN。其中，F(xiàn)n∈ Rn,Fn-1∈ Rn-1,… ,F1∈ R1;rn∈ N,rn-1∈ N,… ,r1∈ N;N={1,2,3,… },Rn={0,1,2,3,…,rn},Rn-1={0,1,2,3,… ,rn-1},R1={0,1,2,3,…,r1},則一個(gè)n位整型VCN數(shù)值計(jì)算公式(按卷積展開(kāi)式)為

上式中 r=Max(Fi)，i∈ N 。

顯然,n位整型VCN最大數(shù)值計(jì)算公式為

3.3 實(shí)型VCN與FCN計(jì)算

3.3.1 實(shí)型FCN表示及計(jì)算

設(shè)RF=Fn-1Fn-2...F1F0· F-1F-2...F-m+1F-m為一任意 n位r+1恒進(jìn)整型、m位r+1恒進(jìn)分型的實(shí)數(shù)FCN。其中，r∈ N,Fn-1∈ Fn,Fn-2∈ Fn,… ,F-m∈ Fn,N={1,2,3,… },Fn={0,1,2,… ,r},r=Max(Fi),i∈ {-m,-m+1,-m+2,… ,n-1}。則一個(gè)n位r+1恒進(jìn)整數(shù)、m位r+1恒進(jìn)小數(shù)的實(shí)型FCN數(shù)值計(jì)算公式(按權(quán)值展開(kāi)式)為

3.3.2 實(shí)型VCN表示及計(jì)算

設(shè)RV=FnFn-1...F1· F-1F-2...F-m為一任意n位ri+1變進(jìn)整型、m位ri+1變進(jìn)分型的實(shí)數(shù)VCN。其中，ri∈N,Fn∈ Rn,Fn-1∈ Rn-1,… ,F-m∈ R-m,N={1,2,3,… },Ri={0,1,2,… ,ri},ri=Max(Fi),i∈ {-m,-m+1,… ,n-1,n}。則一個(gè) n 位 ri+1變進(jìn)整數(shù)、m位ri+1變進(jìn)小數(shù)的實(shí)型VCN數(shù)值計(jì)算公式(按權(quán)值展開(kāi)式)為

3.4 變進(jìn)數(shù)VCN與恒進(jìn)數(shù)FCN相互轉(zhuǎn)換

從FCN與VCN數(shù)值計(jì)算公式可以看出，當(dāng)取VCN中相鄰位允許最大FM恒相等時(shí)，即FMn-1=FMn-2=...=FM1=FM0≡ r+1，r∈ {1，2，3，… }=N，且 r=Max(Figures)時(shí)，該VCN就變成了FCN。所以，F(xiàn)CN只是VCN中一些特例而已，F(xiàn)CN具有VCN全部共性，但已喪失了許多VCN應(yīng)有個(gè)性。

FCN中，常用十進(jìn)數(shù)D轉(zhuǎn)換成其它非D的FCN主要方法有兩種：1)整數(shù)用“除模(基)取余”法，小數(shù)用“乘模(基)取整”法；2)利用按權(quán)值展開(kāi)式逆運(yùn)算求解法。而其它非D的FCN轉(zhuǎn)換成常用十進(jìn)數(shù)D時(shí)只有唯一方法，即按權(quán)值大小展開(kāi)式的求解法。

根據(jù)VCN智能特性，它既可以將FCN中常用十進(jìn)數(shù)D轉(zhuǎn)換為2≦FM＜10的任意低模(基)值FCN，又可以轉(zhuǎn)換為FM＞10任意高模(基)值FCN。數(shù)學(xué)家可以保證：任何一種FCN或VCN均可以用來(lái)準(zhǔn)確描述任意物質(zhì)量值大小或多少；任意循環(huán)或非循環(huán)數(shù)也均可用某種逼近的分式，或開(kāi)奇偶次方根函數(shù)，或其它數(shù)學(xué)函數(shù)諸如各種插值/分段函數(shù)法來(lái)精確描述。

4 發(fā)展VCN研究前景

一個(gè)學(xué)科產(chǎn)生分支起源，總是從世人所關(guān)切而感興趣的重要問(wèn)題研究；一旦形成了一些特有研究對(duì)象、特有研究方法、以及較系統(tǒng)理論和成果時(shí)，一門(mén)新學(xué)科就宣告誕生了。只不過(guò)有的學(xué)科是側(cè)重于以研究對(duì)象來(lái)劃分，有的則是側(cè)重于研究方法來(lái)劃分而已。

數(shù)論(或稱(chēng)高等算術(shù))是研究整數(shù)性質(zhì)的一個(gè)數(shù)學(xué)分支。屬于數(shù)論范圍許多著名問(wèn)題在很早就已開(kāi)始研究，也得到了相當(dāng)豐富成果；但很奇怪，數(shù)論作為一門(mén)獨(dú)立數(shù)學(xué)分支出現(xiàn)[9]，卻是遲至十九世紀(jì)初的事。直至高斯(C.F.Gauss)在1801年發(fā)表了天才著作《算術(shù)研究(Disquisitions Arithmeticae)》才成為世人公認(rèn)的作為一門(mén)獨(dú)立學(xué)科－－數(shù)論誕生標(biāo)志。數(shù)論最基本特有研究方法就是Gauss在這一天才著作中所創(chuàng)立的同余理論。

解析數(shù)論又是數(shù)論中以解析方法作為研究工具的一個(gè)分支。G.F.B.Rieman 在 1859 年發(fā)表著名論文《論不大于一個(gè)給定值素?cái)?shù)個(gè)數(shù) (ber die Anzahl der Primzahlen unter einer gegebenen Grǒsse)》是開(kāi)始形成數(shù)論中一個(gè)重要分支－－解析數(shù)論主要標(biāo)志。他利用解析方法來(lái)研究整數(shù)性質(zhì)的研究出發(fā)點(diǎn)是以下著名歐拉(Euler)恒等式，即對(duì)任意實(shí)數(shù)s＞1，均有

這一恒等式也是數(shù)論中最重要定理－－算術(shù)基本定理的解析等價(jià)式，通過(guò)它可以把世人很少了解素?cái)?shù)p和非常熟悉自然數(shù)n以十分明確形式聯(lián)系起來(lái)，即素?cái)?shù)性質(zhì)可以通過(guò)函數(shù)

在數(shù)論、解析數(shù)論、以及其它諸多有關(guān)數(shù)實(shí)際研究與應(yīng)用(含整型數(shù)與分型數(shù))中，有一個(gè)無(wú)可否認(rèn)事實(shí)是：全世界都在按照一定習(xí)慣勢(shì)力地使用著普遍遵守FCR的FCN，如占據(jù)統(tǒng)治使用地位的十進(jìn)數(shù)D和計(jì)算機(jī)內(nèi)占統(tǒng)治使用地位的二進(jìn)數(shù)B。由于FCR刻板性和計(jì)算機(jī)器CPU字長(zhǎng)有限性，給傳統(tǒng)數(shù)值計(jì)算技術(shù)帶來(lái)無(wú)以克服的溢出和擾動(dòng)現(xiàn)象。這恐怕與獨(dú)立數(shù)學(xué)分支即數(shù)論出現(xiàn)姍姍來(lái)遲奇怪現(xiàn)象，不無(wú)內(nèi)在必然聯(lián)系；而VCR靈活性可以克服CPU字長(zhǎng)有限性，能實(shí)現(xiàn)無(wú)溢出和無(wú)擾動(dòng)的數(shù)值計(jì)算。因此，基于VCR特性的VCN數(shù)值計(jì)算技術(shù)，確有許多潛在科學(xué)研究及應(yīng)用價(jià)值，VCN發(fā)展前景無(wú)限。如果一味只習(xí)慣FCN研究，那么只能得到“只見(jiàn)樹(shù)木，不見(jiàn)森林”的結(jié)果；發(fā)展VCN研究，可以更好地促進(jìn)FCN應(yīng)用，它可以不用改變傳統(tǒng)習(xí)慣勢(shì)力對(duì)世人已產(chǎn)生先入為主的固疾影響，比如世人已習(xí)慣了FCN中十進(jìn)數(shù)D的正確使用－－這沒(méi)關(guān)系，現(xiàn)代超強(qiáng)巨型計(jì)算機(jī)科學(xué)技術(shù)，可以輕而易舉地將VCN數(shù)據(jù)處理結(jié)果輸出轉(zhuǎn)換為FCN中世人所熟悉的十進(jìn)數(shù)D。

5 變進(jìn)數(shù)VCN應(yīng)用

VCR特性VCN可用于如下領(lǐng)域：1)AI智能搜索技術(shù)中，傳統(tǒng)經(jīng)典無(wú)信息搜索中訪問(wèn)數(shù)據(jù)結(jié)點(diǎn)數(shù)如寬度優(yōu)先搜索寬度值和深度優(yōu)先搜索深度值的表示等[10,11]。2)密碼科學(xué)技術(shù)中，更新傳統(tǒng)FCN加密和解密的智能數(shù)值計(jì)算等[12]。3)精密數(shù)值計(jì)算技術(shù)中，更新傳統(tǒng)FCN數(shù)值計(jì)算技術(shù)，可實(shí)現(xiàn)智能無(wú)溢出、無(wú)擾動(dòng)(即運(yùn)算結(jié)果正負(fù)誤差可逼近為零)精確數(shù)值計(jì)算等[13-15]。4)數(shù)值分析中，信度計(jì)算、誤差判定、數(shù)值表示、極值條件優(yōu)化、多值模糊邏輯等[16-18]。5)圖文聲技術(shù)中，簡(jiǎn)單拓?fù)涮卣鲌D形、字符和聲音信息的精確表示、3D實(shí)體圖形表面可視性的視覺(jué)計(jì)算等[19,20]。6)數(shù)論和計(jì)算技術(shù)中，給定N值內(nèi)素?cái)?shù)個(gè)數(shù)函數(shù)π(N)求解[21]、不同F(xiàn)CR/FCN精確數(shù)值轉(zhuǎn)換和衡量超強(qiáng)計(jì)算功能指標(biāo)的技術(shù)標(biāo)桿，數(shù)值壓縮和語(yǔ)言拓展技術(shù)等。

6 結(jié)束語(yǔ)

VCN是FCN延伸，也是全新而廣義的概念數(shù)。FCN只是VCN中一些特殊情形，它雖具VCN一切共性，但已喪失VCN不少個(gè)性。VCN研究就是對(duì)廣義數(shù)的共性及其更為豐富個(gè)性的深入挖掘性研究，也是對(duì)傳統(tǒng)數(shù)值計(jì)算技術(shù)革新性研究；而且，VCN比FCN應(yīng)用更加廣泛，也更具現(xiàn)實(shí)意義。

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