定時(shí)截尾瑞利分布的Bayes估計(jì)

王曉紅,欒江輝

(吉林師范大學(xué) 數(shù)學(xué)學(xué)院,吉林 四平 136000)

瑞利分布是一種重要的壽命分布,引起國內(nèi)外許多學(xué)者的興趣.關(guān)于瑞利分布可靠性的研究,國內(nèi)外已有一些研究,文[1-2]在Linex損失和對稱熵?fù)p失條件下研究了瑞利分布參數(shù)和參數(shù)倒數(shù)的貝葉斯估計(jì)，文[3]平方誤差損失函數(shù)和熵?fù)p失函數(shù)下討論了Rayleigh分布參數(shù)的Bayes估計(jì)的比較問題.在可靠性試驗(yàn)中，定時(shí)截尾是一種重要的試驗(yàn)形式,但在熵?fù)p失函數(shù)下,對瑞利分布參數(shù)的貝葉斯估計(jì)的研究還未發(fā)現(xiàn),為此本文研究在定時(shí)截尾情形下瑞利分布參數(shù)θ的Bayes估計(jì).

1 參數(shù)θ的Bayes估計(jì)

設(shè)產(chǎn)品的壽命X服從瑞利分布，則其分布函數(shù)和概率密度函數(shù)的表達(dá)式分別為

F(x)=1-e-θx2,x>0,θ>0,
f(x)=2θxe-θx2,x>0,θ>0.

下面討論熵?fù)p失函數(shù)下參數(shù)θ的Bayes估計(jì).

定義1[4]設(shè)隨機(jī)變量X服從密度函數(shù)為f(x,θ)的分布，其中θ為參數(shù).如果δ是判決空間中的一個(gè)估計(jì)，則熵?fù)p失函數(shù)為似然比對數(shù)函數(shù)的數(shù)學(xué)期望，即

(1)

設(shè)X1,X2,…，Xn是來自分布為F(x)的相互獨(dú)立隨機(jī)變量序列,在定時(shí)截尾下得到的觀察值記為(Y1,δ1),(Y2,δ2),…,(Yn,δn),其中Yi=Xi∧T，T為定時(shí)截尾時(shí)間,滿足0

(2)

注:(Yi,δi)(i=1,2,…,n)的聯(lián)合密度的控制測度已改變.

將(2)式代入(1)式得

(3)

計(jì)算得

Eδi=E(IXi≤T)=F(T)=1-e-θT2

(4)

(5)

將(4)、(5)式代入(3)式得

易證,這個(gè)損失函數(shù)關(guān)于δ是嚴(yán)凸的.

定理1 在定時(shí)截尾情形下,損失函數(shù)為熵?fù)p失函數(shù)時(shí)對于任何先驗(yàn)分布,瑞利分布參數(shù)θ的Bayes估計(jì)為

其中F(x)是瑞利分布的分布函數(shù).

證明 設(shè)δ(Y)是參數(shù)θ的一個(gè)估計(jì)，則參數(shù)θ的Bayes風(fēng)險(xiǎn)為

令

對該式求導(dǎo)并令導(dǎo)數(shù)為零,得

因?yàn)棣?δ(Y))為嚴(yán)格凸函數(shù)，所以有唯一最小值點(diǎn)，即

是其最小值點(diǎn).因此參數(shù)θ的Bayes估計(jì)的一般形式為

定理2 在定時(shí)截尾情形下，損失函數(shù)為熵?fù)p失函數(shù)時(shí)取參數(shù)θ的先驗(yàn)分布為Gamma分布Γ(λ,β)，則瑞利分布參數(shù)θ的Bayes估計(jì)為

證明 參數(shù)θ的先驗(yàn)分布為Gamma分布Γ(λ,β)，則θ的密度函數(shù)為

則聯(lián)合密度函數(shù)為

f(y1,y2,…,yn,δ1,δ2,…,δn)=(2θ)μγe-θρ,

從而θ的后驗(yàn)密度函數(shù)為

2 參數(shù)θ的Bayes估計(jì)的可容許性

引理1[5]在給定的貝葉斯決策問題中,假如對給定的先驗(yàn)分布π(θ),θ的Bayes估計(jì)δπ(X)是唯一的,則它是容許的.

定理3 在定時(shí)截尾情形下,損失函數(shù)為熵?fù)p失函數(shù)時(shí)對于任何先驗(yàn)分布,瑞利分布參數(shù)θ的Bayes估計(jì)是可容許的.

證明 在定時(shí)截尾情形下,損失函數(shù)為熵?fù)p失函數(shù)時(shí)瑞利分布參數(shù)θ的Bayes估計(jì)是唯一的,故由引理1,θ的Bayes估計(jì)是容許的.

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