基于支持向量機(jī)回歸的機(jī)械零件可靠性分析

程 躍，鄭 嚴(yán)

(1.成都大學(xué)工業(yè)制造學(xué)院，四川成都 610106;2.西南交通大學(xué)機(jī)械工程研究所，四川成都 610031)

0 引言

機(jī)械零件作為機(jī)構(gòu)的重要組成部分，其可靠性程度對(duì)于整個(gè)機(jī)構(gòu)的安全運(yùn)行具有非常重要的意義.建立極限狀態(tài)方程(Limit State Function，LSF)是進(jìn)行機(jī)械零件可靠性分析的前提條件，但在通常情況下，對(duì)于復(fù)雜的機(jī)構(gòu)，機(jī)械零件的極限狀態(tài)方程與基本隨機(jī)變量之間不存在顯式關(guān)系.目前，解決這類(lèi)問(wèn)題常見(jiàn)的方法是利用響應(yīng)面法(Response Surface Method，RSM)［1］和Kriging法［2］，其思路是將隱式極限狀態(tài)方程進(jìn)行顯式化重構(gòu)處理，然后再采用顯式極限狀態(tài)方程的可靠性分析方法進(jìn)行機(jī)械零件的可靠度計(jì)算.雖然這2種方法在實(shí)際結(jié)構(gòu)的可靠性分析中取得了一定的成果，但仍存在一些問(wèn)題，比如，當(dāng)結(jié)構(gòu)極限狀態(tài)方程非線(xiàn)性程度較高時(shí)，RSM的二次多項(xiàng)式模型很難真實(shí)地刻畫(huà)極限狀態(tài)方程，若使用高階多項(xiàng)式模型，則待定系數(shù)較多，需要更多的樣本點(diǎn)，從而導(dǎo)致計(jì)算效率下降［3］.因此，在RSM的基礎(chǔ)上有學(xué)者提出了非參數(shù)化的RS模型—Kriging方法，該方法在一定程度上解決了對(duì)高度非線(xiàn)性方程的近似，但是其建模過(guò)程也更為復(fù)雜［3］.

支持向量機(jī)(Support Vector Machine，SVM)［4，5］是Vapnik等根據(jù)統(tǒng)計(jì)學(xué)習(xí)理論中結(jié)構(gòu)風(fēng)險(xiǎn)最小化原則提出的借助最優(yōu)化方法的機(jī)器學(xué)習(xí)系統(tǒng).SVM具有優(yōu)良的小樣本學(xué)習(xí)和預(yù)測(cè)能力，具有良好的泛化性能，能克服傳統(tǒng)的“維數(shù)災(zāi)難”難題.本研究通過(guò)對(duì)國(guó)內(nèi)外相關(guān)文獻(xiàn)的分析發(fā)現(xiàn)，機(jī)械零件可靠性分析目前常用的方法有一次二階矩法、隨機(jī)有限元法和蒙特卡羅法等，但很少有將SVM應(yīng)用于機(jī)械零件可靠性分析中［6－8］.基于此，本研究利用支持向量機(jī)回歸(Support Vector Regression，SVR)來(lái)擬合隱式極限狀態(tài)方程，結(jié)合改進(jìn)的一次二階矩法，給出了基于SVR的機(jī)械零件可靠性分析方法，并用2個(gè)算例證了該方法的可行性、正確性和計(jì)算精度.

1 SVR描述

設(shè)l個(gè)給定的數(shù)據(jù)樣本對(duì)，{(x1，y1，x2，y2，…，xl，yl)}，其中，xi=［x1i，x2i，…，xni］為n維輸入向量，yi為對(duì)應(yīng)的輸出向量，i=1，2，…，l.SVR就是在高維特征空間中尋找一個(gè)線(xiàn)性函數(shù)，f(x)=wФ(x)+ b，其中，Ф(x)為非線(xiàn)性映射函數(shù)，以便用f(x)來(lái)預(yù)測(cè)任一輸入x所對(duì)應(yīng)的輸出y值［9－11］.通常，SVR需定義ε線(xiàn)性不敏感損失函數(shù)，L(f(x)，y，ε)，如圖1所示.

圖1 ε線(xiàn)性不敏感損失函數(shù)

式中，y為真實(shí)輸出值，f(x)為預(yù)測(cè)輸出值，ε為線(xiàn)性不敏感損失函數(shù)，表示當(dāng)f(x)與y之間的差值在［－ε，ε］范圍內(nèi)時(shí)，該損失等于0，是可以忽略的.

同時(shí)，引入松弛變量ζi和ζ*i，確定函數(shù)f(x)= wФ(x)+b，中的w和b值可轉(zhuǎn)換為求解如下優(yōu)化問(wèn)題［5，9－11］:

式中，C為懲罰因子.引入Lagrange函數(shù)可得到優(yōu)化問(wèn)題(2)的對(duì)偶形式［5，9－11］:

式中，αi和 α*i為L(zhǎng)agrange乘子向量，K(xi，xj)= Ф(xi)Ф(xj)為核函數(shù).

求解式(3)得最優(yōu)解，

則，

式中，N為支持向量個(gè)數(shù)，SV為支持向量集.

則，回歸預(yù)測(cè)函數(shù)f(x)為，

2 基于SVR的機(jī)械零件可靠性分析流程

基于SVR的機(jī)械零件可靠性分析流程如圖2所示.

在對(duì)機(jī)械零件進(jìn)行可靠性分析時(shí)，一般對(duì)于較為復(fù)雜的機(jī)構(gòu)而言，零件的極限狀態(tài)方程，Z= g(X)，與影響其可靠性的n個(gè)隨機(jī)變量，X1，X2，…，Xn，之間不存在顯式關(guān)系，導(dǎo)致機(jī)械零件的可靠性分析需付出較大的計(jì)算代價(jià).對(duì)此，我們利用SVR優(yōu)良的小樣本學(xué)習(xí)和預(yù)測(cè)能力對(duì)隱式極限狀態(tài)方程進(jìn)行顯式化重構(gòu)處理，結(jié)合改進(jìn)的一次二階矩法，給出一種基于SVR的機(jī)械零件可靠性分析方法，其具體步驟為:

圖2 基于SVR的機(jī)械零件可靠性分析流程示意圖

(1)在進(jìn)行SVR訓(xùn)練之前，首先采用中心復(fù)合抽樣方法獲得一定數(shù)量的數(shù)據(jù)樣本點(diǎn)x，由Ansys分析計(jì)算每個(gè)樣本點(diǎn)xi對(duì)應(yīng)的輸出yi，從而獲得一定數(shù)量的樣本對(duì).一般情況下，機(jī)械零件可靠性分析中的隨機(jī)變量為零件所承受的外載荷、零件的幾何形狀和尺寸、零件材料的物理特性等，這些隨機(jī)變量各自的取值范圍差別較大，在SVR訓(xùn)練中容易出現(xiàn)不穩(wěn)定性和泛化性差的現(xiàn)象.所以，在SVR訓(xùn)練程序之前應(yīng)加入歸一化數(shù)據(jù)程序，訓(xùn)練測(cè)試完畢之后再反歸一化輸出數(shù)據(jù).

(2)對(duì)樣本對(duì)進(jìn)行數(shù)據(jù)歸一化處理后，本研究參考林智仁教授的LIBSVM分析軟件進(jìn)行SVR訓(xùn)練.通過(guò)反復(fù)調(diào)試和測(cè)試SVR模型精度，選取合適的核函數(shù)和SVR參數(shù)，從而獲得高精度的顯式化極限狀態(tài)方程.通過(guò)假定初始設(shè)計(jì)點(diǎn)并對(duì)各隨機(jī)參數(shù)進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)化變換，利用改進(jìn)一次二階矩法求解機(jī)械零件可靠性指標(biāo)β值.

3 算 例

下面通過(guò)1個(gè)假定的隱式極限狀態(tài)函數(shù)算例和1個(gè)實(shí)際工程算例來(lái)驗(yàn)證本文所提方法在機(jī)械零件可靠分析中的可行性、正確性和計(jì)算精度.

3.1 數(shù)值算例

設(shè)極限狀態(tài)函數(shù)為，

式中，x1，x2，x3為獨(dú)立標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的隨機(jī)變量.各隨機(jī)變量的均值和標(biāo)準(zhǔn)差為，μx1=3，σx1=0.6，μx2=5，σx2=0.75，μx3=8，σx3=0.8.

按照前述抽樣策略，抽取110個(gè)樣本，并將其全部作為訓(xùn)練樣本，其中隨機(jī)抽取30個(gè)作為測(cè)試樣本.將所有樣本對(duì)進(jìn)行數(shù)據(jù)歸一化處理后，反復(fù)調(diào)試，選取多項(xiàng)式核函數(shù)，K(xi，xj)=［G×(xi·xj)+ r］d，ε-SVM回歸，G=3，r=1，d=3，損失函數(shù)，ε=0.0001，懲罰參數(shù)，C=1 000.將訓(xùn)練樣本對(duì)進(jìn)行SVR訓(xùn)練，然后用測(cè)試樣本對(duì)進(jìn)行檢驗(yàn)，最大絕對(duì)誤差為0.0185，最小絕對(duì)誤差為0.0001，其相對(duì)誤差曲線(xiàn)如圖3所示.

圖3 相對(duì)誤差曲線(xiàn)

圖3所示相對(duì)誤差曲線(xiàn)表明，SVR預(yù)測(cè)精度較好，證明了用SVR模型替代真實(shí)極限狀態(tài)方程進(jìn)行可靠性分析是可行的.

同時(shí)，利用本文方法和MC法計(jì)算其失效概率和可靠度指標(biāo)結(jié)果列于表1.

表1 數(shù)值算例的計(jì)算結(jié)果

從表1數(shù)據(jù)可以看出，本文方法的計(jì)算結(jié)果非常接近MC法的結(jié)果，驗(yàn)證了本文方法的正確性和計(jì)算精度.

3.2 工程算例

計(jì)算某剪切機(jī)上聯(lián)接銷(xiāo)可靠性，此聯(lián)接銷(xiāo)共有2個(gè)，用來(lái)聯(lián)接油缸活塞桿(剪切缸桿)與刀架小車(chē).在組件剪切過(guò)程中，推力由活塞桿的端頭承受，當(dāng)剪切完成后，活塞桿收縮，通過(guò)聯(lián)接銷(xiāo)帶動(dòng)刀架小車(chē)運(yùn)動(dòng)，聯(lián)接銷(xiāo)承受剪切缸桿的拉力.聯(lián)接銷(xiāo)承受載荷和約束情況如圖4所示.

圖4 聯(lián)接銷(xiāo)承受載荷與約束示意圖

根據(jù)此聯(lián)接銷(xiāo)的實(shí)際工作情況，選擇外載荷、彈性模量、泊松比、屈服極限以及聯(lián)接銷(xiāo)與其他物體之間的摩擦系數(shù)作為輸入變量.各變量的統(tǒng)計(jì)參數(shù)如表2所示.

表2 聯(lián)接銷(xiāo)各變量統(tǒng)計(jì)參數(shù)

根據(jù)“應(yīng)力—強(qiáng)度干涉”模型可得出聯(lián)接銷(xiāo)的極限狀態(tài)方程為，

根據(jù)前述抽樣策略，抽取200個(gè)樣本點(diǎn)，利用有限元分析計(jì)算得到每一個(gè)樣本點(diǎn)對(duì)應(yīng)的f(E，γ，F(xiàn)，F(xiàn)r)數(shù)值解，從而得到200個(gè)樣本對(duì).將獲得的200個(gè)樣本對(duì)全部作為訓(xùn)練樣本對(duì)，隨機(jī)抽取50個(gè)作為測(cè)試樣本對(duì).將輸入樣本對(duì)進(jìn)行數(shù)據(jù)歸一化處理后，經(jīng)過(guò)參數(shù)調(diào)試，選取多項(xiàng)式核函數(shù)，ε-SVM回歸，G =26，r=1，d=6，損失函數(shù)，ε=0.0005，懲罰參數(shù)，C=109.將本文方法與MC法和RSM進(jìn)行比較，計(jì)算結(jié)果見(jiàn)表3.

表3 工程算例的計(jì)算結(jié)果

從表3數(shù)據(jù)可以看出，本文方法與RSM的計(jì)算效率相當(dāng)，均比MC法效率高.并且本文方法的計(jì)算結(jié)果最為接近MC法的結(jié)果，相對(duì)誤差較小，計(jì)算精度高.

4 結(jié) 論

以SVR為極限狀態(tài)方程的重構(gòu)工具，擬合實(shí)際機(jī)械零件的隱式極限狀態(tài)方程，結(jié)合改進(jìn)的一次二階矩法，提出了一種基于SVR的機(jī)械零件可靠性分析方法.該方法充分利用了SVR優(yōu)良的小樣本學(xué)習(xí)能力，全局尋優(yōu)和良好的泛化性能，提高了可靠性計(jì)算的效率和精度.同時(shí)，本文通過(guò)數(shù)值算例證明了用SVR模型替代真實(shí)極限狀態(tài)方程進(jìn)行可靠性分析是可行的，并利用該方法對(duì)某剪切機(jī)上的聯(lián)接銷(xiāo)進(jìn)行可靠性分析，方法的計(jì)算結(jié)果最為接近MC法的結(jié)果，相對(duì)誤差較小，計(jì)算精度高.

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