異方差回歸模型的經(jīng)驗似然擬合優(yōu)度檢驗

唐明田，王允艷

(江西理工大學理學院，江西贛州341000)

異方差回歸模型的經(jīng)驗似然擬合優(yōu)度檢驗

唐明田，王允艷

(江西理工大學理學院，江西贛州341000)

由于條件方差函數(shù)常常被用來建模和解釋統(tǒng)計數(shù)據(jù)的多變性，文中考慮了異方差回歸模型中的條件方差函數(shù)，構(gòu)造了一個非參數(shù)檢驗程序來檢驗條件方差函數(shù)是否為參數(shù)形式.因為經(jīng)驗似然方法具有兩個非常吸引人的性質(zhì)，一個是該方法的學生化能力使得其能夠自動考慮非參數(shù)擬合的變化，另一個是由該方法得到的檢驗統(tǒng)計量的漸近分布與未知參數(shù)無關(guān)，避免了二次嵌入估計，因此在檢驗過程中文中使用經(jīng)驗似然檢驗技術(shù)來構(gòu)造擬合優(yōu)度檢驗的程序，得到了經(jīng)驗似然檢驗統(tǒng)計量的漸近零分布.

條件異方差函數(shù)；經(jīng)驗似然；擬合優(yōu)度；Nadaraya-Watson估計量

1 條件異方差回歸模型及假設(shè)檢驗

設(shè){（Yi，Xi）}為嚴平穩(wěn)過程,令m（x）=E（Y=x）和σ2（x）=Var（Y=x）分別為條件均值函數(shù)和條件方差函數(shù).文中考慮如下的非參數(shù)異方差回歸模型：

文中將利用經(jīng)驗似然方法來建立檢驗程序,經(jīng)驗似然方法是一種計算機密集型的非參數(shù)方法,與自助法(bootstrap)相比,經(jīng)驗似然方法有類似于自助法的抽樣特性,但是相比之下也有其自身的優(yōu)越性,如所構(gòu)造的置信區(qū)間的形狀由數(shù)據(jù)自行決定、域保持性、變換不變性等.正因為擁有這些優(yōu)點,經(jīng)驗似然方法自提出后已被應(yīng)用到統(tǒng)計的諸多領(lǐng)域.文獻[9]給出了該方法的詳細的全面的介紹.經(jīng)驗似然已被證明和參數(shù)似然具有某些相同的性質(zhì),例如,Wilks＇定理和Bartlett的可修正性原則,詳細介紹讀者可參考文獻[10].正是因為經(jīng)驗似然方法的諸多優(yōu)點,使得其在很多領(lǐng)域都得到了廣泛的應(yīng)用并且被不斷改進.

文中的目的是檢驗條件方差函數(shù)σ2（x）是否是參數(shù)形式,即考慮如下的原假設(shè):

和備擇假設(shè):

其中,θ∈Θ為未知參數(shù),Cn為當n→∞時趨向于零的非負序列,Δn（x）為有界函數(shù)序列.令f（x）為X的密度函數(shù),對某個β〉0，I={x∈R（x）≥β}為緊集.為了不失一般性,文中假設(shè)I=[0，1].

2 經(jīng)驗似然檢驗統(tǒng)計量

文中的檢驗統(tǒng)計量建立在如下的條件方差函數(shù)σ2（x）的非參數(shù)估計量上:

其中,Kh（·）=K（·/h）/h，K（·）為核函數(shù),h 為帶寬,并且

其中,Wh1（·）=W（·/h1）/h1，W（·）為核函數(shù)，h1為帶寬.以下設(shè)?為θ在原假設(shè)下的相合估計量,并令：

為條件方差函數(shù)σ2（x）的參數(shù)估計量（x）的核平滑形式.

通過引入Lagrange乘子,得最優(yōu)權(quán)重為：

因為相應(yīng)于σ2（x）的非參數(shù)估計量的最大經(jīng)驗似然在ωi（x）=n-1處達到,因此（x）的對數(shù)經(jīng)驗似然比為:

為了將經(jīng)驗似然比統(tǒng)計量推廣成為擬合優(yōu)度的一個全局的度量,文中考慮如下的能夠全局度量擬合優(yōu)度的經(jīng)驗似然基礎(chǔ)上的統(tǒng)計量:

3 假設(shè)條件與主要結(jié)果

文中的理論結(jié)果建立在如下的條件之上.

A1：核函數(shù)K（·）和W（·）是正的、連續(xù)、可微、對稱的密度函數(shù),具有緊支撐[-1，1],并且K（·）是Lipschitz連續(xù)的,

A2：當n→∞時，h→0，h1→0，nh→∞，nh1→∞，并且h=O（n-1/5）.

A3：函數(shù)f（·），m（·）和σ2（·）在區(qū)間I上具有連續(xù)的二階導(dǎo)數(shù),且f（·）和σ2（·）在區(qū)間I上有界.

A5：Δn（x）關(guān)于x和n是一致有界的,并且原假設(shè)H0和備擇假設(shè)H1之間的差異的階數(shù)Cn=n-1/2h-1/4.

A6：令ηi=ri-σ2（Xi），對某個a0〉0,假設(shè)有且對某個k〉1有<∞.另外，

中Ωi-1為由生成的σ-域.

A7：給定Y的X的條件密度，fX|Y<∞.對任意l〉1,給定（Y1，Yl）的（X1，Xl）聯(lián)合條件密度是有界的,并且對t〉s〉1,（X1，Y1，Xs，Ys，Xt，Yt，）是連續(xù)有界的.

A8：過程{Xi，Yi}是嚴平穩(wěn)和α混合的，并且對某個α〉0和ρ∈（0，1）,混合系數(shù)滿足α（k）≤aρk.

推論1假設(shè)條件A1～A8成立,則當n→∞時,有

4 引理與證明

上述式（2）～式（4）的證明與文獻[12]中引理1的證明類似,此處略.

定理1的證明：設(shè)γ（x）為定義在[0，1]上的隨機過程，δn為一序列,文中用γ（x）=p（δn）和γ（x）=（δn）分別表示=op（δn）.

所以由引理1可得

推論1的證明:由定理1的證明可得.

5 結(jié)論

文中考慮了異方差回歸模型中條件方差函數(shù)的經(jīng)驗似然基礎(chǔ)上的擬合優(yōu)度檢驗問題,在構(gòu)造經(jīng)驗似然統(tǒng)計量時,條件異方差函數(shù)σ2（x）的非參數(shù)估計量使用的是Nadaraya-Watson估計量,即局部常數(shù)估計量.但眾所周知,Nadaraya-Watson估計量會產(chǎn)生較大的邊界偏差,而具有如下形式的局部線性估計量能解決邊界偏差較大問題:

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An empirical likelihood goodness-of-test for heteroscedastic regression models

TANG Ming-tian,WANG Yun-yan

（Faculty of Science,Jiangxi Univeisity of Sciences and Technology,Ganzhou 341000,China）

Since conditional heteroscedasticity is often used in modelling and understanding the variability of statistical data,the conditional variance function in heteroscedastic regression models is taken into consideration,and a nonparametric test is constructed in the article to test the conditional variance function variance function being a known parametric form indexed by a vector of unknown parameters.The empirical likelihood technique is used to construct test procedure for a goodness-of-fit of a heteroscedastic regression model because the empirical likelihood method has two attractive features.One is its automatic consideration of the variation associated with the nonparametric fit due to the empirical likelihood＇s ability.The other one is that the asymptotic distributions of the test statistic are free of unknown parameters which avoid secondary plug-in estimation.The asymptotic null distribution of the proposed test statistic is established.

conditional variance function;empirical likelihood;goodness-of-fit test;Nadaraya-Watson estimator

O211.4

A

2012-06-28

江西省教育廳青年科學基金(GJJ12356)

唐明田（1981-），男，講師，主要從事非參數(shù)統(tǒng)計推斷等方面的研究，E-mail：mtt_csu@126.com.

2095-3046（2012）05-0074-04