動(dòng)態(tài)P-積分及其性質(zhì)

黃江燕，鄒瑋剛

（江西理工大學(xué)理學(xué)院，江西贛州341000）

動(dòng)態(tài)P-積分及其性質(zhì)

黃江燕，鄒瑋剛

（江西理工大學(xué)理學(xué)院，江西贛州341000）

內(nèi)P-集合，外P-集合XF是經(jīng)典集合X動(dòng)態(tài)生成的兩個(gè)普通集，由內(nèi)P-集合與外P-集合構(gòu)成的集合對(duì)（，XF）就是P-集合.在P-集合的基礎(chǔ)上，得到函數(shù)對(duì)（x），pF（x））與該函數(shù)對(duì)的性質(zhì).進(jìn)而給出P-積分的概念與結(jié)構(gòu)，P-積分是由內(nèi)P-積的集合對(duì)，P-積分具有動(dòng)態(tài)特性.文中給出了動(dòng)態(tài)P-集合序定理與P-積分雙中值定理，并指出P-積分是牛頓積分的動(dòng)態(tài)表現(xiàn)形式，牛頓積分是P-積分的特例.P-積分有序定理和P-積分雙中值定理.事實(shí)證明，牛頓積分中值定理是P-積分雙中值定理的特例.

動(dòng)態(tài)特性；P-集合；P-積分

0 引言

普通集合具有精確性，邊界清楚性，靜態(tài)性三大特征.P-集合不是普通集合，它具有動(dòng)態(tài)特性，有限普通集合X在元素遷移族的作用下，集合內(nèi)減少了元素，生成內(nèi)P-集合；X在元素遷移族F作用下，集合內(nèi)增加了元素，生成外P-集合XF；由內(nèi)P-集合與外P-集合XF構(gòu)成的集合對(duì)（XF，XF）就是P-集合，它是史開泉教授于2008年提出的動(dòng)態(tài)集合.

文中采用平行拓展的方法研究史教授提出的動(dòng)態(tài)集合，文獻(xiàn)[1-8]給出了集合的特征函數(shù)生成模型，從而得到P-集合的特征函數(shù).根據(jù)靜態(tài)函數(shù)生成定積分的方法，文獻(xiàn)[9]定義了內(nèi)P-積分與外P-積分.同樣可以構(gòu)造動(dòng)態(tài)函數(shù)P-集合的動(dòng)態(tài)積分.動(dòng)態(tài)積分具有哪些與靜態(tài)定積分相似或不同的性質(zhì)正是下面所要給出的內(nèi)容.其中P-積分與牛頓積分又有什么樣的關(guān)系也是文中的研究重點(diǎn).文中所揭示的動(dòng)態(tài)P-積分及其性質(zhì)在信息系統(tǒng)、控制系統(tǒng)等方面具有一定的參考價(jià)值.

1 P-集合與它的結(jié)構(gòu)

X-稱作X的元素刪除集合，的屬性集合αF滿足αF=把β變成f（β）=α′∈α；V是非空屬性論域，U是非空元素論域.

給定有限普通集合X＝{x1，x2，…，xm}U，α={α1，α2，…，αk}V是X的屬性集合，稱XF是X生成的外P-集合(outerl packet sets)，簡(jiǎn)稱XF是外P-集合[1-3]，而且

X+稱作X的F-元素補(bǔ)充集合，而uX，f（u）=x′∈X，f∈F}，如果XF的屬性集合的特征見文獻(xiàn)[4-10].

2 P-集合生成的函數(shù)

定義1設(shè)有限普通集合X＝{x1，x2，…，xm}xi∈X（i＝1，2，…，m）相對(duì)于特征Y＝{y1，y2，…，yn}具有特征值向量，

這里：xi（k）∈R+，i＝1，2，…，m；k＝1，2，…，n.由到X的合成特征值：y=（y1（X），y2（X），…，yn（X））.對(duì)m個(gè)離散的數(shù)據(jù)點(diǎn)：（1，y1（X）），（2，y2（X），…，（n,yn（X）），利用拉格朗日插值公式：

得到函數(shù)：

稱該函數(shù)是普通集合X生成的函數(shù).

定義3XF是外P-集合，根據(jù)定義1的方法由XF生成的函數(shù)：是外P-集合XF生成的函數(shù).

引理1[2]（（XF，XF）與X的關(guān)系定理）若（，XF）是普通集合X生成的P-集合，則XXF.

定理1給定X＝{x1，x2，…，xm}U，是X生成的內(nèi)P-集合，p（x）是X生成的函數(shù)，（x）是內(nèi)P-集合生成的函數(shù)，則有下列不等式成立：

定理2給定X＝{x1，x2，…，xm}U，p（x）是X生成的函數(shù)，XF是X生成的外P-集合，pF（x）是外P-集合生成的函數(shù)，則有下列不等式成立：

證明：XF是X生成的外P-集合，則有card（X）≤card（XF），由引理1及定義1集合的生成函數(shù)方法，可得p（x）≤pF（x）.

3 積分及其特性

約定：下面所討論的函數(shù)在區(qū)間[a，b]上都連續(xù).

定義5[10]的內(nèi)P-積分(internal packet integral).

定義6[10]的外P-積分(outer packet integral).

由定理4與定義9可得到結(jié)論，證明略.

定理6若Xi是生的集合，Xj是生合，同

由定理4與定義8、定義9可得到結(jié)論，證明略.

所以在相同的區(qū)間[a，b]內(nèi)分別積分不會(huì)改變不等式的關(guān)系，定理得證.

證明類似于定理7.證明略.

4 P-積分與牛頓積分的關(guān)系

因此，P-積分雙中值定理與牛頓積分中值定理存在這樣的關(guān)系：P-積分是牛頓積分的動(dòng)態(tài)表現(xiàn)形式，牛頓積分是P-積分的特例.

5 討論

P-集合的特征是“動(dòng)態(tài)性”，把P-集合作為一個(gè)工具，應(yīng)用到更多的實(shí)際問題研究中，P-集合能給予理論支持.P-集合已經(jīng)成為研究動(dòng)態(tài)信息系統(tǒng)的一個(gè)新的數(shù)學(xué)模型與新的數(shù)學(xué)方法[11-14].信息科學(xué)、系統(tǒng)科學(xué)的學(xué)者常常是自覺或不自覺地使用著這種動(dòng)態(tài)特性，并解決了許多實(shí)際問題.然而對(duì)于P-集合的很多平行和深化理論等待著總結(jié)和發(fā)展.文中所研究的動(dòng)態(tài)P-積分及其性質(zhì)只是其中的一部分.相信不久的將來(lái)，動(dòng)態(tài)集合理論的相關(guān)研究一定會(huì)被許許多多的學(xué)者完善，并且能夠逐步地更直接更有效地應(yīng)用在更多的實(shí)際問題當(dāng)中.因?yàn)閯?dòng)態(tài)是絕對(duì)的，靜態(tài)只是相對(duì)的，暫時(shí)的.我們需要用動(dòng)態(tài)的觀念去發(fā)展去研究.

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[2]史開泉.P-集合[J].山東大學(xué)學(xué)報(bào):理學(xué)版，2008，43(11):77-84.

[3]史開泉，張麗.內(nèi)P-集合與數(shù)據(jù)外-恢復(fù)[J].山東大學(xué)學(xué)報(bào):理學(xué)版，2009，44(4):8-14.

[4]Shi K Q.S-rough sets and its applications in diagnosis-recognition for disease[J].IEEE Proceedings of the First International Conference on Machine Learning and Cybernetics，2002，1(1):50-54.

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[6]Shi K Q.Two direction S-rough sets[J].International Journal of Fuzzy Mathematics，2005，13(2):335-349.

[7]史開泉，姚炳學(xué).函數(shù)S-粗集與規(guī)律辨別[J].中國(guó)科學(xué)E:信息科學(xué)，2008，38(4):553-564.

[8]史開泉，趙建立.函數(shù)S-粗集與隱藏規(guī)律安全-認(rèn)證[J].中國(guó)科學(xué)E:信息科學(xué)，2008，38(8):1234-1243.

[9]史開泉，姚炳學(xué).函數(shù)S-粗集與系統(tǒng)規(guī)律挖掘[M].北京:科學(xué)出版社，2007.

[10]于秀清.P-積分及其動(dòng)態(tài)特性[J].計(jì)算機(jī)工程與應(yīng)用，2011，47(20):44-46.

[11]黃江燕，鄢化彪，張朝權(quán).基于空間性質(zhì)的三維裝箱問題的算法及分析[J].江西理工大學(xué)學(xué)報(bào)，2007，28(3):54-57.

[12]黃江燕，于秀清，方文青.粗積分的動(dòng)態(tài)特性[J].山東大學(xué)學(xué)報(bào):理學(xué)版，2009，44(11):93-96.

[13]于秀清，史開泉.函數(shù)單向S-粗集生成的F-粗積分[J]．山東大學(xué)學(xué)報(bào):理學(xué)版，2008，43(2):29-34.

[14]于秀清，史開泉.函數(shù)單向S-粗集對(duì)偶生成的-粗積分[J].聊城大學(xué)學(xué)報(bào):自然科學(xué)版，2007，20(4):15-19.

Dynamic P-integral and its properties

HUANG Jiang-yan，ZOU Wei-gang

（Faculty of Science,Jiangxi University of Science and Technology,Ganzhou 341000,China）

Internal packet setsand outer packet setsare two packet sets generated by cantor，sets X.Internal packet setsand outer packet sets XFconstruct packet sets,on which a function（x），pF（x））and the character of it are obtained.In order to develop the special nature of the dynamic function,the definition and construction of P-integral are given in the paper.P-integral is composed by internal packet integral and outer packet integral.Some basic properties of the dynamic integration are also discussed.A dynamicP-sets order theorem and integral double mean value theorem are presented,which point out that the integral is the dynamic performance form of the Newton integral,Newton integral is a special case of the P-integral.It is proved that Newton mean value theorem of integral is the special case ofP-Integral double integral mean value theorem.

dynamic characteristics;packet sets;P-integral

O159

A

2012-06-02

江西省自然科學(xué)基金項(xiàng)目（2009GQS0047）

黃江燕（1980-），女，講師，主要從事粗系統(tǒng)理論與應(yīng)用等方面的研究，E-mail:hjyjxust@126.com.

2095-3046（2012）05-0078-04