Arzela-Ascoli定理條件的改變和減弱

張亞林

（天津大學(xué) 理學(xué)院，天津 300072）

Arzela-Ascoli定理條件的改變和減弱

張亞林

（天津大學(xué) 理學(xué)院，天津 300072）

文章將Arzela-Ascoli定理中的閉區(qū)間［α，β］上的連續(xù)函數(shù)族擴展到無窮緊空間上的連續(xù)算子族，給出了無窮緊空間上的連續(xù)算子族相對緊性判斷的一個充要條件；然后將定理中一致有界減弱為在一點有界，定理的結(jié)論仍然成立.

Arzela-Ascoli定理；相對緊；等度連續(xù)；一致有界

0 引言

Ascol-Arzelai定理對出了有限閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)族相對緊性判定的一個充要條件，其應(yīng)用非常廣泛，但局限于有限區(qū)間.對于這一結(jié)果，已經(jīng)有很多推廣，在文［1］中將閉區(qū)間［α，β］推廣到緊空間K，指出C（K）的子集F是相對緊的當且僅當F等度連續(xù)且一致有界；文［2］也對Ascoli-Arzela定理進行了一定程度上的推廣.但是這些推廣都是在實值范圍內(nèi)進行的，本文將實值連續(xù)函數(shù)推廣到向量值連續(xù)算子，即假設(shè)E為緊度量空間，X為Banach空間，C（E，X）表示從E到X的連續(xù)函數(shù)的全體，給出了C（E，X）上任一子集相對緊的充要條件，大大擴展了應(yīng)用范圍.另外，定理中的一致有界條件很強，如果能減弱為在一點有界的話，定理的適用范圍將進一步擴大.

1 預(yù)備知識

定義1［3］設(shè)（X，ρ）是距離空間，A是X的子集，如果A中的任何點列必有在X中的收斂子列，則稱A為緊集.

定義2［3］設(shè)（X，ρ）是距離空間，A是X的一個子集，B?A，如果有ε＞0，使得以B中各點為中心，以ε為半徑的開球全體覆蓋A，即A?U x∈BO（x，ε），則稱B是A的ε網(wǎng).如果B是有限集，則稱B是A的有限ε網(wǎng).

定義3［3］設(shè)（X，ρ）是距離空間，A是B的子集，如果對于任意ε＞0，都存在著A的一個有限ε網(wǎng)，則稱集合A是完全有界的.

從下述引理可以看出，集合的相對緊性與完全有界有著重要的聯(lián)系.

引理1［3］1）度量空間中相對緊集必是完全有界集；2）在完備度量空間中，完全有界集必是相對緊集.

引理2［3］設(shè)A是R n的子集，則A是相對緊的當且僅當A是有界的.

關(guān)于連續(xù)函數(shù)，有下面重要概念.

定義4［2，3］設(shè)F是C［α，β］的子集，

1）如果存在M＞0，使得對任意x∈［α，β］，任意f∈F都有｜f（x）｜≤M，則稱F是一致有界的；

2）如果對于任意的ε＞0，存在δ＞0，使得對于任意兩點x1，x2∈［α，β］，當｜x1－x2｜＜δ時，對F中每個函數(shù)f都有｜f（x1）－f（x2）｜＜ε，則稱F是等度連續(xù)的.

引理3（Ascoli-Arzela）（［4］） 設(shè)F＝f（t）是定義在α≤t≤β上的一致有界且等度連續(xù)的實值（m維）向量函數(shù)族，則從F中必可選取一個在α≤t≤β上一致收斂的函數(shù)列｛f n（t）｝，（n＝1，2，…）.

2 主要結(jié)果

下面給出C（E，X）中的一些定義.

設(shè)E為緊空間，X是Banach空間，用C（E，X）表示E到X的連續(xù)函數(shù)全體，令

容易驗證C（E，X）為Banach空間.對于C（E，X）的子集，也有類似的一致有界和等度連續(xù)的概念.

定義5［5］設(shè)F是C（E，X）的子集.

1）如果存在M＞0，使得對于任意x∈E，f∈F都有‖f（x）‖≤M，則稱F是一致有界的；

2）如果對任意的ε＞0，存在δ＞0，使得對于F中的每個函數(shù)f都有‖f（x1）－f（x2）‖＜ε，則稱F是等度連續(xù)的.

定義6［5］設(shè)f是從距離空間（X，ρ1）到距離空間（Y，ρ2）的一個映射，如果對任意ε＞0，存在δ＞0，使得對任意x1，x2∈X，當ρ1（x1，x2）＜δ時，有ρ2（f（x1），f（x2））＜ε，則稱f是一致連續(xù)的.

注意到定義在閉區(qū)間上的實值函數(shù)如果連續(xù)，則必一致連續(xù)，下述引理顯示這一結(jié)論對從緊距離空間到距離空間的連續(xù)算子也成立.

引理4 若f是從緊距離空間E到距離空間X的連續(xù)算子，則f是一致連續(xù)的.

定理1 若F?C（E，X）是相對緊的，則F是一致有界且等度連續(xù)的.

對于一般的Banach空間，C（E，X）中子集的相對緊性有如下定理.

定理2 令E為緊度量空間，X為Banach空間，F(xiàn)為連續(xù)映射族C（E，X）的子集，則F為相對緊的當且僅當下面兩個條件滿足：

1）F是等度連續(xù)的；

2）對于任意的x∈E，集合F（x）＝f（x）：f∈F是相對緊的.

證明 假設(shè)F滿足兩個條件.我們證明F是相對緊的，由已知X為Banach空間，故C（E，X）為完備的，由引理1，只需證明F為完全有界集.

因為F為同等連續(xù)的，即對任意的ε＜0，存在δ＝δ（ε）＞0，對于任意的f∈F，任意的x1，x2∈E，當ρ（x1，x2）＜δ時，

又E是緊度量空間，由引理1，對于上述δ＞0，存在｛x1，x2，…，x n｝?E，對于任意x∈E，存在1≤i0≤n，使得ρ（x，x i0）＜δ.

由條件2），F(xiàn)（x1），F(xiàn)（x2），…，F(xiàn)（x n）是相對緊的，故

則有限個Fσ覆蓋F，要說明Fσ為F的有限ε網(wǎng)，只需說明Fσ的半徑為＜ε即可.對于任意的f，g∈Fσ，x∈E，

充分性得證.

下證必要性.對于等度連續(xù)，證法同定理1，對于2）由F的相對緊性易得.

現(xiàn)在我們將原定理中的條件適當減弱.

定理3 Ascoli-Arzela定理中函數(shù)族的一致有界性減弱為在某一點有界，結(jié)論依然成立.

證明 不妨設(shè)F在α點有界，我們只需證F一致有界.

由F等度連續(xù)，則對任意的ε＞0，存在δ＝δ（ε）＞0，對任意的f∈F，任意的x1，x2∈［α，β］，當｜x1－x2｜＜δ時，

顯然在這種較弱的條件下，定理的使用范圍大大增大了.

［1］張恭慶，林源渠.泛函分析講義［M］.北京：北京大學(xué)出版社，2004

［2］郭 偉.Ascoli-Arzela定理的一個推廣及應(yīng)用［J］.系統(tǒng)科學(xué)與數(shù)學(xué)，2002，22（1）：115-122

［3］夏道行，吳卓人，嚴紹宗.實變函數(shù)與泛函分析［M］.北京：北京大學(xué)出版社，1985

［4］尤秉禮.常微分方程補充教程［M］.北京：人民教育出版社，1981

［5］Serge L.Real and functional analysis［M］.Berlin：Spring Verlag，1993

A Change and Reduction of the Condition on Arzela′s Theorem

Zhang Yalin
（Institute of Science，Tianjin University，Tianjin 300072，China）

The continuous function groups in Arzela-Ascoli theoren which defined on［α，β］are reduced to a class of continuous operator groups defined on infinity dimension complact spaces，and the sufficient and necessary conditions are given for relative compactncss of a class of continuous operator groups.The uniformly boundedness condition is weakcned to bound in a point，the theorem is still on in this case.

Arzela-Ascoli theorm；relative compact；equicontinuous；uniformly boundedness

王映苗】

1672-2027（2012）01-0072-03

O174.1

A

2011-12-25

張亞林（1987-），女，山東河澤人，天津大學(xué)在讀碩士研究生，主要從事方程譜理論的研究.