樁承式路堤土拱效應(yīng)簡化分析方法

費(fèi) 康 ，王軍軍陳 毅

（1. 揚(yáng)州大學(xué) 巖土工程研究所，江蘇 揚(yáng)州 225009；2. 河海大學(xué) 巖土力學(xué)與堤壩工程教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，南京 210098）

1 引 言

樁承式路堤是指在地基中設(shè)置剛性樁來支承路堤填土荷載的新型路堤形式。由于其樁頂不設(shè)筏板，無需置換土體，且無需等待土體固結(jié)，具有施工速度快、沉降小、穩(wěn)定性高、經(jīng)濟(jì)性好的優(yōu)點(diǎn)，近年來在工程中的應(yīng)用越來越廣泛[1－2]。

樁承式路堤荷載傳遞機(jī)制的重要組成部分是“土拱效應(yīng)”，其是指在路堤荷載作用下，樁和地基土之間存在差異變形，路堤填土中產(chǎn)生剪應(yīng)力，荷載向樁頂轉(zhuǎn)移，從而減小了作用在地基土表面的荷載?，F(xiàn)有的土拱效應(yīng)分析方法中一般首先根據(jù)試驗(yàn)或數(shù)值分析結(jié)果假設(shè)填土的破壞模式，然后進(jìn)行理論推導(dǎo)，得到相應(yīng)的計算公式。如Terzaghi[3]根據(jù)活板門試驗(yàn)結(jié)果，假設(shè)填土中的破壞面為通過活動門邊緣（樁邊緣）的豎直面，作用在地基表面的荷載等于滑動體重力扣除邊界上的摩阻力，該方法對低路堤的模擬結(jié)果較好。對路堤填土較高的情況，Naughton[4]認(rèn)為，填土中的破壞面為通過樁邊緣的對數(shù)螺旋曲線，作用在地基表面上的荷載為破壞面下方土體的重量。Hewlett 等[5]進(jìn)行了二維和三維的室內(nèi)模型試驗(yàn)（以下簡稱H-R 方法），在填土中分層鋪設(shè)彩砂，根據(jù)變形后彩砂的分布假設(shè)填土中存在支撐于樁頂?shù)膱A形土拱，土拱以上的填土重量被直接傳給樁頂，以拱頂或拱腳土體單元的極限平衡條件為設(shè)計控制狀態(tài)。Zeaske 等[6]根據(jù)模型槽試驗(yàn)和數(shù)值分析，認(rèn)為在H-R 方法中假設(shè)的土拱下方還存在著一系列不同圓心和半徑的土拱，即所謂的“多拱模型”。圖1 歸納了這幾種方法中假設(shè)的破壞模式，圖中的a 為樁直徑或?qū)挾?，s 為樁間距，H 為填土高度。

由于采用的破壞模式不同，不同方法之間的計算結(jié)果差異較大，與實(shí)測數(shù)據(jù)也有所區(qū)別[7]。本文首先采用有限元軟件ABAQUS 對樁承式路堤填土中的破壞模式進(jìn)行分析，在此基礎(chǔ)上假設(shè)破壞面形狀，進(jìn)行理論推導(dǎo)，得到二維土拱效應(yīng)的簡化計算方法，最后將簡化方法計算結(jié)果與有限元和文獻(xiàn)中的收集的試驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行比較。

圖1 路堤填土的破壞模式 Fig.1 Failure modes of embankment fill

2 數(shù)值分析

2.1 幾何模型及邊界條件

本文主要分析平面應(yīng)變條件下的土拱效應(yīng)。計算中選擇圖1 中的1 根樁及其控制范圍進(jìn)行分析，考慮到對稱性，采用的幾何模型如圖2 所示，圖中的AB 代表樁頂，BC 代表樁間地基的頂面，AE 和CD 為填土的側(cè)向邊界。

由于計算的重點(diǎn)是分析樁和樁間土的差異變形 在填土中引起的土拱效應(yīng)，因此，模型中無需包含樁體和地基土，差異沉降通過設(shè)置不同的邊界條件來實(shí)現(xiàn)。具體做法為：約束AB 和BC 水平和豎直兩個方向的位移，約束AE 和CD 的水平位移；對填土按自重應(yīng)力分布設(shè)置初始應(yīng)力狀態(tài)，即

式中： σv為豎向應(yīng)力； σh為水平向應(yīng)力；γ 為填土的重度； K0= 1 - sin φ′為靜止土壓力系數(shù)；φ′為土體的有效內(nèi)摩擦角；z 為從填土頂面起算的深度。

設(shè)置初始應(yīng)力狀態(tài)之后，在后續(xù)分析步中放松BC 邊的約束條件，直至塑性區(qū)不斷擴(kuò)展，數(shù)值計算不收斂，以此模擬樁間土的沉降發(fā)展過程。這種做法相當(dāng)于路堤的填筑在不排水條件下進(jìn)行，隨后地基土體固結(jié)沉降，樁和樁間土出現(xiàn)足夠大的差異變形。由于沒有考慮地基土的支撐作用，模擬的是最不利的情況，以此分析土拱效應(yīng)可能發(fā)揮的最大限度。

圖2 有限元分析模型 Fig.2 The finite element model

2.2 材料模型及計算方案

路堤填土采用摩爾-庫侖理想彈塑性模型模擬，計算參數(shù)見表1。

表1 模型計算參數(shù) Table 1 Model calculation parameters

2.3 填土中的破壞面分析

破壞面通過等效塑性應(yīng)變增量的分布確定，等效塑性應(yīng)變eqε 定義為

式中：pε 為塑性應(yīng)變張量。

圖3 給出了φ ′= 30°、 s= 2.5 m時不同填土高度下確定的破壞面位置。為清晰起見，圖中只給出了樁頂以上s/2 范圍內(nèi)的結(jié)果。若用n 表示填土高度與樁凈間距之比 H /( s - a)，從計算結(jié)果可以看出， 當(dāng) n ≤ 1時，破壞面與Terzaghi 方法中假設(shè)的豎直面基本對應(yīng)，近似為通過樁邊緣豎直面。而當(dāng)n ≥ 1.5時，破壞面不同于H-R 方法、多拱理論等方法中假設(shè)的圓形土拱，而是由3 段組成：樁邊緣O點(diǎn)向左、右各存在一條近似直線的破壞面，其與水平面的夾角分別記為α 和β 。若將這2 個破壞面與左、右邊界的交點(diǎn)分別標(biāo)記為A、B，AB 兩點(diǎn)之間存在著一個近似以樁邊緣O點(diǎn)為中心的對數(shù)螺旋曲線面。1 ＜ n＜ 1.5屬于過渡階段。其他樁間距的計算結(jié)果也表現(xiàn)出相似的特性，這里不再贅述。

圖3 破壞面位置（s =2.5 m, φ' =30°） Fig.3 Locations of the failure surface（s =2.5 m, φ' =30°）

不同摩擦角下的計算結(jié)果也表現(xiàn)出相同的規(guī)律。以s =2.5 m，H =6.0 m 為例（見圖4），各摩擦角下的破壞面都可看作由兩條直線和一條對數(shù)螺旋曲線組成，且破壞面的α 角隨著φ′增加而增加，β隨著φ′增加而減小。

圖4 不同摩擦角下的破壞面位置（s =2.5 m, H =6.0 m） Fig.4 Locations of the failure surfaces at different friction angles（s =2.5 m, H =6.0 m）

為了進(jìn)一步對破壞面形狀進(jìn)行分析，圖5 將圖3 中H =6.0 m 下的破壞面拓展到2 個樁的控制范圍內(nèi)，可以很清楚地看出，路堤填土較高時的破壞面與地基承載力理論中的整體剪切破壞模式很接近，可看做由彈性楔體（1）、徑向剪切區(qū)（2）、朗肯被動區(qū)（3）所組成，只不過被動區(qū)發(fā)生了重疊。這和考慮相鄰基礎(chǔ)對地基承載力的影響有類似之處，Stuart[8]指出，如果相鄰基礎(chǔ)之間的距離正好使得兩個基礎(chǔ)的被動區(qū)重疊，則破壞面的形狀不會發(fā)生改變；當(dāng)相鄰基礎(chǔ)之間的距離在此基礎(chǔ)上進(jìn)一步減小時，破壞面的形狀將改變，以保證被動區(qū)通過基礎(chǔ)的邊緣。

圖5 重疊的破壞面（s =2.5 m, H =6.0 m, φ' =30°） Fig.5 Overlapped failure surface（s =2.5 m, H =6.0 m, φ' =30°）

3 土拱效應(yīng)簡化分析方法

根據(jù)前面的數(shù)值分析，樁承式路堤中填土的破壞模式可分為低路堤和高路堤破壞模式兩種。低路堤破壞模式中，填土中的破壞面為一條通過樁邊緣的豎直面，可采用Terzaghi 方法進(jìn)行理論分析。高路堤破壞模式中的破壞面是由類似于地基承載力理論中的彈性區(qū)、徑向剪切區(qū)和被動區(qū)組成，但由于重力作用方向始終向下，樁承式路堤并不能簡單地看作是倒轉(zhuǎn)的淺基礎(chǔ)，地基承載力理論不能直接應(yīng)用，需要重新推導(dǎo)。

3.1 破壞面形狀

根據(jù)上述分析，破壞面形狀可假設(shè)如圖6 所示。其中OA和OB 是直線，與水平面的夾角分別為α 和β 。AB 是以O(shè)′點(diǎn)為中心的對數(shù)螺旋曲線。若建立如圖6 所示的坐標(biāo)系，以樁的邊緣O 點(diǎn)為原點(diǎn)，x 軸水平向右，z 軸豎直向下。O′的坐標(biāo)記為( x， z )，對數(shù)螺旋曲線上任一點(diǎn)M 距O′ 點(diǎn)的距離R 為R0exp ［ (θ -η ) tanφ］，R0是O ′A 的長度，θ 是O ′M 與水平線的夾角。O′ A 和O ′B 與水平面的夾角分別為η 和ψ 。

根據(jù)Terzaghi 地基承載力理論，若不考慮土體自重，點(diǎn)O′將與點(diǎn)O 重合，α η φ= = ，β ψ= = 45 2φ°- 。而考慮土體自重時，對數(shù)螺旋線的位置需通過試算確定。

3.2 方程推導(dǎo)

取圖6 中的OABD 為脫離體。下面求作用在其上的力對O′點(diǎn)的力矩，力矩以逆時針為正。

圖6 破壞面形狀 Fig.6 Failure surface shape

（1）OAB 的自重對點(diǎn)O′的力矩

土塊OAB 由于自重對O′ 的力矩可由土塊O AB′ 、O OA′ 和O OB′ 的自重引起力矩的代數(shù)和求得。

土塊O AB′ 由于自重對O′的力矩為

其中：

土塊O OB′ 由于自重對O′的力矩為

因此，OAB 的自重對點(diǎn)O′的力矩為

其中： g1= f1+ f2- f3

（2）OBD 的自重對O′點(diǎn)的力矩

（3）OD 面上地基土反力對O′點(diǎn)的力矩，假設(shè)地基土反力sσ 均勻分布，則：

（4）BD 面上水平土壓力對O′點(diǎn)的力矩

式中：pK 為被動土壓力系數(shù)。

（5）OA面上合力對O′點(diǎn)的力矩

設(shè)OA 面上合力為 P1，合力作用點(diǎn)距A 點(diǎn)的距離為 ξOA =ξa (2cosα )，0 ≤ ξ≤ 1，若 ξ= 0則合力作用在A 點(diǎn)。在0～1 之間，若 P1作用方向與OA法線之間的夾角為φ，則 P1對O′點(diǎn)的力矩為

其中：

（6）AB 面上合力對O′點(diǎn)的距

對無黏性土，對數(shù)螺旋面AB 上的合力F 的作用線通過對數(shù)螺旋面的中心點(diǎn)O′，力矩為0。

由力矩平衡條件 0M =∑ ，將式（7）～（11）代入，整理后解得1P 為

其中：

根據(jù)樁頂三角楔形體 1OO A 豎直方向力的平衡可求得樁頂荷載pP 為

而根據(jù)整體平衡條件，又有：

式中：H 為填土高度。

若定義應(yīng)力折減系數(shù)rS 為

則可得

以上推導(dǎo)針對的是破壞面的被動區(qū)正好互相重疊的情況，對樁間距比較大的情況，破壞面可能部分重疊或不重疊，此時可先求出正好重疊時樁頂?shù)暮奢dpP ，再按下式計算應(yīng)力折減系數(shù)：

3.3 求解方法

為了求得最不利情況下的應(yīng)力折減系數(shù)rS ，需進(jìn)行試算。具體求解過程如下：

（1）假設(shè)不同的α 角和對數(shù)螺旋曲線中心點(diǎn)O′坐標(biāo)以及ξ 。

（2）根據(jù)幾何關(guān)系按下式確定η、ψ 和β 。式（19）需通過數(shù)值方法求解。

（3）計算不同情況下的應(yīng)力折減系數(shù)rS 及最大值。

4 簡化分析方法的驗(yàn)證

4.1 與有限元計算結(jié)果的比較

本小節(jié)將前面有限元參數(shù)敏感性分析的結(jié)果和本文簡化方法得到的應(yīng)力折減系數(shù) Sr進(jìn)行比較。

圖7（a）給出了應(yīng)力折減系數(shù) Sr與填土高度和樁凈間距之比 n = H （ s - a）的變化關(guān)系，圖中的m = a （ s - a），反映了不同樁間距的影響。注意到 Sr的數(shù)值應(yīng)在0～1 之間，若 Sr= 1，意味著作用在樁間土表面的荷載就等于填土荷載，沒有出現(xiàn)土拱效應(yīng)。反之，若 Sr= 0，所有的荷載都轉(zhuǎn)移到樁頂。

計算結(jié)果表明，雖然簡化分析方法計算得到的應(yīng)力折減系數(shù)略高于有限元計算結(jié)果，但整體變化規(guī)律是一致的。 Sr隨n 的增加而減小，當(dāng)填土高度較低時變化較明顯；填土高度較高后（n ＞4）， Sr基本保持不變。對不同的m 值，m 值越小， Sr越大，因而合理地設(shè)置樁間距及樁帽尺寸，可以明顯的減小作用在地基表面的荷載。同時也注意到，當(dāng)n ＜1.5時，m 對 Sr的影響不明顯，這是因?yàn)榇藭r路堤填土中的破壞模式主要是低填土路堤模式，破壞面為通過樁邊緣的豎直面，土拱效應(yīng)的程度取決于破壞面上發(fā)揮的摩擦力， Sr只與n 有關(guān)，這與前面關(guān)于破壞模式的分析是一致的。

圖7（b）給出了 s= 2.5 m， H = 6 m時 Sr與摩擦角φ 之間的關(guān)系。結(jié)果表明，有限元方法和本文簡化方法得到的規(guī)律是一致的。隨著摩擦角的增加，Sr減小得很明顯，當(dāng) φ= 20°時，簡化分析方法計算得到 Sr= 0.84；當(dāng) φ= 40°， Sr快速降低為0.25，更多的荷載通過土拱效應(yīng)傳遞給樁。

圖7 應(yīng)力折減系數(shù)的有限元和簡化方法計算結(jié)果的比較 Fig.7 Comparisons of stress reduction ratios computed by FEM and simplified method

4.2 與試驗(yàn)結(jié)果的比較

本小節(jié)將本文簡化方法的計算結(jié)果與文獻(xiàn)中收集的試驗(yàn)數(shù)據(jù)及其他土拱效應(yīng)分析方法進(jìn)行對比。

Low 等[9]進(jìn)行了土拱效應(yīng)的二維模型試驗(yàn)研究，試驗(yàn)在一長為1.5 m、寬為0.6 m、高為1.0 m的模型槽中進(jìn)行，樁梁采用寬 a= 25 mm 的木材模擬，軟土地基采用泡沫橡膠模擬，路堤填土材料采用砂土，重度 γ = 14.1 ± 0.2 kN/m3，摩擦角 φ= 45°，殘余摩擦角 φcr= 37.5°。試驗(yàn)中變化樁間距s 和填土高度H 。具體試驗(yàn)工況和試驗(yàn)結(jié)果如表2 中的試驗(yàn)1～4 所示。

曹衛(wèi)平等[10]參照Low 的方法，對樁-土相對位移、路堤高度、樁梁凈間距等因素對土拱效應(yīng)的影響進(jìn)行了分析，試驗(yàn)中地基軟土采用水袋模擬，通過給水袋放水來模擬地基固結(jié)沉降的過程。路堤材料填筑后重度γ =15.32～15.87 kN/m3，內(nèi)摩擦角φ = 30°。表2 的試驗(yàn)5～11 給出了樁梁寬a=150 mm時的試驗(yàn)結(jié)果。

對比起見，表2 中同時給出了H-R 方法、Terzaghi 方法和本文方法的計算結(jié)果。

根據(jù)H-R 方法，為了形成土拱，填土的高度至少要為樁間距的1/2，即 H ≥ 0.5 s ，對應(yīng)的平面應(yīng)力折減系數(shù)解答為

式（21）隱含認(rèn)為地基土反力 σs在相鄰樁之間均勻分布，計算結(jié)果見第5 列。Low 建議考慮樁間地基土反力非均勻分布，且等效分布應(yīng)力= 0.8σs，計算的結(jié)果見表2 第6 列。

Terzaghi 方法的平面應(yīng)力折減系數(shù)解答為

式中：K 為滑動面上的土壓力系數(shù)；sw 為填土頂面超載。應(yīng)用式（22）計算應(yīng)力折減系數(shù)有2 個不確定的因素。

（1）豎直滑動面上的土壓力系數(shù)的確定

由于滑動面上有剪切作用，使用靜止土壓力系數(shù)不太合適，這里采用Handy[11]的建議

式中：aK 為朗肯主動土壓力系數(shù)。

（2）等沉面高度的確定

在樁承式路堤中，樁頂和樁間土體之間存在沉降差，差異沉降在樁頂高程處最大，向上逐漸減小，當(dāng)差異沉降為0 時，對應(yīng)的高度稱為等沉面高度Hc。只有等沉面高度范圍內(nèi)的土體才發(fā)揮剪切作用，起到減小地基表面荷載的作用。因此，等沉面高度以上的填土重量需作為外荷載處理，即式（22）中的 ws。因此，等沉面高度對應(yīng)力折減系數(shù)的大小有比較明顯的影響。目前，等沉面高度與填土高度、摩擦角等因素的影響尚不十分明朗，Terzaghi[3]建議Hc取 2.5（ s - a），曹衛(wèi)平等[10]根據(jù)試驗(yàn)結(jié)果認(rèn)為 Hc在 1.4（ s - a）～ 1.6（ s - a）之間，Horgan 等[12]認(rèn)為 Hc在 1.545（s - a）～ 1.92（ s - a）之間，本文在計算時 Hc取 1.5（ s - a），計算結(jié)果見表2 中的第8 列。為對比起見，第7 列給出了不考慮等沉面時Terzaghi 方法的計算結(jié)果。

表2 應(yīng)力折減系數(shù)的計算值與試驗(yàn)結(jié)果的對比 Table 2 Comparison between measured and computed stress reduction ratios

表2 中將最接近試驗(yàn)結(jié)果的數(shù)值用黑體表示。整體上來看，本文方法與試驗(yàn)數(shù)據(jù)的吻合度最好。H-R 方法低估了土拱效應(yīng)的程度，計算得到的應(yīng)力折減系數(shù)偏大，樁凈間距較大時偏差更為明顯。這是因?yàn)镠-R 方法中土拱需支撐在樁上，樁凈間距越大，土拱下土體的重量也越大。另一方面，沒有考慮應(yīng)力在相鄰樁之間的非均勻分布，也會放大應(yīng)力折減系數(shù)?？紤]地基反力非均勻分布后，計算結(jié)果要好一些。

對于Terzaghi 方法，當(dāng)n 較高時（試驗(yàn)1～4），若不考慮等沉面高度，即認(rèn)為整個路堤填土高度中都會產(chǎn)生剪切，計算的應(yīng)力折減系數(shù)明顯偏小，不合理?？紤] 1.5（ s - a）的等沉面高度后，計算結(jié)果與實(shí)測值的吻合程度有所改善，如試驗(yàn)3、4。同時注意到，若n 非常大時，如試驗(yàn)1，n 達(dá)到8.0，考慮等沉面的計算與實(shí)測結(jié)果之間差異也比較大，這可解釋為填土高度增加之后，等沉面高度也應(yīng)相應(yīng)增加。若不考慮這一點(diǎn)，計算的應(yīng)力折減系數(shù)偏大。因此，Terzaghi 方法模擬的精確度存在不確定因素。對n≤2 的情況，考慮或者不考慮等沉面高度的計算結(jié)果差異不大，且與考慮應(yīng)力非均勻分布的H-R 方法結(jié)果相近。

絕大多數(shù)情況下，本文簡化方法的計算結(jié)果與試驗(yàn)值之間吻合較好。但也注意到，對試驗(yàn)5、6，簡化方法的模擬精確度并不如Terzaghi 方法，這是因?yàn)檫@兩個試驗(yàn)的填土高度相對較低，n分別為0.7、0.9。根據(jù)前面的分析，此時填土破壞為低路堤模式，破壞面為1 條通過樁邊緣的豎直面，更符合Terzaghi土拱效應(yīng)理論中的假設(shè)。因此，從整體上來看，對n≥1.5 的路堤，由于采用了更合適的破壞面假設(shè)，本文提出的簡化分析方法計算較其他分析方法更符合實(shí)際。

5 結(jié) 論

（1）根據(jù)有限元計算結(jié)果，樁承式路堤的破壞模式可分為低路堤和高路堤2 種模式，當(dāng)路堤填土較小時（n≤1），填土中的破壞面為通過樁邊緣的豎直面；當(dāng)路堤填土較高時（n≥1.5），填土中的破壞面由類似于地基承載力理論中的彈性區(qū)、徑向剪切區(qū)和被動區(qū)所組成。

（2）針對高路堤破壞模式，根據(jù)有限元計算結(jié)果假定了破壞面形狀，建立了土拱效應(yīng)簡化分析方法。利用本文方法對有限元和相關(guān)文獻(xiàn)的試驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行了比較。結(jié)果表明，由于采用了更合適的破壞面假設(shè)，簡化分析方法的計算結(jié)果較其他分析方法更符合實(shí)際。

（3）本文所給的簡化方法適用于求解極限狀態(tài)下的應(yīng)力折減系數(shù)，如何分析土拱效應(yīng)隨地基沉降變形的關(guān)系是下一步研究的重點(diǎn)。

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