基于動(dòng)量衰減哈密頓算法的波束形成技術(shù)研究

張愛麗， 李志勇， 張志軍

(河南師范大學(xué) 計(jì)算機(jī)與信息技術(shù)學(xué)院 河南 新鄉(xiāng) 453007)

0 引言

智能天線利用現(xiàn)代數(shù)字信號(hào)處理技術(shù)動(dòng)態(tài)地形成空間定向波束,使天線陣列方向圖主瓣對(duì)準(zhǔn)有用信號(hào)到達(dá)方向,旁瓣或零陷對(duì)準(zhǔn)干擾信號(hào)到達(dá)方向,從而達(dá)到充分利用移動(dòng)用戶信號(hào)并抵消或最大程度地抑制干擾信號(hào)的目的.采用智能天線技術(shù),不僅通過(guò)空分多址(spatial division multip le access,SDMA)提高系統(tǒng)容量,而且能夠降低多徑傳輸帶來(lái)的影響.因此,智能天線在移動(dòng)通信系統(tǒng)中的應(yīng)用技術(shù)已日益受到國(guó)內(nèi)外研究人員的重視.在對(duì)智能天線的各種研究中，天線設(shè)計(jì)和天線陣列信號(hào)處理的非線性優(yōu)化問(wèn)題始終令人關(guān)注.電控寄生(ESPAR)天線是智能天線的一種，通過(guò)電抗加載來(lái)控制方向圖主瓣指向，又稱為電控?zé)o源陣列天線.將哈密頓算法應(yīng)用到ESPAR天線的波束形成技術(shù)中，即將描述粒子運(yùn)動(dòng)的哈密頓方程應(yīng)用于解決最優(yōu)化問(wèn)題.優(yōu)化的目的是為了尋找最佳參數(shù)，此時(shí)代價(jià)函數(shù)的值最小[1].

1 關(guān)于哈密頓算法

在一個(gè)經(jīng)典的由M個(gè)粒子構(gòu)成的系統(tǒng)中，第i個(gè)粒子的質(zhì)量為mi，瞬時(shí)位置坐標(biāo)為xi，速度為vi,i=1,2,…,M.為簡(jiǎn)單起見，僅考慮一維的歐式空間，假定每個(gè)粒子的質(zhì)量都相同，即mi=m，引入一個(gè)線性動(dòng)量pi=mvi，這樣xi和pi均為標(biāo)量，系統(tǒng)的哈密頓方程定義為勢(shì)能U與動(dòng)能K之和[2],

H(x1,x2,…,xM,p1,p2,…,pM)=U(x1,x2,…,xM)+K(p1,p2,…,pM),

(1)

則，動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)可描述為

(2)

式(2)就是哈密頓方程，在動(dòng)力學(xué)中起非常重要的作用,可以看出

這表明哈密頓量是一個(gè)常量E，稱為總能量.很顯然，哈密頓系統(tǒng)是一個(gè)能量守恒系統(tǒng).

下面介紹哈密頓動(dòng)力學(xué)的計(jì)算方法.因?yàn)橐粋€(gè)函數(shù)的微分可以近似等于函數(shù)的變化量，則

xi(t+Δt)?xi(t)+Δt·dxi(t)/dt,pi(t+Δt)?pi(t)+Δt·dpi(t)/dt,

將(2)式代入，可得

(3)

(4)

(5)

(6)

優(yōu)化的目的是尋找最優(yōu)參數(shù)使得代價(jià)函數(shù)的值最小.在優(yōu)化過(guò)程中M個(gè)變量可以看作是哈密頓動(dòng)力學(xué)中的M個(gè)位置x1,x2,…,xM.用于優(yōu)化的動(dòng)能K通常表示為

(7)

此外，位置變量x1,x2,…,xM與{E-U(x1,x2,…,xM)}(M/2γ)-1成正比，其中，γ是一個(gè)正的常數(shù)因子，E是總能量.(7)式表明，當(dāng)0<γ≤1時(shí)，找到代價(jià)函數(shù)較小值的可能性大[3].

在尋找最優(yōu)值的過(guò)程中，通過(guò)逐漸增加動(dòng)量衰減量，可將哈密頓算法進(jìn)行擴(kuò)展，即在(6)式中插入一個(gè)動(dòng)量衰減量

(8)

其中，A0是控制動(dòng)量衰減量的一個(gè)參數(shù)，n是迭代次數(shù).因此，動(dòng)量p隨著迭代次數(shù)的增加成比例的衰減.通過(guò)對(duì)動(dòng)量的衰減，可以限制在一個(gè)較小的范圍內(nèi)尋找到局部最小值.

2 將哈密頓算法應(yīng)用于自適應(yīng)波束形成技術(shù)

2.1 ESPAR天線及其信號(hào)模型

ESPAR天線是智能天線中的一種，通過(guò)電抗加載來(lái)控制方向圖主瓣指向，又稱為電控?zé)o源陣列天線.該天線利用各陣元之間的耦合實(shí)現(xiàn)空間濾波，簡(jiǎn)化了RF電路.ESPAR天線為一個(gè)7單元λ/4單極陣子的六邊形陣，其中只有中心陣元是有源陣子，其他6個(gè)陣元均為無(wú)源陣子，分別下接一個(gè)可變電阻xm，對(duì)稱分布在以中心陣元為圓心、半徑為λ/4的圓周上.加載在每個(gè)無(wú)源陣子上的電抗值與各自的長(zhǎng)度相對(duì)應(yīng)，無(wú)源振子成為反射器還是引向器,取決于電抗值的正負(fù).如果加載負(fù)的電抗值，陣元表現(xiàn)為較短的單極天線(引向器)，反之，陣元表現(xiàn)為較長(zhǎng)的單極天線(反射器)[4].智能天線的作用原理就是通過(guò)一種自適應(yīng)算法改變每個(gè)陣元下可變電阻的阻值，從而改變天線的方向圖，形成對(duì)準(zhǔn)目標(biāo)的主波束和對(duì)準(zhǔn)干擾的零點(diǎn).

給定RF電流向量w=Vs(Z+X-1)μ0，其中，Vs是一常量，μ0=(1,0,…,0)T.對(duì)角矩陣X=diag(Z0,jx1,…,jxM)為電抗矩陣，Z=(zkl)(M+1)×(M+1)為阻抗矩陣，表示元素k和l之間的互阻抗(0≤k,l≤M).w、y(t)是電抗向量X的非線性函數(shù)[5].這就說(shuō)明，ESPAR天線的自適應(yīng)波束形成需要優(yōu)化算法，例如哈密頓算法.

引入哈密頓算法，M維參數(shù)被視為M個(gè)瞬時(shí)位置，將天線輸出信號(hào)相對(duì)于參考信號(hào)的均方誤差作為代價(jià)函數(shù).優(yōu)化的目的是尋找一個(gè)最佳參數(shù)，使代價(jià)函數(shù)的值最小.將天線輸出信號(hào)相對(duì)于參考信號(hào)的均方誤差作為代價(jià)函數(shù)，經(jīng)過(guò)多次迭代，找到代價(jià)函數(shù)的最小值.

2.2 基于哈密頓算法的自適應(yīng)波束形成技術(shù)

采用哈密頓算法，把M維變量的優(yōu)化問(wèn)題轉(zhuǎn)換成了M個(gè)質(zhì)子的動(dòng)力學(xué)問(wèn)題，經(jīng)過(guò)多次迭代，找到代價(jià)函數(shù)的最小值.波束形成自適應(yīng)算法目的是得到最優(yōu)的電抗向量值，此時(shí)代價(jià)函數(shù)是最小的,這里的代價(jià)函數(shù)相當(dāng)于哈密頓動(dòng)力學(xué)中的勢(shì)能，能夠避免局部最小值的出現(xiàn)，且容易找到代價(jià)函數(shù)的全局最小值.

哈密頓方程應(yīng)用于ESPAR天線的波束形成技術(shù)中，選用代價(jià)函數(shù)

(9)

U是輸出y(t)相對(duì)于參考信號(hào)r(t)的均方誤差(NMSE),其中，

3 仿真及分析

圖1 陣列天線方向

選用7元(M=6)ESPAR天線，信號(hào)采用BPSK調(diào)制方式，SNR=20 dB，干擾信號(hào)的功率與期望信號(hào)相同.電抗xi(i=1,2,…,6)的初值為0.動(dòng)量pi(i=1,2,…,6)與給定電抗的代價(jià)函數(shù)的值成正比，數(shù)據(jù)塊大小P=50.仿真中，訓(xùn)練序列的符號(hào)數(shù)目為P(M+1)N=50×(6+1)×5 000.

首先考慮在70 °和320 °方向有兩路信號(hào)的情況，由(5)和(8)式計(jì)算，經(jīng)過(guò)N=5 000次迭代之后，找到了NMSE的最小圖值，即對(duì)應(yīng)的電抗向量X.主波束指向期望信號(hào)70 °方向，零陷指向干擾信號(hào)320 °方向，如圖1所示，得到SIR為34 dB的輸出信號(hào).結(jié)果表明：帶有動(dòng)量衰減的HA形成的零陷要比沒有動(dòng)量衰減的HA或GBA形成的零陷深.

其次，觀察仿真中x1～x6的變化軌跡，如圖2所示.采用帶有動(dòng)量衰減的HA，其初始值和最優(yōu)值分別用正方形和圓形標(biāo)記.由于70 °方向?yàn)槠谕盘?hào)的波達(dá)方向，320 °方向?yàn)楦蓴_信號(hào)的波達(dá)方向，所以2號(hào)和3號(hào)陣元作用是引向器，應(yīng)加載負(fù)的電抗值，從而形成指向期望信號(hào)方向的主波束.5號(hào)和6號(hào)陣元作用是反射器，應(yīng)加載正的電抗值.在圖2中，可以看出，電抗x2和x3變化軌跡分布在負(fù)的區(qū)域，而x5和x6分布在正的區(qū)域.與不帶動(dòng)量衰減量的HA算法相比(見圖3)，帶有動(dòng)量衰減量的HA被限制在一個(gè)更小的范圍.這就意味著，帶有動(dòng)量衰減的HA的搜索效率更高.

圖2 迭代過(guò)程中電抗的變化軌跡(動(dòng)量衰減HA)and Δ(GBA)

圖3 迭代過(guò)程中電抗的變化軌跡 (不帶動(dòng)量衰減HA)and Δ(GBA)

圖4 輸出信干比高于已知信干比的概率

圖4給出實(shí)際輸出的信號(hào)干擾比(SIR)Z超出給定值(橫坐標(biāo))z的概率Pr(Z>z).在仿真時(shí)，期望信號(hào)和干擾信號(hào)均勻地、隨機(jī)地分布在0～360 °范圍內(nèi)，但是要有30 °的角度間隔.統(tǒng)計(jì)時(shí)，共用到10 000對(duì)波達(dá)方向.仿真結(jié)果表明：帶有動(dòng)量衰減的HA算法的SIR至少能夠輸出高于20 dB的已知SIR的概率為99%.與不帶動(dòng)量衰減的HA和GBA相比，高出6 dB的增益.

4 結(jié)論

在ESPAR天線的波束形成過(guò)程中，在哈密頓算法中引入動(dòng)量衰減.隨著搜索的進(jìn)行，動(dòng)量逐漸減弱.在整個(gè)過(guò)程的最初階段，衰減較弱，搜索在一個(gè)較大范圍內(nèi)進(jìn)行，而在搜索快結(jié)束時(shí)，衰減變大以保證搜索在較小范圍內(nèi)進(jìn)行，這為尋求波束形成的最優(yōu)解提供了更大的可能性[7].仿真結(jié)果表明,采用HA算法能夠靈活地駕馭陣列方向圖的主波束和零陷，采用帶有動(dòng)量衰減的HA算法，可使得搜索限制在一個(gè)高搜索概率的良好范圍.與不帶動(dòng)量衰減的HA和GBA相比，帶有動(dòng)量衰減的HA算法可獲得高出6 dB的增益，且能夠形成更高增益的主波束，在干擾方向形成較深的零陷.

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