理想氣體自由擴(kuò)散的計(jì)算機(jī)模擬

摘 要：通過(guò)分析蒙特卡羅模擬孤立系統(tǒng)中理想氣體的自由擴(kuò)散運(yùn)動(dòng)，并跟蹤氣體分子的隨機(jī)運(yùn)動(dòng)，直觀形象地把熵和系統(tǒng)無(wú)序程度的聯(lián)系展現(xiàn)了出來(lái)，更清晰地認(rèn)識(shí)了波爾茲曼對(duì)熵的統(tǒng)計(jì)解釋。

關(guān)鍵詞：理想氣體； 擴(kuò)散； 熵； 蒙特卡羅

中圖分類號(hào)：O411.2 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1006-3315(2011)11-176-002

在多數(shù)的大學(xué)物理教程中都運(yùn)用孤立系統(tǒng)理想氣體的自由擴(kuò)散運(yùn)動(dòng)來(lái)說(shuō)明一些孤立系統(tǒng)變化的不可逆性，進(jìn)而引出熵的概念[1]。本文通過(guò)蒙特卡羅方法在計(jì)算機(jī)上模擬理想氣體的自由擴(kuò)散運(yùn)動(dòng)[2]，并跟蹤氣體分子的隨機(jī)運(yùn)動(dòng)，直觀形象地把熵和系統(tǒng)無(wú)序程度的聯(lián)系展現(xiàn)了出來(lái)，更清晰地認(rèn)識(shí)兩者之間的關(guān)系。

一、理想氣體的擴(kuò)散

氣體分子作雜亂無(wú)章的運(yùn)動(dòng)的原因是氣體分子間在作十分頻繁的碰撞，碰撞使分子不斷改變運(yùn)動(dòng)方向與速率的大小，而且這種改變完全是隨機(jī)的。按照理想氣體基本假定，分子可視為質(zhì)點(diǎn)，分子間和分子與氣壁的碰撞是完全彈性的，另外分子間的相互作用力可忽略，因而，理想氣體的分子可以看做是自由的、無(wú)規(guī)則地運(yùn)動(dòng)著的彈性質(zhì)點(diǎn)的集合。

圖1是氣體分子間的碰撞示意圖。小球表示氣體分子，其中白球是要研究的分子，黑球是相對(duì)白球靜止的分子，研究的分子先后與兩個(gè)氣體分子相碰。白球先以V1的速度與相對(duì)靜止的黑球碰撞，碰撞后白球的速度大小變?yōu)閂2，V1和V2的方向夾角是?茲1，然后白球以V2速度做勻速運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)了L距離又與另一黑球發(fā)生碰撞，同樣速度的大小和方向都發(fā)生改變，碰撞后以V3的速度勻速運(yùn)動(dòng)，V3與V2的夾角是?茲2。氣體分子間就這樣不斷地發(fā)生著隨機(jī)的碰撞，氣體分子間通過(guò)頻繁的相互碰撞，來(lái)實(shí)現(xiàn)分子間動(dòng)量、動(dòng)能的交換。

可見(jiàn)，氣體分子的碰撞頻率和平均自由程、分子數(shù)密度和平均速率有關(guān)。所以從宏觀統(tǒng)計(jì)角度來(lái)看，在我們的模擬過(guò)程中讓分子的每一個(gè)自由程（步長(zhǎng)）為相同的常數(shù)，并不影響宏觀統(tǒng)計(jì)效果。

2.過(guò)程

2.1分子運(yùn)動(dòng)區(qū)域：盒子的整個(gè)區(qū)域范圍為橫坐標(biāo)X(-100-100)，縱坐標(biāo)Y(0-100)，開(kāi)始在橫坐標(biāo)X為0-100，縱坐標(biāo)Y為0-100的區(qū)域（即盒子的右半部）均勻分布1000個(gè)氣體分子（二維平面上運(yùn)動(dòng)），如圖2，小黑點(diǎn)代表氣體分子。

2.2隨機(jī)的運(yùn)動(dòng)：通過(guò)隨機(jī)數(shù)產(chǎn)生函數(shù)給出每個(gè)氣體分子發(fā)生碰撞后隨機(jī)的運(yùn)動(dòng)方向，這樣模擬的氣體分子就運(yùn)動(dòng)了起來(lái)。

2.3同一步長(zhǎng)：取分子碰撞后每一個(gè)自由程的長(zhǎng)為一定值1，即當(dāng)分子運(yùn)動(dòng)了長(zhǎng)度1的距離都與其他的分子發(fā)生碰撞并改變運(yùn)動(dòng)方向。

2.4邊界條件：分子間和分子與氣壁的碰撞是完全彈性的，這是用來(lái)限定一些分子運(yùn)動(dòng)到區(qū)域邊界時(shí)需要服從的情況。

2.5對(duì)于每個(gè)分子都如此重復(fù)著無(wú)規(guī)則的擴(kuò)散運(yùn)動(dòng)。

三、結(jié)果和討論

1.單個(gè)粒子的隨機(jī)運(yùn)動(dòng)

我們抽去擋板時(shí)計(jì)時(shí)開(kāi)始，跟蹤了一個(gè)確定的氣體分子的一段運(yùn)動(dòng)路線，記錄了其50步的運(yùn)動(dòng)情況，可以知道對(duì)于單個(gè)分子的運(yùn)動(dòng)，它的運(yùn)動(dòng)是沒(méi)有任何規(guī)律可言，只是在永不停息的做著無(wú)規(guī)則的隨機(jī)熱運(yùn)動(dòng)。

2.氣體熵和無(wú)序性的關(guān)系

經(jīng)過(guò)對(duì)氣體分子擴(kuò)散運(yùn)動(dòng)初態(tài)和達(dá)到穩(wěn)定態(tài)后的對(duì)比?？梢钥吹疆?dāng)擋板抽去以后，氣體分子向盒子左半部擴(kuò)散，最終達(dá)到一個(gè)在整個(gè)盒內(nèi)均勻分布的平衡態(tài)。微觀上，均勻分布是一種無(wú)序狀態(tài)，非均勻分布是一種有序狀態(tài)，氣體分子的擴(kuò)散，就是分子從在盒子右半部的有序狀態(tài)的分布向均勻分布到整個(gè)盒子的無(wú)序狀態(tài)的變化。

由統(tǒng)計(jì)熱力學(xué)我們知道系統(tǒng)處于某一宏觀態(tài)的熵與該宏觀態(tài)的熱力學(xué)概率W的對(duì)數(shù)成正比，即波爾茲曼關(guān)系

S=KlnW （4）

其中K為波爾茲曼常量。我們來(lái)計(jì)算一下整個(gè)擴(kuò)散過(guò)程中氣體的熵隨時(shí)間變化的情況，計(jì)算結(jié)果如圖3，單位是bit[3]。

由圖3可以看到，隨著氣體從盒子右半部不斷地充滿整個(gè)盒子的過(guò)程中，氣體的熵值不斷增大，最后趨于一個(gè)穩(wěn)定的值。在氣體擴(kuò)散趨于穩(wěn)定后，我們跟蹤了盒子中任意兩個(gè)確定的氣體分子，分別記錄了50步，可看到它們?cè)谡麄€(gè)盒內(nèi)仍是到處無(wú)規(guī)則地亂竄，但就所有氣體分子整體而言，盒子單位區(qū)域內(nèi)的分子密度卻不會(huì)再變化了，即分子是動(dòng)態(tài)分布均勻的。

隨著時(shí)間的變化，氣體分子從有序的初態(tài)到無(wú)序的末態(tài)，而熵值此時(shí)不斷增大，最終趨于穩(wěn)定的最大值?？梢?jiàn)，熵可以被看作是孤立系統(tǒng)無(wú)序度的一種量度，并且孤立系統(tǒng)的自發(fā)過(guò)程，總是向著熵增大的方向進(jìn)行。

3.結(jié)論

本文通過(guò)蒙特卡羅方法在計(jì)算機(jī)上模擬孤立系統(tǒng)中理想氣體的自由擴(kuò)散運(yùn)動(dòng)，并跟蹤了氣體粒子的運(yùn)動(dòng)，把熵和系統(tǒng)無(wú)序程度的聯(lián)系展現(xiàn)了出來(lái)。更清楚地認(rèn)識(shí)到不可逆過(guò)程就是由混亂程度小的宏觀態(tài)向混亂程度大的宏觀態(tài)方向進(jìn)行，即一個(gè)孤立系統(tǒng)內(nèi)的自發(fā)過(guò)程，總是由熱力學(xué)概率小的宏觀態(tài)向熱力學(xué)概率大的宏觀態(tài)的方向進(jìn)行。

參考文獻(xiàn)：

[1]楊曉榮，陳素麗.對(duì)理想氣體方程pV=Nk_BT的討論.大學(xué)物理2008年08期.

[2]馬琰銘，固氫摻鋰體系壓致效應(yīng)的量子路徑積分蒙特卡羅研究，吉林大學(xué)博士畢業(yè)論文.

[3]薛萬(wàn)華，理想氣體等溫混合Gibbs熵佯謬簡(jiǎn)論，寧德師專學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版) 1994年02期