均勻帶電圓環(huán)中心軸線上的場強(qiáng)與電勢

均勻帶電圓環(huán)中心軸線上的場強(qiáng)與電勢分別有什么規(guī)律？兩個(gè)共軸放置的均勻帶電圓環(huán)中心軸線上的場強(qiáng)與電勢又分別有什么規(guī)律？幾何畫板具有已知函數(shù)繪制圖象的功能，下面筆者將利用這一功能，對上述問題進(jìn)行探討。

1 均勻帶電圓環(huán)中心軸線上的場強(qiáng)

1．1 一個(gè)帶電圓環(huán)

1.1.1 場強(qiáng)計(jì)算式的導(dǎo)出

如圖1所示，均勻帶電圓環(huán)的半徑為R，帶電量為q。把圓環(huán)分割成許多小段，任取一長為dl的電荷元，其上所帶電量為dq=q2πRdl。設(shè)電荷元距P點(diǎn)的距離為r，OP間距離為x。將電荷元在P點(diǎn)場強(qiáng)dE分解為平行和垂直于軸線的兩個(gè)分量dE∥和dE⊥。由于圓環(huán)電荷分布具有軸對稱性，所以圓環(huán)上所有電荷的dE⊥分量的矢量和為零，因而P點(diǎn)的場強(qiáng)沿軸線方向，且為E=∫2πR0dE∥=∫2πR0kdqr2cosθ，式中θ為dE與X軸的夾角，cosθ=xR2+x2。

軸線上的場強(qiáng)計(jì)算式為E=kqx(R2+x2)32。E的方向由電量q的正、負(fù)決定：當(dāng)q＞0時(shí)，環(huán)右側(cè)E的方向沿軸線指向X軸正方向；當(dāng)q＜0時(shí)，環(huán)右側(cè)E的方向沿軸線指向X軸負(fù)方向。

1.1.2 場強(qiáng)計(jì)算式的討論

當(dāng)x=0時(shí)，E=0，即環(huán)心處場強(qiáng)為零；當(dāng)x∞時(shí)，E=0；當(dāng)xR時(shí)，E≈kqx2?？梢姡h(yuǎn)離環(huán)心處的電場相當(dāng)于一個(gè)點(diǎn)電荷q產(chǎn)生的。當(dāng)dEdx=0時(shí)，即x=±2R時(shí)，E取極大值。

1.1.3 畫出場強(qiáng)量值分布圖

根據(jù)計(jì)算式E=kqx(R2+x2)32，取kq=9，R=2（以后畫場強(qiáng)分布情況圖與此相同），在幾何畫板繪制函數(shù)圖象中畫出圓環(huán)中心軸線上的場強(qiáng)量值的分布圖，如圖2所示。

1．2 兩個(gè)共軸放置的帶電圓環(huán)

如圖3所示，兩個(gè)帶電圓環(huán)共軸放置，間距為d。以右環(huán)的環(huán)心為坐標(biāo)原點(diǎn)O建立坐標(biāo)系，后面的圖象用虛線記錄環(huán)的位置。在X軸上取一點(diǎn)P，設(shè)OP間距為x，根據(jù)前面的分析，可知P點(diǎn)的場強(qiáng)為E=kqx(R2+x2)32。場強(qiáng)分布規(guī)律與間距d有關(guān)，下面給出一些典型的場強(qiáng)量值分布圖。

兩個(gè)圓環(huán)帶等量同種正電荷，當(dāng)d=R、d=1.5R、d=2R時(shí)，分布圖分別如圖4、圖5、圖6所示。

兩個(gè)圓環(huán)帶等量異種電荷，且右環(huán)帶正電，當(dāng)d=R、d=2.5R、d=5R時(shí)，分布圖分別如圖7、圖8、圖9所示。

保持右環(huán)的位置不變，隨著間距d的增大，場強(qiáng)量值分布規(guī)律越來越趨于一個(gè)右圓環(huán)的情形。當(dāng)dR時(shí)，分布規(guī)律如圖2所示。

2 均勻帶電圓環(huán)中心軸線上的電勢

2．1 一個(gè)帶電圓環(huán)

2.1.1 電勢計(jì)算式的導(dǎo)出

如圖1所示，設(shè)電荷元距P點(diǎn)的距離為r，OP間距離為x。電荷元dq在圓環(huán)軸線上P點(diǎn)產(chǎn)生的電勢為

dφ=kdqr=kqdl2πRR2+x2

φ=∫dφ=∫2πR0kqdl2πRR2+x2

所以，軸線上的電勢計(jì)算式為

φ=kqR2+x2

2.1.2 電勢計(jì)算式的討論

當(dāng)P點(diǎn)位于環(huán)心O處時(shí)，即x=0時(shí)，φ=kqR；當(dāng)P點(diǎn)位于軸線上相當(dāng)遠(yuǎn)處，即xR時(shí)，φ=kqx?？梢?，遠(yuǎn)離環(huán)心處的電勢相當(dāng)于一個(gè)點(diǎn)電荷q產(chǎn)生的。

2.1.3 畫出電勢量值分布圖

根據(jù)電勢計(jì)算式φ=kqR2+x2，取kq=92，R=2（以后畫電勢分布情況圖與此相同），在幾何畫板繪制函數(shù)圖象中畫出圓環(huán)中心軸線上的電勢量值的分布圖，如圖10所示。

2．2 兩個(gè)共軸放置的帶電圓環(huán)

如圖3所示，兩個(gè)帶電圓環(huán)共軸放置，間距為d。以右環(huán)的環(huán)心O為坐標(biāo)原點(diǎn)建立坐標(biāo)系，在X軸上取一點(diǎn)P，設(shè)OP間距為x。根據(jù)前面的分析，可知P點(diǎn)的電勢為

φ=kqR2+x2+kqR2+(x+d)2

電勢分布規(guī)律與間距d有關(guān)，下面給出一些典型電勢量值分布圖。

兩個(gè)圓環(huán)帶等量同種正電荷，當(dāng)d=R、d=2R時(shí)分布規(guī)律分別如圖11、圖12所示。

兩個(gè)圓環(huán)帶等量異種電荷，且右環(huán)帶正電，當(dāng)d=R時(shí)分布規(guī)律如圖13所示。

保持右環(huán)的位置不變，隨著間距d的增大，電勢量值分布規(guī)律越來越趨于一個(gè)右圓環(huán)的情形。當(dāng)dR時(shí)，分布規(guī)律如圖10所示。

3 規(guī)律應(yīng)用

（南通市2010屆高三第二次模擬考試第9題）如圖14所示，兩個(gè)固定的相同細(xì)環(huán)相距一定的距離，同軸放置，O1、O2分別為兩環(huán)的圓心，兩環(huán)分別帶有均勻分布的等量異種電荷。一帶正電的粒子從很遠(yuǎn)處沿軸線飛來并穿過兩環(huán)，則在帶電粒子運(yùn)動(dòng)過程中

A．在O1點(diǎn)粒子加速度方向向左

B．從O1到O2過程粒子電勢能一直增加

C．軸線上O1點(diǎn)右側(cè)存在一點(diǎn)，粒子在該點(diǎn)動(dòng)能最小

D．軸線上O1點(diǎn)右側(cè)、O2點(diǎn)左側(cè)都存在場強(qiáng)為零的點(diǎn)，它們關(guān)于O1、O2連線中點(diǎn)對稱

解析 由圖7、8可知，兩環(huán)間距離不是太大時(shí)，在O1點(diǎn)右側(cè)存在一點(diǎn)合場強(qiáng)為零，在合場強(qiáng)為零點(diǎn)的右側(cè)場強(qiáng)為正，方向向右，在合場強(qiáng)為零點(diǎn)與O1點(diǎn)之間場強(qiáng)為負(fù)，方向向左。一帶正電的粒子從很遠(yuǎn)處沿軸線飛來并穿過兩環(huán)，在O1點(diǎn)粒子加速度方向應(yīng)該向左，所以A對。在O1點(diǎn)右側(cè)飛來的粒子應(yīng)先減速后加速，在合場強(qiáng)為零點(diǎn)速度最小，所以C對。由圖7、8的圖象對稱性，可知D正確。由圖13可知，從O1到O2兩環(huán)軸線上的合電勢越來越小，故帶正電的粒子從O1到O2過程粒子電勢能減少，所以B錯(cuò)。

點(diǎn)評 當(dāng)兩圓環(huán)間距離太大時(shí)，兩環(huán)中心軸線上的場強(qiáng)分布就趨于圖2的規(guī)律，在O1點(diǎn)右側(cè)合場強(qiáng)為零的點(diǎn)就趨于點(diǎn)O1，所以題中兩環(huán)間的距離不應(yīng)該太大。

教師批改后發(fā)現(xiàn)許多學(xué)生沒有選C，與他們交流后發(fā)現(xiàn)錯(cuò)誤的原因，原來學(xué)生把帶電圓環(huán)當(dāng)成點(diǎn)電荷來處理的，認(rèn)為O1點(diǎn)右側(cè)不存在合場強(qiáng)為零的點(diǎn)，從O1點(diǎn)右側(cè)飛來的粒子一直減速?？梢姶祟}較好的考查了學(xué)生的建模能力。

根據(jù)場強(qiáng)計(jì)算式E=kqx(R2+x2)32，利用導(dǎo)數(shù)dEdx=0，發(fā)現(xiàn)E有極大值，利用幾何畫板畫出場強(qiáng)的分布規(guī)律，超出了考試大綱對學(xué)生的要求。但是學(xué)生可以用θ作變量解出場強(qiáng)計(jì)算式E=kqsinθcosθR2求出x=R2時(shí)，E有極大值，再粗畫場強(qiáng)的分布規(guī)律來解決。因此，這是一道適宜考查學(xué)生能力的好題目。

如果兩個(gè)圓環(huán)帶的是等量同種電荷，那么兩環(huán)之間軸線上的電場與電勢就比較復(fù)雜，粗畫場強(qiáng)、電勢的分布就不能發(fā)現(xiàn)其中的規(guī)律，為此命題者巧妙做了回避。

應(yīng)用幾何畫板繪制函數(shù)圖象的功能，研究均勻帶電圓環(huán)中心軸線上的場強(qiáng)與電勢的空間分布，使規(guī)律清楚、直觀地凸顯出來，有助于深入理解均勻帶電圓環(huán)中心軸線上的場強(qiáng)與電勢。

(欄目編輯羅琬華)