解方程:讓等式性質(zhì)與互逆關(guān)系同行

　　方程是刻畫現(xiàn)實(shí)世界的一個(gè)有效的數(shù)學(xué)模型。解方程是新課程“數(shù)與代數(shù)”領(lǐng)域的重要學(xué)習(xí)內(nèi)容，對(duì)學(xué)生的后繼學(xué)習(xí)影響很大，能用順向數(shù)學(xué)思維解決實(shí)際生活問題和純數(shù)學(xué)問題?！稊?shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(實(shí)驗(yàn)稿)》對(duì)解方程制訂的目標(biāo)定位是：理解等式的性質(zhì)，會(huì)用等式的性質(zhì)解簡單的方程(如3x+2=5，2x-x=3)?，F(xiàn)行人教版小學(xué)數(shù)學(xué)教材就是根據(jù)上述目標(biāo)編寫的，以期學(xué)生順利完成從小學(xué)到中學(xué)的過渡。
　　
　　一、困惑
　　
　　根據(jù)(人教版)教材的安排，筆者在教學(xué)實(shí)踐中，運(yùn)用教材提供的四幅直觀圖，用兩個(gè)課時(shí)的教學(xué)揭示等式的基本性質(zhì)，并運(yùn)用等式的性質(zhì)解簡單的方程?？墒俏覀儼l(fā)現(xiàn)，運(yùn)用等式的性質(zhì)解方程教學(xué)效果較差，學(xué)生普遍反映書寫步驟繁瑣，尤其是大部分學(xué)力中下的學(xué)生無法理解并正確解答形如a-x=b、a÷x=b的方程，雖說教材根據(jù)《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》的目標(biāo)要求，回避這兩種形式的方程，但這樣的方程在解決問題中也是常見的方程，在課堂配套作業(yè)與單元練習(xí)中也經(jīng)常出現(xiàn)，教師在教學(xué)中必須面對(duì)。令我們困惑的是：無論老師如何運(yùn)用天平平衡的原理，講解算理、示范解法，學(xué)生中總有人犯著同樣的錯(cuò)誤：a-x=b a-x+a=b+a……：a÷x＝b a÷x×a=b×a……，
　　
　　二、思考
　　
　　記得有位教育家說過：“如果教師教了三遍，學(xué)生還不懂，就要反思教師的教學(xué)方法。”于是，我們靜心反思出現(xiàn)這種“屢教不懂”的原因，積極探尋有效的教學(xué)方法。
　　1．原因：脫離基礎(chǔ)。首先，等式的性質(zhì)對(duì)小學(xué)生來說，是全新的內(nèi)容，學(xué)生雖然按教材的思路，通過直觀圖和借助天平操作，從“天平保持平衡”中獲得了對(duì)等式基本性質(zhì)的初步認(rèn)識(shí)，但運(yùn)用這種感性的經(jīng)驗(yàn)解方程還有一定的困難。其次，學(xué)生沒有學(xué)過有理數(shù)，用等式的基本性質(zhì)解方程還存在很大的局限性。最后，從學(xué)生內(nèi)隱學(xué)習(xí)的角度審視，學(xué)生在利用等式的性質(zhì)解答形如x-a=b的方程時(shí)，是在方程的兩邊同時(shí)+a，受這個(gè)過程的負(fù)遷移，在解答形如a-x=b的方程時(shí)，看到減號(hào)，就誤以為也在方程兩邊同時(shí)+a。因此，我們認(rèn)為：利用等式的性質(zhì)解這類方程，脫離了小學(xué)生原有的認(rèn)知基礎(chǔ)，有違循序漸進(jìn)的原則。
　　2．現(xiàn)狀：無法回避。人教版教材根據(jù)《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(實(shí)驗(yàn)稿)》的目標(biāo)要求，表面上似乎回避了形如a-x=b、a÷x=b的方程，[新頒布的《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(修改稿)》中也回避這兩種形式的方程。]可是實(shí)際上，教材中許多練習(xí)題的解答過程中，無法回避這樣的方程。如五年級(jí)上冊(cè)第66頁練習(xí)十二第2題：共有1428個(gè)網(wǎng)球，每5個(gè)裝一筒，裝完后還剩3個(gè)。一共裝了多少筒?編者的意圖是讓學(xué)生列出的方程是5x+3=1428，可不少學(xué)生列出的方程是1428-5x=3，很明顯，學(xué)生列出的方程是完全正確的，但解答時(shí)發(fā)生了困難。此時(shí)，教師不能視學(xué)生的正確思路而不顧，否定學(xué)生列出的方程，強(qiáng)制他們列出5x+3=1428，否則會(huì)使數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)走人機(jī)械僵化的誤區(qū)，從而制約學(xué)生數(shù)學(xué)思維的發(fā)展，而只能順著學(xué)生的思路，將解方程的方法進(jìn)行引導(dǎo)：方程兩邊同時(shí)加上5x……如此，解答步驟多，中下學(xué)生不易理解、掌握。
　　3．策略：兩者同行。一邊是《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(實(shí)驗(yàn)稿)》指導(dǎo)下的教材，要求用等式的性質(zhì)解方程，另一邊是學(xué)生真實(shí)的學(xué)習(xí)困難，解方程教學(xué)是否步人兩難的境地?不是。我們認(rèn)為：完全可以靈活運(yùn)用“等式性質(zhì)”與“互逆關(guān)系”兩種方法，引導(dǎo)學(xué)生解方程。
　　(1)《浙江省小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)建議》第5條指出：……在把握教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)的同時(shí)，要充分考慮知識(shí)的形成線索和學(xué)生學(xué)習(xí)的認(rèn)知線索，在此基礎(chǔ)上通過補(bǔ)充、修改、調(diào)換、刪減等方法完善教材資源。傳統(tǒng)教材強(qiáng)調(diào)用算術(shù)方法——利用四則運(yùn)算中各部分之間的互逆關(guān)系解方程，這種方法學(xué)生能較輕松地掌握，雖然對(duì)中學(xué)代數(shù)教學(xué)不利，但它符合學(xué)生的認(rèn)知基礎(chǔ)。唯物辯證法的核心是揚(yáng)棄，就是要在汲取傳統(tǒng)方法精華的基礎(chǔ)上謀求創(chuàng)新，并非一味否認(rèn)。方法多樣化是解決數(shù)學(xué)問題的明顯特征，在殊途同歸之時(shí)，我們必須追求簡捷有效的方法，即解決問題的方法要接近學(xué)生的最近發(fā)展區(qū)，合適的才是最好的。
　　(2)筆者在教學(xué)實(shí)踐中，適時(shí)引入互逆關(guān)系，引導(dǎo)學(xué)生解方程。當(dāng)學(xué)生練習(xí)時(shí)出現(xiàn)形如a-x=b、a÷x=b的方程，解答有困難時(shí)，指導(dǎo)他們另辟蹊徑，運(yùn)用互逆關(guān)系解答，特別是學(xué)力中下的學(xué)生普遍反映容易理解，并且書寫簡潔，很受他們的歡迎，在五年級(jí)下冊(cè)解答分?jǐn)?shù)加減法方程時(shí)，正確率大大提高。
　　[案例]人教版五年級(jí)上冊(cè)第63頁練習(xí)十一第6題要求：根據(jù)題中的數(shù)量關(guān)系列出方程，并求出方程的解，其中第(3)小題如下圖：
　　
　　教師讓學(xué)生自主練習(xí)后反饋，肯定列出的方程12x=18，用等式的性質(zhì)正確解方程的學(xué)生，同時(shí)，發(fā)現(xiàn)不少學(xué)生列出的方程正確，但解答錯(cuò)誤：
　　18÷x=12
　　18÷x×18=12×18
　　x=156
　　師：這個(gè)結(jié)果可能嗎?
　　生1：不可能，沒那么貴，但解題過程中方程兩邊都乘18沒錯(cuò)。
　　師：方程兩邊應(yīng)該都乘x(板書正確的解答過程，略)，這樣對(duì)你們來說，理解起來有些困難，但我們可以想想另外的辦法，比如把x看做括號(hào)。板書：18÷(　)=12。
　　生2：哦，(　)=18÷12=1.5。
　　師：對(duì)了，你用學(xué)過的乘除法各部分問的關(guān)系解答了。由此你們想到了什么?
　　生3：(　)在除法算式中是除數(shù)，除數(shù)=被除數(shù)÷商。
　　師：太好了，你找到了這樣做的依據(jù)。(板書上述關(guān)系式)規(guī)范的解方程的格式應(yīng)該怎樣寫?
　　生4：18+x=12
　　x=18÷12
　　x=1.5
　　生(齊)：哇!這種方法容易想通，寫起來也簡便。事實(shí)證明：當(dāng)學(xué)生碰到學(xué)習(xí)困難時(shí)，教師在他們?cè)械恼J(rèn)知基礎(chǔ)上，適時(shí)引領(lǐng)他們探究新方法，建立新舊知識(shí)的融合，不失為一種良策，避免讓學(xué)生“在一棵樹上吊死”。讓中下生掌握他們喜歡的、有效的方法，也符合義務(wù)教育“上不封頂，下要保底”的理念，我們何樂而不為?
　　(3)人教版教材也不是全部用等式的性質(zhì)解方程的，六年級(jí)上冊(cè)第37頁“解決問題”例1(1)的示范解答(如下圖)，從書寫格式分析，編者應(yīng)用的是互逆關(guān)系之一：一個(gè)因數(shù)=積÷另一個(gè)因數(shù)。這說明編者也認(rèn)同可以用互逆關(guān)系解方程。
　　解：設(shè)小明的體重是xkg。
　　4／5x=28
　　x=28÷4／5
　　x=35
　　答：小明的體重是、35kg。
　　令人欣喜的是，《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(修改稿)》中，對(duì)解方程的目標(biāo)定位是：能解簡單的方程(如3x+2=5，2x-x=3)。解讀這個(gè)目標(biāo)要求，可以看出不再強(qiáng)求用等式性質(zhì)解方程，允許用互逆關(guān)系解方程。讓我們?cè)谄诖c《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(修改稿)》配套的新教材的同時(shí)，既面對(duì)現(xiàn)實(shí)——順應(yīng)小學(xué)生認(rèn)知發(fā)展的基礎(chǔ)，又面向未來——與學(xué)生中學(xué)學(xué)習(xí)內(nèi)容接軌。
　　
　　責(zé)任編輯：陳