“子集”在命題推出關(guān)系中的應(yīng)用

　　摘 要：數(shù)學(xué)是中小學(xué)必修課目之一，介紹“子集”思想在推出關(guān)系中的應(yīng)用。具體是通過三個例題進行了解析：例1直接利用總結(jié)結(jié)論解題，例2從兩個角度去求參數(shù)范圍，例3則驗證該結(jié)論在開放性習(xí)題中是否成立。
　　關(guān)鍵詞：子集；命題推出關(guān)系；應(yīng)用
　　
　　集合與命題一直緊密聯(lián)系在一起，體現(xiàn)了知識的統(tǒng)一性，而集合中的子集與命題推出關(guān)系更是融為一體，所以領(lǐng)會子集與命題推出關(guān)系之間的聯(lián)系，學(xué)會運用就至關(guān)重要，那么如何建立子集與推出關(guān)系之間等價關(guān)系，就成為重點問題，對于這類問題，我總結(jié)為“若命題p推出命題q，則p對應(yīng)集合A是q對應(yīng)集合B的子集”，以下面幾個案例，具體闡述這一結(jié)論。
　　例1.設(shè)p：實數(shù)x滿足x2-3x+2≤0，命題q：m+1≤x≤2m+4，若q是p的必要非充分條件，求m的取值范圍。
　　解：設(shè)p=A=x│1≤x≤2
　　q=B=x│m+1≤x≤2m+4
　　∵q是p的必要非充分條件
　　∴p?圯q
　　∴B是A的真子集
　　∴m+1≤12m+4≥2，解得-1≤m≤0
　　評析：初步理解“子集”在命題推出關(guān)系中的作用，消除了許多學(xué)生化簡命題后不知如何下手的困惑。解決此類問題一般是把充分條件，必要條件或充要條件轉(zhuǎn)化為集合之間的關(guān)系。然后根據(jù)集合之間的關(guān)系列出關(guān)于參數(shù)不等式的求解。如果遇到命題否定類的推出關(guān)系，又該如何解決呢？我們從例2來探究一下這類問題的思路和解法。
　　例2.設(shè)p：實數(shù)x滿足x2-4ax+3a2＜0，其中a＞0，命題q：實數(shù)x滿足x2-x-6≤0x2+2x-8＞0，其中?劭p是?劭q的充分不必要條件，求a的取值范圍。
　　解法一：解：?劭p：x≤a或x≥3a
　　?劭q：x≤2或x＞3
　　設(shè)?劭p=A=x│x≤a或x≥3a
　　?劭q=Ｂ＝x│x≤2或x＞3
　　∵?劭p是?劭q的充分不必要條件。
　　∴?劭p?圯?劭q
　　∴A是B的真子集，
　　∴a≤23a＞3，解得1＜a≤2。
　　解法二：將p和q化簡，
　　p=A=x│a＜x＜3a
　　q=B=x│2＜x≤3
　　由?劭p是?劭q的充分不必要條件，
　　我們可知q是p的充分不必要條件，
　　∴q?圯p
　　∴B是A的真子集。
　　∴a≤23＜3a，解得1＜a≤2。
　　評析：從此例的兩種解法，我們可以總結(jié)為：在含有變量的命題中，凡是能使命題為真的變量的允許值集合，我們可以稱為此命題的對應(yīng)值集合，那么我們可以將命題推出關(guān)系與對應(yīng)值集合之間的聯(lián)系用下表表示
　　那么這個結(jié)論在開放性習(xí)題中是否也適應(yīng)？這個結(jié)論在開放性習(xí)題中又該如何去用呢？我們通過例3感受一下。
　　例3.已知px│x2-8x-20≤0，qx│1-m≤x≤1+m
　　①是否存在實數(shù)m，使得x∈p是x∈q的充要條件，若存在，求出m的范圍；
　?、谑欠翊嬖趯崝?shù)m，使得x∈p是x∈q的必要不充分條件，若存在，求出m的范圍；
　　解：①當(dāng)x∈p是x∈q的充要條件時，p=q。
　　設(shè)p=A=x│-2≤x≤10
　　q=B=x│1-m≤x≤1+m
　　∴1-m=-21+m=10，此方程組無解。
　　由于該方程組無解，所以不存在實數(shù)m，使得x∈p是x∈q的充要條件。
　?、谌魓∈p是x∈q的必要不充分條件，則
　　x∈q?圯x∈p
　　∴q是p的真子集
　　q=B=x│1-m≤x≤1+m，p=A=x│-2≤x≤10
　　∴1-m＞1+m或1-m≤1+m1-m≥-21+m≤10
　　解得m≤3。
　　即當(dāng)m≤3時，x∈p是x∈q的必要不充分條件。
　　從以上幾個例子可以看出，即使教材中比較難于理解的內(nèi)容，只要我們?nèi)跁炌?，將各章?jié)數(shù)學(xué)知識高度融合，深入挖掘其蘊含的數(shù)學(xué)思想，我們就能找到學(xué)生易于理解的一般性結(jié)論，這也是數(shù)學(xué)老師的重要使命。
　?。ㄗ髡邌挝?江蘇省徐州睢寧王集中學(xué)）